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2024届鲁科版新教材高考物理一轮复习教案第一章运动的描述匀变速直线运动的研究专题强化二追及相遇问题
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这是一份2024届鲁科版新教材高考物理一轮复习教案第一章运动的描述匀变速直线运动的研究专题强化二追及相遇问题，共13页。
题型一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲(2)若v甲＝v乙，甲、乙的距离保持不变．
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－eq \f(b,2a)时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，当vB＝vA时，若sB>sA＋s0，则能追上；若sB＝sA＋s0，则恰好追上；若sB特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动．
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δs，则有v＝at
所以t＝eq \f(v,a)＝2 s，Δs＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δs＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δs＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δs有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
Δs＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移sA＝vAt＝12 m
汽车B的位移sB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δsmax＝sB＋s0－sA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移sB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
sA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δs＝sB′＋s0－sA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δs,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋s0＝vAt，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝s0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
例3 (2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响．
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞．
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车．
答案 (1)eq \f(9,8) m/s2 (2)见解析
解析 (1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，则A车位移sA＝eq \f(vA＋vB,2)t①
B车位移sB＝vBt②
sA－sB＝s0③
由①②③式联立解得t＝eq \f(8,3) s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝eq \f(vA－vB,t)＝eq \f(7－4,\f(8,3)) m/s2＝eq \f(9,8) m/s2.
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋eq \f(1,2)at′2－vBt′，解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了sA1＝vAt′＋eq \f(1,2)at′2
计算可得sA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车．
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为s－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
考向1 s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例4 (2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(s－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是( )
A．若是s－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是s－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
答案 D
解析 若是s－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确．
例5 (多选)(2023·福建省莆田二中模拟)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接．为了得到某款无线蓝牙耳机在运动时的最大连接距离，甲和乙两位同学做实验如下：乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，二人间隔17.5 m且之间无障碍，某时刻起甲追乙的v－t图像如图所示．发现手机在3 s末开始检测到蓝牙耳机信号，则下列判断正确的是( )
A．4 s时甲、乙相距最近且为8 m
B．4 s时甲、乙相距最近且为9.5 m
C．手机与蓝牙耳机连接上的时间为3 s
D．最远连接距离为10 m
答案 BD
解析 根据题图可知，t＝4 s时甲、乙速度相同，此时相距最近，0～4 s内有s甲－s乙＝v甲Δt－eq \f(v乙Δt,2)＝4×4 m－eq \f(4×4,2) m＝8 m，初始位置乙在甲前方17.5 m处，故此时相距9.5 m，选项A错误，B正确；由题图可知乙的加速度为a乙＝eq \f(v乙－0,Δt)＝1 m/s2，在0～3 s内有s甲′－s乙′＝v甲Δt′－eq \f(1,2)a乙Δt′2＝4×3 m－eq \f(1,2)×1×32 m＝7.5 m，则有最远连接距离为Δs＝17.5 m－7.5 m＝10 m，选项D正确；根据图像的对称性可知，3 s末与5 s末甲、乙距离相等，即5 s末手机与蓝牙耳机信号恰好断开，连接上的时间为2 s，选项C错误．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例6 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距s0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δs＝[eq \f(1,2)×30×3＋eq \f(1,2)×30×(6－3)] m＝90 m课时精练
1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(s－t)图线，由图可知( )
A．在t1时刻，a车追上b车
B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大
答案 BC
解析 t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前、b车在后，此后b车在前、a车在后，因此是b车追上a车．由于s－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反，选项A、D错误，B、C正确．
2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是( )
A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同
B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大
