广东省中山市纪念中学2020-2021学年高一上学期10月份月考数学试卷 Word版含答案

中山纪念中学高一年级2020-2021学年度上学期10月份月考

数学科试卷

满分：150分   考试用时：120分钟

第I卷（选择题）

一、单选题（只有一个选项正确，每题5分，共40分）

1. 已知全集，集合，集合，

则＝ （    ）

A.            B.              C.         D.

2. 命题：“∀x∈R，x2＋x＋1＞0”的否定是 （    ）

A. 不存在x∈R，x2＋x＋1＞0               B. ∃x0∈R，x02＋x0＋1＞0

C. ∃x0∈R，x02＋x0＋1≤0                  D. ∀x∈R，x2＋x＋1≤0

3. 已知函数，则的值域是 （    ）

A.        B.        C.       D.

4. 已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的 （    ）

A. 充分非必要条件                        B. 必要非充分条件

C. 充要条件           D. 既非充分又非必要条件

5.若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是 （    ）

A. [0,1]               B. [0,1)              C.[0,1)∪(1,4]         D. (0,1)

6. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为 （    ）

A.                    B.

C.                         D.

7. 设集合，. 若A∩B＝，则B＝ （    ）

A.            B.              C.          D.

8. 设，若，则 （    ）

A.2                  B.4                  C.6               D.8

二、多选题（至少有2个选项正确，多选，错选不得分，漏选得3分，每题5分，共20分）

9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（     ）

A．与                B．与 

C．与         D．与

10. 函数是定义在R上奇函数，下列说法正确的是（     ）

A．

B．若在[0,＋∞)上有最小值－1，则在(－∞,0]上有最大值1

C．若在[1,＋∞)上为增函数，则在(－∞,－1]上为减函数

D．若x＞0时，，则x＜0时，

11. 对于实数a、b、c，下列命题中正确的是（     ）

A．若，则                     B．若，则 

C．若，则         D．若，，则，

12. 下列求最值的运算中，运算方法错误的有（     ）

A．若，，

故时，的最大值是－2．

B．当时，，当且仅当取等，解得－1或2．

又由，所以取2，故时，原式的最小值为．

C．由于，

故的最小值为2．

D．当，且时，由于，∴，又

，故当，且时，的最小值为4．

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．设函数，则 f(－3)＝　     　．

14．函数f(x)＝的最小值是　     　．

15．下图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；

②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；

③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；

④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．

其中，正确信息的序号是_______________．

16．若函数f(x)＝在R上为增函数，则a的取值范围为_________．

四、解答题（17题10分，18，19，20，21，22每题12分，共70分）

17．已知全集U＝R，集合，集合．

（1）若a＝1，求和B；

（2）若＝A，求实数a的取值范围．

18.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

19．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）判断函数f(x)在(－1,1)上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于t的不等式，f(t＋)＋f(t－)＜0．

20．函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x＞0时f(x)＜0，f(1)＝－2.

（1）证明：f(x)是奇函数；

（2）证明：f(x)在R上是减函数；

（3）求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值.

21．已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.

（1）若a＝1，解不等式f(x)≥1；

（2）若不等式f(x)＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a＜0，解不等式f(x)＞1.

22．已知幂函数f(x)＝满足f(2)＜f(4)．

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若函数g(x)＝f 2(x)＋mf(x)，x∈[1,9]，是否存在实数m使得g(x)的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；

（3）若函数h(x)＝n－f(x＋3)，是否存在实数a，b(a＜b)，使函数h(x)在[a,b]上的值域为[a,b]？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案

一、选择题：

1.B    2. C    3. C    4. A    5. B    6.A    7. D    8.C

二、多项选择题：

9. AC   10. ABD  11. BCD  12. BCD

三、填空题：

13.0     14. 2     15．①，②，③      16.[1,2]

