2023-2024学年河南省南阳市方城县高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市方城县高二（下）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知f(x)是定义在R上的可导函数，若Δx→0limf(3−Δx)−f(3+Δx)Δx=4，则f′(3)=( )
A. 0B. −2C. 1D. −12
2.已知一组数据2，5，10，17，26，…，按此规律可以得到第100个数为( )
A. 9802B. 9991C. 10001D. 10202
3.若椭圆C：x2m+y22=1的离心率为 63，则椭圆C的长轴长为( )
A. 6B. 2 63或2 6C. 2 6D. 2 2或2 6
4.某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有( )种．
A. 18B. 36C. 60D. 72
5.已知数列{an}满足a1=0，a2=1.若数列{an+an+1}是公比为2的等比数列，则a2024=( )
A. 22023+13B. 22024+13C. 21012−1D. 21011−1
6.已知点P是双曲线x216−y220=1右支上的一点，点A、B分别是圆(x+6)2+y2=4和圆(x−6)2+y2=1上的点.则|PA|−|PB|的最小值为( )
A. 3B. 5C. 7D. 9
7.由样本数据点(xi,yi)，i=1，2，3，⋯，n的散点图可知，变量y与x线性相关，求得的回归直线方程为y =2x+1，且x−=2.若去除两个数据点(1.4,3.2)和(2.6,6.8)，则剩余样本数据点纵坐标的平均值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
8.已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,−2)D. (−∞,−1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(2,−1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，则( )
A. |a|=|b|B. a在b上的投影向量为(89,89,49)
C. a⊥bD. 向量a,b,c共面
10.已知函数f(x)=xex+ax(a∈R).则下列说法正确的是( )
A. 当a=0时，f(x)min=−1e
B. 当a=1时，直线y=2x与函数f(x)的图象相切
C. 若函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，则a≥0
D. 若在区间[0,1]上f(x)≤x2恒成立，则a<1−e
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为x=−1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A. |AB|的最小值为4
B. 设Q(3,2)，则△QAF周长的最小值为4
C. 以AF为直径的圆与y轴相切
D. 若BF=2FA，则直线l的斜率为2 2或−2 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(2x+3)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+⋅⋅⋅+a9(x+2)9，则a1+a2+⋅⋅⋅+a9=______．
13.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱AB的中点，BC1与B1C交于点E，若AB=AA1，则CD与A1E所成角的余弦值为 ．
14.在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)=13x3−4x2+4x−1的极值点，则a5= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足an+1=an+2，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=2nan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
16.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA=AB=BC=12AD=2．
(1)求PB与CD所成的角；
(2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值．
17.(本小题15分)
已知平面内点M(x,y)与两个定点A(4,0)，B(1,0)的距离之比等于2．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(1,12)的直线l被C所截得的线段的长为2 3，求直线l的方程．
18.(本小题17分)
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如表：
(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联？
(2)统计学中常用R(B|A)=P(B|A)P(B−|A)表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当R(B|A)≥1.35时，我们认为事件A条件下B发生有优势.现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”.B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计R(B|A)的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势：
(3)现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=alnx−x．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)≤(ae)a−1．
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.ABD
10.AB
11.ACD
12.2
13. 34
14.2
15.解：(1)由an+1=an+2，得an+1−an=2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列，
又a2，a5，a14构成等差数列，得a52=a2a14，即(a1+8)2=(a1+2)(a1+26)，
整理解得a1=1，所以an=1+2(n−1)=2n−1．
(2)bn=2n⋅an+1=2n⋅(2n+1)，所以Sn=3×21+5×22+…+(2n+1)×2n，
2Sn=3×22+5×23++(2n+1)×2n+1，两式相减得−Sn=3×2+2(22+23+…+2n)−(2n+1)⋅2n+1，
即−Sn=6+2×22(1−2n−1)1−2−(2n+1)⋅2n+1=6+2n+2−8−(2n+1)⋅2n+1=2n+1(1−2n)−2，
所以Sn=(2n−1)⋅2n+1+2．
16.解：(1)因为PA⊥面ABCD，AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系：

A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，D(0,4,0)，C(2,2,0)，
则PB=(2,0,−2)，CD=(−2,2,0)，
∴|csPB,CD|=|PB⋅CD|PB||CD||=12，
所以PB与CD所成的角为60°．
(2)由(1)知AP=(0,0,2),AC=(2,2,0)，
设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)，
所以m⋅AP=z=0m⋅AC=y+x=0，
令y=−1，则m=(1,−1,0)，
设直线PD与面PAC所成的角的为θ，
又PD=(0,4,−2)，
∴sinθ=|csm,PD|=|m⋅PD|m||PD||= 105，
直线PD与面PAC所成的角的余弦值为 155．
17.解：(1)因为点M(x,y)与两个定点A(4,0)，B(1,0)的距离之比等于2，
所以 y2+(x−4)2 y2+(x−1)2=2，
整理得点M的轨迹方程为x2+y2=4．
(2)当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为x=1，满足弦长为2 3；
当直线l的斜率存在时，不妨设斜率为k，
则直线l的方程为y−12=k(x−1)，
即kx−y−k+12=0，
则圆心(0,0)到直线l的距离d=|−k+12| k2+(−1)2．
因为直线l被C所截得的线段的长为2 3，
所以d2+( 3)2=22，
所以d=|−k+12| k2+(−1)2=1，解得k=−34，
所以直线l的方程为3x+4y−5=0．
综上，满足条件的直线l的方程为x=1或3x+4y−5=0．
18.解：(1)零假设为H0：直播带货的评级与主播的学历无关，
χ2=200×(60×70−40×30)2100×100×90×110≈18.182>10.828=x0.001，
所以根据小概率值α=0.001的独立性检验，
可推断H0不成立，认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；
(2)因为R(B|A)=P(B|A)P(B−|A)=P(AB)P(A)P(AB−)P(A)=P(AB)P(AB−)=n(AB)n(AB−)=7040=74=1.75，
因为1.75>1.35，
所以认为事件A条件下B发生有优势；
(3)按照分层抽样，直播带货优秀的有5×60100=3人，直播带货良好的有5×40100=2人，
随机变量X的可能取值为1，2，3，
则P(X=1)=C31⋅C22C53=310，
P(X=2)=C32⋅C21C53=610=35，
P(X=3)=C33C53=110，
所以X的分布列为：
所以数学期望E(X)=1×310+2×35+3×110=95．
19.解：(1)由题函数定义域为(0,+∞)，f′(x)=ax−1=a−xx，
故当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；
当a>0时，f′(x)在(0,+∞)上单调递减，令f′(x)=0⇒x=a，
则x∈(0,a)时，f′(x)>0；x∈(a,+∞)时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减．
证明：(2)由(1)当a>0时，函数f(x)在(0,a)上单调递增，在(a,+∞)上单调递减，
故f(x)≤f(a)=alna−a在(0,+∞)上恒成立，
故证f(x)≤(ae)a−1(a>0)⇔证alna−a≤(ae)a−1(a>0)，
即⇔ln(ae)a≤(ae)a−1(a>0)⇔ln(ae)a−(ae)a+1≤0，
令g(x)=lnx−x+1(x>0)，则g′(x)=1x−1=1−xx(x>0)，
故当x∈(0,1)时，g′(x)>0；x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)=0在(0,+∞)上恒成立，故ln(ae)a−(ae)a+1≤0，
所以当a>0时，f(x)≤(ae)a−1． 直播带货评级
合计
优秀
良
主播的学历层次
本科及以上
60
40
100
专科及以下
30
70
100
合计
90
110
200
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
1
2
3
P
310
35
110