C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
答案 D
解析 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0 ～ t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，s甲>s乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确．
3.(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船(F5－10)冠军．若a、b两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．b船启动时，a船在其前方2 m处
B．运动过程中，b船落后a船的最大距离为1.5 m
C．b船启动3 s后正好追上a船
D．b船超过a船后，两船不会再相遇
答案 BCD
解析 根据v－t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为s＝eq \f(1,2)×2×1 m＝1 m，即a在b前方1 m处，故A错误；两船的速度相等时相距最远，最大距离为Δs＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1 m－eq \f(1,2)×1×1 m＝1.5 m，故B正确；由于两船从同一地点向同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，由题图可知，b船启动3 s后位移sb＝eq \f(1,2)×(1＋3)×2 m＝4 m，此时a的位移sa＝eq \f(1,2)×(5＋3)×1 m＝4 m，即b刚好追上a，故C正确；b船超过a船后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a1＝eq \f(72－60,24) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2，复兴号的加速度为a2＝eq \f(72－60,24－8) m/s2＝eq \f(3,4) m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为vm＝72 m/s＋a2×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δs＝eq \f(8×72－60,2) m＝48 m，而在24～32 s内缩小的距离为Δs′＝eq \f(78－72×32－24,2) m＝24 m<Δs，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S1＝S2)，则( )
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0～t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车一直在乙车前面
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t2时间内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6.(多选)(2023·福建省模拟)A、B两物体沿同一直线同向运动，0时刻开始计时，A、B两物体的eq \f(s,t)－t图像如图所示，已知在t＝10 s时A、B在同一位置，根据图像信息，下列说法正确的是( )
A．B做匀加速直线运动，加速度大小为1 m/s2
B．t＝6 s时，A在前、B在后，B正在追赶A
C．A、B在t＝0时刻相距30 m
D．在0～10 s内A、B之间的最大距离为49 m
答案 BD
解析 由匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，对比B物体的图线可知eq \f(1,2)a＝eq \f(14－10,10－6) m/s2＝1 m/s2，由相似三角形可知，B的图线与纵轴的交点坐标为4 m/s，即初速度大小v0＝4 m/s，加速度大小a＝2 m/s2，B物体做匀加速直线运动，A错误；对比A物体的图线可知，A物体做匀速直线运动，速度为v＝10 m/s，在t＝10 s时A、B的位移分别为sA＝vt1＝100 m，sB＝v0t1＋eq \f(1,2)at12＝140 m，此时到达同一位置，故在t＝0时刻，A在B前40 m处，C错误；t＝6 s时，由位移公式可得，A、B位移均为60 m，故A在前、B在后，B正在追赶A，B正确；当A、B速度相同时，相距最远，则有v0＋at2＝v，代入数据可得t2＝3 s，由位移公式可得，A、B的位移分别为30 m、21 m，故此时的距离最大，且为Δs＝40 m＋30 m－21 m＝49 m，D正确．
7．(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的是( )
A．泳池长50 m
B．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C．从t＝0时刻起经过1 min，两运动员共相遇了3次
D．在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5
答案 C
解析 根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误；如图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，故B错误；在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0～30 s内，甲的位移大小为s1＝1.25×20 m－1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为s2＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为v1∶v2＝eq \f(s1,t′)∶eq \f(s2,t′)＝5∶8，故D错误．
8．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了s1＝12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小．
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)s0>36 m
解析 (1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得s1＝vBt1，解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝eq \f(vB,t2－t1)，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则s＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)，代入数据解得s＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为s0>36 m.
9．(2023·福建南平市模拟)某足球场长90 m、宽60 m．在该足球场上举办的一次足球比赛中，攻方前锋在中线处将静止的足球沿边线向前踢出，如图所示，足球获得大小为12 m/s的初速度并在地面上沿边线做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.
(1)求足球停下时到底线的距离；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该队员沿边线向前追赶足球．追赶过程中该队员先做初速度为零的匀加速直线运动，速度达到9 m/s后做匀速直线运动．若足球停下时该队员刚好追上足球，求该队员加速阶段的加速度大小．
答案 (1)9 m (2)2.25 m/s2
解析 (1)足球的加速度大小为a1＝2 m/s2，足球做匀减速运动的时间为t1＝eq \f(v1,a1)＝6 s
运动的位移为s1＝eq \f(v1,2)·t1＝36 m，足球停下时到底线的距离为s＝eq \f(90,2) m－36 m＝9 m
(2)设运动员加速时间为t2，运动员的最大速度为v2，加速度大小为a2，加速阶段的位移为s2＝eq \f(v2,2)·t2
匀速阶段的位移为s3＝s1－s2＝v2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1－t2))，
联立解得t2＝4 s，根据v2＝a2t2，解得该运动员加速阶段加速度大小为a2＝2.25 m/s2.
