2023-2024学年广东省中山市纪念中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省中山市纪念中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
C. 正态分布N(μ,σ2)的图象越瘦高，σ越大
D. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
2.直线l过圆C：(x+3)2+y2=4的圆心，并且与直线x+y+2=0垂直，则直线l的方程为( )
A. x+y−2=0B. x−y+2=0C. x+y−3=0D. x−y+3=0
3.已知等差数列{an}中，a1=2，a7=4a3，Sn为数列{an}的前n项和，则S10=( )
A. 115B. 110C. −110D. −115
4.小王每次通过英语听力测试的概率是23，且每次通过英语听力测试相互独立，他连续测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是( )
A. 29B. 227C. 39D. 49
5.已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足Y=2X−1，则P(Y≥3)=( )
A. 712B. 512C. 56D. 34
6.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P(A|B)等于( )
A. 518B. 12C. 6091D. 91216
7.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an4an+1，(n∈N∗)，则an=( )
A. an=1nB. an=12n−1C. an=2n−14n−3D. an=14n−3
8.已知函数f(x)=xlnx−2x+a2−a，若f(x)≤0在x∈[1,e2]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. [−1,2]B. [0,1]C. [0,2]D. [−1,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.带有编号1、2、3、4、5的五个球，则( )
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有C43种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有C54⋅C41种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有C52⋅A44种不同的放法
10.为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x−=2.1，样本方差s2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x−,s2)，则( )(参考：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，P(Z<μ+σ)≈0.8413)
A. P(X>2)>0.5B. P(X>1.9)<0.2
C. P(Y>2)>0.5D. P(Y>2)<0.8
11.如图，在下列给出的正方体中，点M，N为顶点，点O为下底面的中心，点P为正方体的棱所在的中点，则OP与MN不垂直的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(2x−mx)6的展开式中常数项为160，则实数m的值为______．
13.若随机变量X～N(3,22)，随机变量Y=12(X−3)，则E(Y)+1D(Y)+1= ______．
14.甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用A1、A2表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n(n+1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn=1anan+2,n为奇数2an,n为偶数，求{bn}的前2n项和T2n．
16.(本小题15分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，A、B分别是椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为 2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点M，N，点Q(2,0)，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB//DC，PC=AB=2AD=2CD=2，点E在棱PB上．
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)当BE=2EP时，求二面角P−AC−E的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx+ax2−x+a+1．
(1)证明曲线y=f(x)在x=1处的切线过原点；
(2)若a≥0，讨论f(x)的单调性．
参考答案
1.D
2.D
3.D
4.A
5.A
6.C
7.D
8.B
9.ACD
10.BC
11.CD
12.−1
13.12
14.1742
15.解：(1)由Sn=12n(n+1)，可得a1=S1=1，
n≥2时，an=Sn−Sn−1=12n(n+1)−12n(n−1)=n，对n=1也成立，
则an=n，n∈N∗；
(2)bn=1anan+2,n为奇数2an,n为偶数=1n(n+2)=12(1n−1n+2),n为奇数2n,n为偶数，
则{bn}的前2n项和T2n=(b1+b3+−1)+(b2+b4+...+b2n)=12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)+(4+16+...+4n)
=12(1−12n+1)+4(1−4n)1−4=n2n+1+4n+1−43．
16.解：(1)由题知c=1，A(−a,0)，B(a,0)，P(0,b)，
由△PAB的面积为 2，得ab= 2，
又a2=b2+c2，代入可得a2=2，b2=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1．
(2)证明：联立y=kx+mx22+y2=1，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2−2=0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
可得x1+x2=−4km2k2+1，x1x2=2m2−22k2+1，
由题知kMQ+kNQ=0，
即y1x1−2+y2x2−2=kx1+mx1−2+kx2+mx2−2=2kx1x2+(m−2k)(x1+x2)−4m(x1−2)(x2−2)=0，
即2kx1x2+(m−2k)(x1+x2)−4m=0，
解得k=−m，
∴直线l的方程为y=k(x−1)，
故直线l恒过定点(1,0)．
17.解：(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PC⊥AC，
∵PC=AB=2AD=2CD=2，AD⊥DC，AB//DC，
∴AC= AD2+CD2= 2，BC= 2，
∴AC2+BC2=4=AB2，即△ABC是直角三角形，且AC⊥BC，
∵PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC⊂平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC；
(2)由(1)得AC⊥BC，PC⊥AC，
而PC⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，故PC⊥BC，
故PC，AC，BC两两垂直，
故以C为原点，CB，CA，CP，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
PC=AB=2AD=2CD=2，
则C(0,0,0)，B( 2,0,0)，A(0, 2,0)，P(0,0,2)，
设点E(x,y,z)，
∵BE=2EP，即(x− 2,y,z)=2(−x,−y,2−z)，
∴x= 23，y=0，z=43，即E( 23,0,43)，
∴CA=(0, 2,0)，CE=( 23,0,43)，
设平面ACE的一个法向量为n=(x,y,z)，
∴n⋅CA= 2y=0n⋅CE= 23x+43z=0，取x=2 2，则y=0，z=−1，
∴平面ACE的一个法向量为n=(2 2,0,−1)，
又BC⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量为CB=( 2,0,0)，
设二面角P−AC−E的平面角为α，由图易得二面角P−AC−E的平面角为锐角，
则csα=|cs|=|n⋅CB|n|⋅|CB||=43× 2=2 23，
故二面角P−AC−E的余弦值2 23．
18.解：(1)由题设得f′(x)=1x+2ax−1(x>0)，
所以f′(1)=1+2a−1=2a，
又因为f(1)=a−1+a+1=2a，
所以切点为(1,2a)，斜率k=2a，
故切线方程为y−2a=2a(x−1)，即y=2ax，
所以y−0=2a(x−0)恒过原点．
(2)由(1)得f′(x)=2ax2−x+1x(x>0)，
①当a=0时，f′(x)=−x+1x，
当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,1)上单调递增，
当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)在(1,+∞)上单调递减，
令t(x)=2ax2−x+1，则Δ=1−8a，
②当a>0且Δ=1−8a≤0，即a≥18时，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
③当a>0且Δ=1−8a>0，即0令t(x)=2ax2−x+1>0，得01+ 1−8a4a，此时f′(x)>0
所以f(x)在(0,1− 1−8a4a)，(1+ 1−8a4a,+∞)上单调递增，
令t(x)=2ax2−x+1<0，得1− 1−8a4a所以f(x)在(1− 1−8a4a,1+ 1−8a4a)上单调递减，
综上所述：当a=0时，f(x)在(0,1)上单调递增，(1,+∞)上单调递减；
当a≥18时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当00
1
2
3
P
a
13
5a
16