四、解答题：

17．解：（1）若a＝1，则集合A＝{x|x2﹣2x﹣15＜0}＝{x|﹣3＜x＜5}，

∴∁UA＝{x|x≤﹣3或x≥5}，

若a＝1，则集合B＝{x|（x﹣2a＋1）（x﹣a2）＜0}＝{x|（x﹣1）2＜0}＝∅，

（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，

①当B＝∅时，a2＝2a﹣1，解a＝1，

②当B≠∅时，即a≠1时，B＝{x|2a﹣1＜x＜a2}，

又由（1）可知集合A＝{x|﹣3＜x＜5}，

∴，解得﹣1≤a≤，且a≠1，

综上所求，实数a的取值范围为：﹣1≤a≤．

18．解：（1）由题意可知，

二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝＋﹣200≥2﹣200＝200，

当且仅当＝，即x＝400时，

才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．

（2）设该单位每月获利为S，

则S＝100x﹣y，

＝100x﹣(x2﹣200x＋800000)＝﹣x2＋300x＋800000＝﹣(x﹣300)2﹣35000，

因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值﹣40000．

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

19．解：（1）由奇函数的性质可知，f（0）＝0，

∴b＝0，f（x）＝，

∵f（）＝＝．

∴a＝1，f（x）＝；

（2）函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数．

证明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，

则f（x1）﹣f（x2）＝＜0，⇒f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；

（3）由f（t＋）＜﹣f（t﹣）⇒f（t＋）＜f（﹣t），

∴⇒⇒﹣＜t＜0，

故不等式的解集为（﹣，0）．

20．解：（1）证明：令x＝y＝0，

∴f（0）＝f（0）＋f（0），

可得f（0）＝0

f（x＋y）＝f（x）＋f（y），得f（x﹣x）＝f（x）＋f（﹣x）

即f（x）＋f（﹣x）＝f（0）＝0

∴f（﹣x）＝﹣f（x），

即函数y＝f（x）是奇函数，

（2）设x1＞x2，则x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣x2）＜0，

而f（x＋y）＝f（x）＋f（y），

∴f（x1）＝f（x1﹣x2＋x2）＝f（x1﹣x2）＋f（x2）＜f（x2）

∴函数y＝f（x）是R上的减函数；

（3）由函数y＝f（x）是R上的单调减函数，

∴y＝f（x）在[﹣3，3]上也为单调减函数．

∴y＝f（x）在[﹣3，3]上的最大值为f（﹣3），最小值为f（3）．

∴f（3）＝（1＋2）＝f（1）＋f（2）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝3f（1）＝﹣6，

同理，f（﹣3）＝﹣3f（1）＝6，

因此，函数y＝f（x）在[﹣3，3上的值域为[﹣6，6]．

21．解：（1）当a＝1，不等式f（x）≥1即 x2＋x﹣1≥1，即（x＋2）（x﹣1）≥0，

解得 x≤﹣2，或 x≥1，

故不等式的解集为{x|x≤﹣2，或 x≥1}．

（2）由题意可得 （a＋2）x2＋4x＋a﹣1＞0恒成立，

当a＝﹣2 时，显然不满足条件，∴．

解得 a＞2，故a的范围为（2，＋∞）．

（3）若a＜0，不等式为 ax2＋x﹣a﹣1＞0，即 （x﹣1）（x＋）＜0．

∵1﹣（﹣）＝，

∴当﹣＜a＜0时，1＜﹣，不等式的解集为 {x|1＜x＜﹣}；

当 a＝﹣时，1＝﹣，不等式即（x﹣1）2＜0，它的解集为∅；

当a＜﹣时，1＞﹣，不等式的解集为 {x|﹣＜x＜1}．

22．解：（1）∵f（x）是幂函数，

∴得p2﹣3p＋3＝1，解得：p＝1或p＝2

当p＝1时，f（x）＝，不满足f（2）＜f（4）．

当p＝2时，f（x）＝，满足f（2）＜f（4）．

∴故得p＝2，函数f（x）的解析式为f（x）＝；

（2）由函数g（x）＝f 2（x）＋mf（x），即g（x）＝()2＋m，

令t＝，

∵x∈[1，9]，

∴t∈[1，3]，

记k（x）＝t2＋mt，

其对称轴在t＝﹣，

①当﹣≤1，即m≥﹣2时，则k（x）min＝k（1）＝1＋m＝0，解得：m＝﹣1；

②当1＜﹣＜3时，即﹣6＜m＜﹣2，则k（x）min＝k（﹣）＝﹣＝0，解得：m＝0，不满足，舍去；

③当﹣≥3时，即m≤﹣6时，则k（x）min＝k（3）＝3m＋9＝0，解得：m＝﹣3，不满足，舍去；

综上所述，存在m＝﹣1使得g（x）的最小值为0；

（3）由函数h（x）＝n﹣f（x＋3）＝n﹣在定义域内为单调递减函数，

若存在实数存在实数a，b（a＜b），使函数h（x）在[a，b]上的值域为[a，b]

则h（x）＝

两式相减：可得：﹣＝a﹣b＝（a＋3）﹣（b＋3）．

∴＋＝1③

将③代入②得，n＝a＋＝a＋1﹣

令t＝，

∵a＜b，

∴0≤t＜，

得：n＝t2﹣t﹣2＝（t﹣）2﹣，

故得实数n的取值范围（﹣，﹣2]．