10．(2023·福建省莆田二中模拟)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前s0＝9 m区间内的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝32 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
(1)求甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章；
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前s0＝9 m区间内不超速．则在甲车司机开始刹车时，求甲、乙两车至少相距多远．
答案 (1)100 m (2)48.5 m
解析 (1)甲车速度由20 m/s匀减速至6 m/s的过程中，甲车位移s1＝eq \f(v甲2－v02,2a甲)＝91 m
s2＝s0＋s1＝100 m，即甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车才不违章．
(2)设甲车司机刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，解得t＝7 s．甲车刹车后7 s时的速度为v＝v甲－a甲t＝6 m/s，则有共同速度v＝6 m/s为不相撞的临界条件，乙车从32 m/s匀减速至6 m/s的过程中的位移为s3＝eq \f(v乙2－v2,2a乙)＝123.5 m，乙车在反应时间内经过的位移s4＝v乙t0＝16 m，所以要满足条件甲、乙的距离至少为s＝s3＋s4－s1＝48.5 m.
题型一 追及相遇问题
追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．追及相遇问题的基本物理模型：以甲追乙为例．
1．二者距离变化与速度大小的关系
(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲
(3)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲>v乙，甲、乙的距离就不断减小．
2．分析思路
可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．
3．常用分析方法
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．
(2)二次函数法：设运动时间为t，根据条件列方程，得到关于二者之间的距离Δx与时间t的二次函数关系，Δx＝0时，表示两者相遇．
①若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；
③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．
当t＝－eq \f(b,2a)时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．
(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．
4．常见追及情景
(1)速度小者追速度大者：当二者速度相等时，二者距离最大．
(2)速度大者追速度小者(避碰问题)：二者速度相等是判断是否追上的临界条件，若此时追不上，二者之间有最小值．
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距s0，当vB＝vA时，若sB>sA＋s0，则能追上；若sB＝sA＋s0，则恰好追上；若sB
例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
答案 2 s 6 m
解析 解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δs，则有v＝at
所以t＝eq \f(v,a)＝2 s，Δs＝vt－eq \f(1,2)at2＝6 m.
解法二(二次函数法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δs＝vt－eq \f(1,2)at2
代入已知数据得Δs＝6t－eq \f(3,2)t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δs有最大值为6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为6 m.
解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6 m/s
所以有t1＝eq \f(v1,a)＝eq \f(6,3) s＝2 s，
Δs＝eq \f(v1t1,2)＝eq \f(6×2,2) m＝6 m.
例2 汽车A以vA＝4 m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同向运动的汽车B正开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2 m/s2.从刚刹车开始计时．求：
(1)A追上B前，A、B间的最远距离；
(2)经过多长时间A恰好追上B.
答案 (1)16 m (2)8 s
解析 汽车A和B的运动过程如图所示．
(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即vB－at＝vA，解得t＝3 s
此时汽车A的位移sA＝vAt＝12 m
汽车B的位移sB＝vBt－eq \f(1,2)at2＝21 m
故最远距离Δsmax＝sB＋s0－sA＝16 m.
(2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间
t1＝eq \f(vB,a)＝5 s
运动的位移sB′＝eq \f(vB2,2a)＝25 m
汽车A在t1时间内运动的位移
sA′＝vAt1＝20 m
此时相距Δs＝sB′＋s0－sA′＝12 m
汽车A需再运动的时间t2＝eq \f(Δs,vA)＝3 s
故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8 s.
[拓展延伸] (1)若某同学应用关系式vBt－eq \f(1,2)at2＋s0＝vAt，解得经过t＝7 s(另一解舍去)时A恰好追上B.这个结果合理吗？为什么？
(2)若汽车A以vA＝4 m/s的速度向左匀速运动，其后方相距s0＝7 m处，有以vB＝10 m/s的速度同方向运动的汽车B开始刹车做匀减速运动直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小为a＝2 m/s2，则经过多长时间两车恰好相遇？
答案 见解析
解析 (1)这个结果不合理，因为汽车B运动的时间最长为t＝eq \f(vB,a)＝5 s<7 s，说明汽车A追上B时汽车B已停止运动．
(2)由位移时间关系式有：vBt－eq \f(1,2)at2＝s0＋vAt，解得t1＝(3－eq \r(2)) s，t2＝(3＋eq \r(2)) s.
