2023-2024学年广东省广州市执信中学高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市执信中学高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2x−y)5的展开式中x2y3的系数为( )
A. 80B. −80C. 40D. −40
2.已知随机变量X的分布列如表：
设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是( )
A. −16B. 13C. 23D. −23
3.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为( )
A. 0.1×0.93B. C41×0.13×0.9C. 0.13×0.9D. C41×0.1×0.93
4.函数f(x)=sinxln(x2+1)的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知数列{an}是各项为正的等比数列，前n项和为Sn(n∈N∗)，且S2=32，S3=74，则a1=( )
A. 14B. 12C. 1D. 94
6.在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( )
A. 36个B. 24个C. 18个D. 6个
7.已知双曲线x23−y26=1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则1|OP|2+1|OQ|2=( )
A. 2B. 1C. 13D. 16
8.在边长为3的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得∠BEF=15°，再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，使得∠FMN=15°依次进行下去，就形成了如图所示的图案.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形的边长为a1=AB，第2个正方形的边长为a2=EF，⋯)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1，第2个直角三角形EQM的面积为S2，⋯，)则下列结论错误的是( )
A. a2= 6
B. S1=34
C. 数列{an2}的前n项和Tn取值范围是[9,27)
D. 数列{Sn}是公比为34的等比数列
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制(当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束).根据前期比赛成绩可知在每一局比赛中，甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13.若前两局中乙队以2：0领先，则( )
A. 甲队获胜的概率为827B. 乙队以3：0获胜的概率为13
C. 乙队以3：1获胜的概率为19D. 乙队以3：2获胜的概率为49
10.下列命题中说法正确的是( )
A. 已知随机变量X～B(n,p)，若D(X)=20，E(X)=30，则p=23
B. 将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变
C. 设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=12−p
D. 某人在9次射击中，击中目标的次数为X，且X～B(9,0.8)，则他最有可能命中7或8次
11.关于函数f(x)=2x+lnx，下列说法正确的是( )
A. x=2是f(x)的极大值点
B. 函数y=f(x)−x有且只有1个零点
C. 存在正整数k，使得f(x)>kx恒成立
D. 对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为________．
13.设点P是曲线x2=4y上一点，则点P到直线l：3x+4y+6=0最小的距离为______．
14.若数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，若bn=2an+1(n∈N∗)，抽去数列{bn}的第3项、第6项、第9项、⋯第3n项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前100项的和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为 3，D为BC的中点，且AD=1．
(1)若∠ADC=π3，求tanB；
(2)若b2+c2=8，求b，c．
16.(本小题15分)
某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如表所示．
(1)当甲出场比赛时，求球队赢球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率；
(3)如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置？请说明安排理由．
17.(本小题15分)
已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=12x，点P(t,0)．
(1)若t=3，O为坐标原点，过点P且斜率为1的直线l与双曲线C交于A、B两点，求△OAB的面积；
(2)若点Q(x,y)是双曲线C上任意一点，当且仅当Q为双曲线的顶点时，|PQ|取得最小值，求实数t的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA=DB=DC=2，M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，点Q在线段AC上，且AC=4QC．
(1)求证：PQ/​/平面BCD；
(2)若点G在平面ABC内，且DG⊥平面BMC，求直线MG与平面ABC所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f″(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+[f′(x)]2)32．
(1)求曲线f(x)=lnx在(1,0)的曲率；
(2)已知函数g(x)=csx+1(x∈R)，求g(x)曲率的平方的最大值；
(3)函数ℎ(x)=(x−2)ex+(3+m2−x3−lnx)x2，若ℎ(x)在两个不同的点处曲率为0，求实数m的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.B
5.C
6.B
7.D
8.D
9.AB
10.BCD
11.BD
12.13
13.34
14.613(3150−1)
15.解：(1))D为BC中点，SΔABC= 3，
则SΔACD= 32，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：

△ADE中，DE=12，AE= 32，SΔACD=12⋅ 32CD= 32，解得CD=2，
∴BD=2，BE=52，
故tanB=AEBE= 3252= 35；
(2)AD=12(AB+AC)，
AD2=14(c2+b2+2bccsA)，
AD=1，b2+c2=8，
则1=14(8+2bccsA)，
∴bccsA=−2①，
SΔABC=12bcsinA= 3，即bcsinA=2 3②，
由①②解得tanA=− 3，
∴A=2π3，
∴bc=4，又b2+c2=8，
∴b=c=2．
16.解：(1)设A1表示“甲球员担当边锋”，A2表示“甲球员担当前卫”，A3表示“甲球员担当中场”，B表示“球队赢了某场比赛”，
则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=0.2×0.5+0.5×0.6+0.3×0.8=0.64，
∴球队某场比赛赢球的概率为0.64．
(2)由(1)知P(B)=0.64，
∴P(A2|B)=P(A2B)P(B)=P(A2)P(B|A2)P(B)=0.5×，
∴球员甲担当前卫的概率1532．
(3)同(2)P(A1|B)=P(A1B)P(B)=0.2×，
P(A3|B)=P(A3B)P(B)=0.3×，
由于P(A2|B)>P(A3|B)>P(A1|B)，
∴应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率．
17.解：(1)由题意得：1a=12，所以a=2，所以双曲线C的标准方程为x24−y2=1，
直线AB的方程为y=x−3，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程组y=x−3x24−y2=1，消去y整理得3x2−24x+40=0，
则Δ=242−4×3×40=96>0x1+x2=8x1x2=403，
所以S△AOB=12|OP|⋅|x1−x2|=32× (x1+x2)2−4x1x2=2 6，

