2024年四川省眉山市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省眉山市中考数学试卷【含解析】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣3.14B．﹣2C．D．
2．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2﹣a＝aB．a•a2＝a3
C．（a2）3＝a5D．（2ab2）3＝6a3b6
4．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5B．1.4，1.5C．1.48，1.5D．1，2
5．如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．不等式组的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤4C．x＞1或x≤4D．1＜x≤4
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
8．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．670×（1+2x）＝780B．670×（1+x）2＝780
C．670×（1+x2）＝780D．670×（1+x）＝780
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cs∠CEF的值为（ ）
A．B．C．D．
10．定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（ ）
A．﹣21B．﹣9C．﹣7D．﹣5
11．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．44
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则﹣＜a+b+c＜﹣，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．分解因式：3a3﹣12a＝ ．
14．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ．
15．如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 米．
16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 ．
17．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 ．
18．如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB＝10，BD＝2，则BC的长为 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（8分）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
20．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上．
21．（10分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，B型，C型，D型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）①m＝ ；
②扇形统计图中α的度数为 ．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率．
22．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
23．（10分）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业篷勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值．
25．（10分）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为 ．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF＝OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝2﹣）
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑．
1．下列四个数中，无理数是（ ）
A．﹣3.14B．﹣2C．D．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：﹣3.14，﹣2，是有理数，是无理数，
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．
【解答】解：选项A的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B、C、D的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．
3．下列运算中正确的是（ ）
A．a2﹣a＝aB．a•a2＝a3
C．（a2）3＝a5D．（2ab2）3＝6a3b6
【分析】利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a2与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
a•a2＝a3，则B符合题意；
（a2）3＝a6，则C不符合题意；
（2ab2）3＝8a3b6，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．为落实阳光体育活动，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1，1.5，1.4，2，1.5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.5，1.5B．1.4，1.5C．1.48，1.5D．1，2
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，1.4，1.5，1.5，2，
则中位数是1.5，
众数是1.5．
故选：A．
【点评】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正确，再证明△ODE≌△OBF（ASA），得S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确，然后由S△ABD﹣S△ODE＝S△CDB﹣S△OBF，得S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，∠A＝∠C，故①③正确，
∴S△ABD＝S△CDB＝S平行四边形ABCD，∠ODE＝∠OBF，
∵点O是BD的中点，
∴OD＝OB，
又∵∠DOE＝∠BOF，
∴△ODE≌△OBF（ASA），
∴S△ODE＝S△OBF，EO＝FO≠ED，故②不正确，
∵S△ABD＝S△CDB，S△ODE＝S△OBF，
∴S△ABD﹣S△ODE＝S△CDB﹣S△OBF，
即S四边形ABOE＝S四边形CDOF，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．不等式组的解集是（ ）
A．x＞1B．x≤4C．x＞1或x≤4D．1＜x≤4
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
故不等式组的解集为1＜x≤4．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交AC于点D，连结BD，则△BCD的周长为（ ）
A．7B．8C．10D．12
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到＝BD，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：由作图知，EF垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝6，BC＝4，
∴△BCD的周长＝6+4＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．670×（1+2x）＝780B．670×（1+x）2＝780
C．670×（1+x2）＝780D．670×（1+x）＝780