例3 (2023·江西赣州市高三模拟)在赣州市南河大桥扩建工程中，双向桥梁已完成了某一通车方向的建设，为保持双向车辆正常通行，临时将其改成双向车道．如图所示，引桥与桥面对接处，有两车道合并一车道的对接口，A、B两车相距s0＝4 m时，B车正以vB＝4 m/s速度匀速行驶，A车正以vA＝7 m/s的速度借道超越同向行驶的B车，此时A车司机发现前方距离车头s＝16 m处的并道对接口，A、B两车长度均为L＝4 m，且不考虑A车变道过程的影响．
(1)若A车司机放弃超车，且立即驶入与B车相同的行驶车道，A车至少以多大的加速度刹车匀减速，才能避免与B车相撞．
(2)若A车司机加速超车，A车的最大加速度为a＝3 m/s2，请通过计算分析A车能否实现安全超车．
答案 (1)eq \f(9,8) m/s2 (2)见解析
解析 (1)A车减速到与B车同速时，若恰未与B车相碰，则A车将不会与B车相碰，设经历的时间为t，则A车位移sA＝eq \f(vA＋vB,2)t①
B车位移sB＝vBt②
sA－sB＝s0③
由①②③式联立解得t＝eq \f(8,3) s
则A车与B车不相碰，刹车时的最小加速度
amin＝eq \f(vA－vB,t)＝eq \f(7－4,\f(8,3)) m/s2＝eq \f(9,8) m/s2.
(2)设A车加速t′时间后车尾到达B车车头，则s0＋2L＝vAt′＋eq \f(1,2)at′2－vBt′，解得t′＝2 s
在此时间内，A车向前运动了sA1＝vAt′＋eq \f(1,2)at′2
计算可得sA1＝20 m>s＝16 m，说明在离并道对接口16 m的距离上以3 m/s2的加速度加速不能实现安全超车．
题型二 图像法在追及相遇问题中的应用
1．s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：
(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．
(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．
2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．
3．若为s－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．
考向1 s－t图像、v－t图像中的追及相遇问题
例4 (2023·山东泰安市月考)如图所示为甲、乙两车在平直公路上做直线运动的位移－时间(s－t)或速度－时间(v－t)图像，t1时刻两车恰好到达同一地点．关于两车在t1～t2时间内的运动，下列说法正确的是( )
A．若是s－t图像，则当甲车速度为零时，两车的距离最大
B．若是s－t图像，则甲、乙两车的速度相等时，两车间的距离最小
C．若是v－t图像，则两车间的距离先增大后减小
D．若是v－t图像，则两车间的距离不断增大
答案 D
解析 若是s－t图像，当甲、乙两车的速度相同时，相对速度为零，距离最远，故A、B错误；若是v－t图像，因为图像与横轴所围图形面积表示位移，则在t1～t2时间内，两车间的距离不断增大，故C错误，D正确．
例5 (多选)(2023·福建省莆田二中模拟)无线蓝牙耳机可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接．为了得到某款无线蓝牙耳机在运动时的最大连接距离，甲和乙两位同学做实验如下：乙佩戴无线蓝牙耳机，甲携带手机检测，二人间隔17.5 m且之间无障碍，某时刻起甲追乙的v－t图像如图所示．发现手机在3 s末开始检测到蓝牙耳机信号，则下列判断正确的是( )
A．4 s时甲、乙相距最近且为8 m
B．4 s时甲、乙相距最近且为9.5 m
C．手机与蓝牙耳机连接上的时间为3 s
D．最远连接距离为10 m
答案 BD
解析 根据题图可知，t＝4 s时甲、乙速度相同，此时相距最近，0～4 s内有s甲－s乙＝v甲Δt－eq \f(v乙Δt,2)＝4×4 m－eq \f(4×4,2) m＝8 m，初始位置乙在甲前方17.5 m处，故此时相距9.5 m，选项A错误，B正确；由题图可知乙的加速度为a乙＝eq \f(v乙－0,Δt)＝1 m/s2，在0～3 s内有s甲′－s乙′＝v甲Δt′－eq \f(1,2)a乙Δt′2＝4×3 m－eq \f(1,2)×1×32 m＝7.5 m，则有最远连接距离为Δs＝17.5 m－7.5 m＝10 m，选项D正确；根据图像的对称性可知，3 s末与5 s末甲、乙距离相等，即5 s末手机与蓝牙耳机信号恰好断开，连接上的时间为2 s，选项C错误．
考向2 利用v－t图像分析追及相遇问题
例6 假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30 m/s.甲、乙相距s0＝100 m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化关系分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是( )