所以△OAB的面积为2 6
(2)因为x24−y2=1，所以y2=x24−1≥0，所以x≤−2或x≥2，
所以|PQ|2=(x−t)2+y2=(x−t)2+x24−1=5x24−2tx+t2−1，
对称轴为x=4t5，
由题意，−2≤4t5≤2，−52≤t≤52，
所以实数t的取值范围为[−52,52]．
18.(1)证明：作PE⊥BD，交BD于点E，作QF⊥CD，交CD于点F，
∵M是线段AD的中点，P是线段BM的中点，AD⊥BD，
∴PE/​/AD且PE=14AD，
∵AQ=3QC，AD⊥CD，∴QF/​/AD且QF=14AD，
∴PE//QF且PE=QF，
∴四边形EFQP为平行四边形，
∴PQ//EF，
又PQ⊄平面BCD，EF⊂平面BCD，
∴PQ/​/平面BCD．

(2)解：如图，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(0,0,1)，
∴AB=(2,0,−2)，AC=(0,2,−2)，BC=(−2,2,0)，MC=(0,2,−1)，
设G(x,y,z)，则AG=(x,y,z−2)，
∵G∈平面ABC，∴可设AG=λAB+μAC，λ，μ∈R，即(x,y,z−2)=(2λ,2μ,−2λ−2μ)，
解得x=2λy=2μz=2−2λ−2μ，即G(2λ,2μ,2−2λ−2μ)，
∴DG=(2λ,2μ,2−2λ−2μ)，
∵DG⊥平面BMC，
∴BC⋅DG=MC⋅DG=0，即−4λ+4μ=06μ+2λ−2=0，解得λ=μ=14，
∴点G坐标为(12,12,1)，MG=(12,12,0)，
设平面ABC的法向量为n=(a,b,c)，则n⋅AB=2a−2c=0n⋅AC=2b−2c=0，
令a=1，则b=c=1，∴n=(1,1,1)，
设直线MG与平面ABC所成角为θ，则sinθ=|cs|=|n⋅MG||n|⋅|MG|=|12+12| 3× 22= 63，
故直线MG与平面ABC所成角的正弦值为 63．
19.解：(1)∵f(x)=lnx，则f′(x)=1x，f″(x)=−1x2，
∴K=|f″(1)|(1+[f′(1)]2)32=1(1+12)32= 24．
(2)∵g(x)=csx+1(x∈R)，则g′(x)=−sinx，g″(x)=−csx，
∴K=|g″(x)|(1+[g′(x)]2)32=|−csx|(1+sin2x)32，
则K2=cs2x(1+sin2x)3=cs2x(2−cs2x)3，
令t=2−cs2x，则t∈[1,2]，K2=2−tt3，
设p(t)=2−tt3，则p′(t)=−t3−3t2(2−t)t6=2t−6t4，
显然当t∈[1,2]时，p′(t)<0，p(t)单调递减，
∴p(t)max=p(1)=1，∴K2最大值为1．
(3)∵ℎ(x)=(x−2)ex+(3+m2−x3−lnx)x2，x>0，
∴ℎ′(x)=(x−1)ex+(3+m)x−x2−(x+2xlnx)，
∴ℎ″(x)=xex−2(lnx+x)+m=elnx+x−2(lnx+x)+m，x>0，
∵ℎ(x)在两个不同的点处曲率为0，
∴ℎ″(x)=0有两个大于0的不同实数解，
即ℎ″(x)=elnx+x−2(lnx+x)+m有两个不同的零点．
令t(x)=lnx+x(x>0)，
∵t′(x)=1x+1>0，
∴t(x)在(0,+∞)上单调递增，且值域为R，
∴m=−elnx+x+2(lnx+x)有两个大于0的实数解，
等价于m=2t−et，t∈R有两个不同的实数解．
令G(t)=2t−et，t∈R，则G′(t)=2−et，
令G′(t)=0得t=ln2，
t∈(−∞,ln2)时，G′(t)>0，即G(t)单调递增；
t∈(ln2,+∞)时，G′(t)<0，即G(t)单调递减；
∴G(t)max=G(ln2)=2ln2−2，
又∵当t→−∞时，G(t)→−∞；
当t→+∞时，G(t)→−∞；
G(t)的图象如下所示：

又∵m=G(t)有两个实数解，
∴m∈(−∞,2ln2−2)．
∴m的取值范围为(−∞,2ln2−2)． X
−1
0
1
P
12
16
13
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.2
0.5
0.3
球队胜率
0.5
0.6
0.8