A．t＝3 s时两车相距最近
B．t＝6 s时两车速度不相等
C．t＝6 s时两车距离最近，且最近距离为10 m
D．两车在0～9 s内会相撞
答案 C
解析 由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6 s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积表示0～6 s内两车位移之差，即Δs＝[eq \f(1,2)×30×3＋eq \f(1,2)×30×(6－3)] m＝90 m
1.(多选)如图，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移－时间(s－t)图线，由图可知( )
A．在t1时刻，a车追上b车
B．在t2时刻，a、b两车运动方向相反
C．在t1到t2这段时间内，b车的速率先减小后增大
D．在t1到t2这段时间内，b车的速率一直比a车大
答案 BC
解析 t1时刻，a、b两车的位置相同，此前a车在前、b车在后，此后b车在前、a车在后，因此是b车追上a车．由于s－t图像的斜率表示速度的大小及方向，因此a车速度不变，做匀速直线运动，b车先做减速运动，速度减至零后又开始反方向做加速运动．t2时刻两图像的斜率一正一负，两车速度方向相反，选项A、D错误，B、C正确．
2.(2023·四川南充市模拟)某车型在红绿灯停启、无保护左转、避让路口车辆、礼让行人、变道等方面都能无干预自动驾驶．某次试乘时，甲、乙两车同时并排出发，沿着同一平直路面行驶，它们的速度v随时间t变化的图像如图所示．则下列说法中正确的是( )
A．t1～t2时间内，甲、乙两车的加速度不可能相同
B．t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离始终增大
C．t1～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
D．t1～t2时间内，甲车的平均速度大于乙车的平均速度
答案 D
解析 由于v－t图像的斜率表示加速度，则由题图可看出，图线甲的斜率先减小后反向增大，存在某一时刻图线甲的斜率与图线乙的斜率相同，故在t1～t2时间内，存在甲、乙两车加速度相同的时刻，A错误；由题图可看出在0 ～ t1时间内，乙的速度一直大于甲的速度，又根据题知甲、乙两车同时从同一位置出发，则二者距离先增大，且在t1时刻乙在甲前面，t1后甲的速度大于乙的速度，则二者越来越近，最后相遇，但甲的速度依然大于乙的速度，则二者的距离再增大，到t2时甲在乙前面，故在t1～t2时间内，甲、乙两车间的距离先减小后增大，甲、乙两车相遇一次，B、C错误；根据平均速度的计算公式有eq \x\t(v)＝eq \f(s,t)，由于v－t图像与横轴围成的面积表示位移，则在t1～t2时间内，s甲>s乙，则甲车的平均速度大于乙车的平均速度，D正确．
3.(多选)在2017年匈牙利航海模型帆船项目世界锦标赛上，中国选手获得遥控帆船(F5－10)冠军．若a、b两个遥控帆船从同一位置向同一方向做直线运动，它们的v－t图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A．b船启动时，a船在其前方2 m处
B．运动过程中，b船落后a船的最大距离为1.5 m
C．b船启动3 s后正好追上a船
D．b船超过a船后，两船不会再相遇
答案 BCD
解析 根据v－t图线与时间轴包围的面积表示位移，可知b在t＝2 s时启动，此时a的位移为s＝eq \f(1,2)×2×1 m＝1 m，即a在b前方1 m处，故A错误；两船的速度相等时相距最远，最大距离为Δs＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1 m－eq \f(1,2)×1×1 m＝1.5 m，故B正确；由于两船从同一地点向同一方向沿直线运动，当位移相等时两船才相遇，由题图可知，b船启动3 s后位移sb＝eq \f(1,2)×(1＋3)×2 m＝4 m，此时a的位移sa＝eq \f(1,2)×(5＋3)×1 m＝4 m，即b刚好追上a，故C正确；b船超过a船后，由于b的速度大，所以不可能再相遇，故D正确．
4．(多选)近期，一段特殊的“飙车”视频红遍网络，视频中，一辆和谐号动车正和一辆复兴号动车互相追赶(如图甲)．两车并排做直线运动，其v－t图像如图乙所示，t＝0时，两车车头刚好并排，则( )
A．10 s末和谐号的加速度比复兴号的大
B．图乙中复兴号的最大速度为78 m/s
C．0到32 s内，在24 s末两车车头相距最远
D．两车头在32 s末再次并排
答案 BC
解析 v－t图像的斜率表示加速度，可得和谐号的加速度为a1＝eq \f(72－60,24) m/s2＝eq \f(1,2) m/s2，复兴号的加速度为a2＝eq \f(72－60,24－8) m/s2＝eq \f(3,4) m/s2，则10 s末和谐号的加速度比复兴号的小，故A错误；题图乙中复兴号的最大速度为vm＝72 m/s＋a2×(32－24) m/s＝78 m/s，故B正确；因t＝0时两车车头刚好并排，在0到24 s内和谐号的速度大于复兴号的速度，两者的距离逐渐增大，速度相等后两者的距离缩小，则在24 s末两车车头相距最远，故C正确；由v－t图像中图线与t轴所围的面积表示位移，则在0～24 s两者的最大距离为Δs＝eq \f(8×72－60,2) m＝48 m，而在24～32 s内缩小的距离为Δs′＝eq \f(78－72×32－24,2) m＝24 m<Δs，即32 s末复兴号还未追上和谐号，故D错误．
5.(多选)(2023·福建省三明一中模拟)甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点同向行驶，两车的速度v随时间t的变化关系如图所示，其中两阴影部分的面积相等(S1＝S2)，则( )
A．甲、乙两车均做直线运动
B．在0～t2时间内，甲、乙两车相遇两次
C．在0～t2时间内，甲的加速度先减小后增大
D．在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车一直在乙车前面
答案 AD
解析 甲、乙两车均做直线运动，A正确；从图像可知，在0～t2时间内，甲、乙两车图线与t轴所包围的“面积”相等，即两车的位移相等，所以t2时刻，甲、乙两车相遇且只相遇一次，B错误；在0～t2时间内，甲车的v－t图线斜率不断增大，所以加速度不断增大，C错误；在0～t2时间内(不包括t2时刻)，甲车图线与t轴所包围的“面积”大于乙车图线与t轴所包围的“面积”，即甲车的位移大于乙车的位移，且甲、乙两车在平直的公路上同时从同一地点出发，所以甲车一直在乙车前面，D正确．
6.(多选)(2023·福建省模拟)A、B两物体沿同一直线同向运动，0时刻开始计时，A、B两物体的eq \f(s,t)－t图像如图所示，已知在t＝10 s时A、B在同一位置，根据图像信息，下列说法正确的是( )
A．B做匀加速直线运动，加速度大小为1 m/s2
B．t＝6 s时，A在前、B在后，B正在追赶A
C．A、B在t＝0时刻相距30 m
D．在0～10 s内A、B之间的最大距离为49 m
答案 BD
解析 由匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2可得eq \f(s,t)＝v0＋eq \f(1,2)at，对比B物体的图线可知eq \f(1,2)a＝eq \f(14－10,10－6) m/s2＝1 m/s2，由相似三角形可知，B的图线与纵轴的交点坐标为4 m/s，即初速度大小v0＝4 m/s，加速度大小a＝2 m/s2，B物体做匀加速直线运动，A错误；对比A物体的图线可知，A物体做匀速直线运动，速度为v＝10 m/s，在t＝10 s时A、B的位移分别为sA＝vt1＝100 m，sB＝v0t1＋eq \f(1,2)at12＝140 m，此时到达同一位置，故在t＝0时刻，A在B前40 m处，C错误；t＝6 s时，由位移公式可得，A、B位移均为60 m，故A在前、B在后，B正在追赶A，B正确；当A、B速度相同时，相距最远，则有v0＋at2＝v，代入数据可得t2＝3 s，由位移公式可得，A、B的位移分别为30 m、21 m，故此时的距离最大，且为Δs＝40 m＋30 m－21 m＝49 m，D正确．
7．(2023·浙江省模拟)甲、乙两名运动员在泳池里训练，t＝0时刻从泳池的两端出发，甲、乙的速度－时间图像分别如图甲、乙所示，若不计转向的时间且持续运动，两运动员均可视为质点，下列说法正确的是( )
A．泳池长50 m
B．两运动员一定不会在泳池的两端相遇
C．从t＝0时刻起经过1 min，两运动员共相遇了3次
D．在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为8∶5
答案 C
解析 根据v－t图线与时间轴围成的面积表示位移，可知泳池长度L＝1.25×20 m＝25 m，故A错误；如图所示，由甲、乙的位移－时间图线的交点表示相遇可知，甲、乙在t＝100 s时在泳池的一端相遇，故B错误；在0～60 s内甲、乙相遇3次，故C正确；在0～30 s内，甲的位移大小为s1＝1.25×20 m－1.25×10 m＝12.5 m，乙的位移大小为s2＝1.0×25 m－1.0×5 m＝20 m，在0～30 s内，甲、乙运动员的平均速度大小之比为v1∶v2＝eq \f(s1,t′)∶eq \f(s2,t′)＝5∶8，故D错误．
8．(2023·广东省华南师大附中模拟)如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点(t＝0)，A、B两车的v－t图像如图乙所示．已知B车在第1 s内与A车的距离缩短了s1＝12 m.
(1)求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小．
(2)若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时(t＝0)两车的距离s0应满足什么条件？
答案 (1)12 m/s 3 m/s2 (2)s0>36 m
解析 (1)在t1＝1 s时，A车刚启动，两车间缩短的距离为B车的位移，可得s1＝vBt1，解得B车的速度大小为vB＝12 m/s，图像斜率表示加速度，可得A车的加速度大小为a＝eq \f(vB,t2－t1)，其中t2＝5 s，解得A车的加速度大小为a＝3 m/s2.
(2)两车的速度达到相同时，两车的距离达到最小，对应v－t图像的t2＝5 s时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则s＝eq \f(1,2)vB(t1＋t2)，代入数据解得s＝36 m，因此，若A、B两车不会相撞，则两车的距离应满足条件为s0>36 m.
9．(2023·福建南平市模拟)某足球场长90 m、宽60 m．在该足球场上举办的一次足球比赛中，攻方前锋在中线处将静止的足球沿边线向前踢出，如图所示，足球获得大小为12 m/s的初速度并在地面上沿边线做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s2.
(1)求足球停下时到底线的距离；
(2)足球开始做匀减速直线运动的同时，该队员沿边线向前追赶足球．追赶过程中该队员先做初速度为零的匀加速直线运动，速度达到9 m/s后做匀速直线运动．若足球停下时该队员刚好追上足球，求该队员加速阶段的加速度大小．
答案 (1)9 m (2)2.25 m/s2
解析 (1)足球的加速度大小为a1＝2 m/s2，足球做匀减速运动的时间为t1＝eq \f(v1,a1)＝6 s
运动的位移为s1＝eq \f(v1,2)·t1＝36 m，足球停下时到底线的距离为s＝eq \f(90,2) m－36 m＝9 m
(2)设运动员加速时间为t2，运动员的最大速度为v2，加速度大小为a2，加速阶段的位移为s2＝eq \f(v2,2)·t2
匀速阶段的位移为s3＝s1－s2＝v2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t1－t2))，
联立解得t2＝4 s，根据v2＝a2t2，解得该运动员加速阶段加速度大小为a2＝2.25 m/s2.
10．(2023·福建省莆田二中模拟)春节放假期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，但要求小轿车通过收费站窗口前s0＝9 m区间内的速度不超过v0＝6 m/s.现有甲、乙两小轿车在收费站前平直公路上分别以v甲＝20 m/s和v乙＝32 m/s的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后．甲车司机发现正前方收费站，开始以大小为a甲＝2 m/s2的加速度匀减速刹车．
(1)求甲车司机需在离收费站窗口至少多远处开始刹车才不违章；
(2)若甲车司机经刹车到达离收费站窗口前9 m处的速度恰好为6 m/s，乙车司机在发现甲车刹车时经t0＝0.5 s的反应时间后开始以大小为a乙＝4 m/s2的加速度匀减速刹车．为避免两车相撞，且乙车在收费站窗口前s0＝9 m区间内不超速．则在甲车司机开始刹车时，求甲、乙两车至少相距多远．
答案 (1)100 m (2)48.5 m
解析 (1)甲车速度由20 m/s匀减速至6 m/s的过程中，甲车位移s1＝eq \f(v甲2－v02,2a甲)＝91 m
s2＝s0＋s1＝100 m，即甲车司机需在离收费站窗口至少100 m处开始刹车才不违章．
(2)设甲车司机刹车后经时间t，甲、乙两车速度相同，由运动学公式得v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t，解得t＝7 s．甲车刹车后7 s时的速度为v＝v甲－a甲t＝6 m/s，则有共同速度v＝6 m/s为不相撞的临界条件，乙车从32 m/s匀减速至6 m/s的过程中的位移为s3＝eq \f(v乙2－v2,2a乙)＝123.5 m，乙车在反应时间内经过的位移s4＝v乙t0＝16 m，所以要满足条件甲、乙的距离至少为s＝s3＋s4－s1＝48.5 m.
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