【分析】利用2021年的产量×（1+年平均增长率为x）2＝2023年的产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：670×（1+x）2＝780．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则cs∠CEF的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性质可得AD＝BC＝8，由折叠的性质可得AF＝AD＝8，DE＝EF，由勾股定理可求BF的长，在Rt△EFC中，由勾股定理可求EF的长，再由三角函数定义即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，DC＝AB＝6，
∵把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF＝AD＝8，EF＝DE，
∴BF＝＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝8﹣，
在Rt△EFC中，
CE＝DC﹣DE＝6﹣EF，
由勾股定理，得EF2＝CE2+CF2，
∴EF2＝（6﹣EF）2+（8﹣）2，
∴EF＝，
∴CE＝6﹣＝，
∴cs∠CEF＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，二次根式的运算，灵活运用这些性质是解题的关键．
10．定义运算：a⊗b＝（a+2b）（a﹣b），例如4⊗3＝（4+2×3）（4﹣3），则函数y＝（x+1）⊗2的最小值为（ ）
A．﹣21B．﹣9C．﹣7D．﹣5
【分析】根据新运算的定义，可y与x之间的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可．
【解答】解：由题意得，y＝（x+1）⊗2＝（x+1+2×2）（x+1﹣2）＝（x+5）（x﹣1），
即y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，
∴函数y＝（x+1）⊗2的最小值为﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握函数最值的求法是解题的关键．
11．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24B．36C．40D．44
【分析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，
∵图1中大正方形的面积是24，
∴a2+b2＝c2＝24，
∵小正方形的面积是4，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，
∴ab＝10，
∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4×ab＝24+2×10＝44；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，下列四个结论：①bc＜0；②3a+2c＜0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，则﹣＜a+b+c＜﹣，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；
利用4ac﹣b2＜﹣1，可判断②；
从图象4a与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出③的正误；
由最小值为2解答即可．
【解答】解：①∵函数图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b＜0，
∴抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为直线x＝1，
∴﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴3a+2c＜0，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，a＞0，
∴y＝a+b+c最小值，
ax2+bx+c≥a+b+c，故③正确；
④∵﹣2＜c＜﹣1，
∵x1x2＝（﹣1）×3＝﹣3＝﹣3a，
∴c＝﹣3a，
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴，
∵b＝﹣2a，
∴a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a，
∴，
故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选：D．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上．
13．分解因式：3a3﹣12a＝ 3a（a+2）（a﹣2） ．
【分析】首先提取公因式3a，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：3a2﹣12a
＝3a（a2﹣4）
＝3a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握利用提公因式法与公式法分解因式是解题的关键．
14．已知方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则的值为 ．
【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，再把要求的式子进行通分，然后代值计算，即可得出答案．
【解答】解：∵方程x2+x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣2，
∴＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．如图，斜坡CD的坡度i＝1：2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10米，则大树AB的高为 （4﹣2） 米．
【分析】过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过点E作水平地面的平行线，交AB的延长线于点H，
则∠BEH＝∠DCF，
在Rt△BEH中，sin∠BEH＝cs∠BCF＝＝，
设BH＝x米，EH＝2x米，
∴BE＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴BH＝2米，EH＝4米，
∵∠EAH＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴AH＝＝4（米），
∴AB＝AH﹣BH＝（4﹣2）（米），
答：大树AB的高度为（4﹣2）米．
故答案为：（4﹣2）．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
16．如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连结AE分别交BD，CD于点F，G，则FG的长为 ．
【分析】先根据菱形的性质得到AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，则∠DCE＝60°，再在Rt△DCE中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到CE＝3，DE＝3，接着在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE＝3，然后证明△AFD∽△EFB，利用相似比和比例的性质计算出AF＝，同样方法计算出AG＝2，最后计算AG﹣AF即可．
【解答】解：∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝120°，
∴AD＝BC＝CD＝6，AD∥BC，∠BCD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DCE中，∵∠CDE＝90°﹣∠DCE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴DE＝CE＝3，
∴BE＝BC+CE＝9，
∵AD∥BE，
∴∠ADE＝180°﹣∠DEC＝90°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝3，
∵AD∥BE，
∴△AFD∽△EFB，
∴＝＝＝，
∴AF＝AE＝×3＝，
∵AD∥CE，
∴△AGD∽△EGC，
∴＝＝＝2，
∴AG＝AE＝×3＝2，
∴FG＝AG﹣AF＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了菱形的性质．
17．已知a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝，则a2024的值为 ．
【分析】先算出前几个式子的结果，然后根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律得出答案即可．
【解答】解：∵a1＝x+1，
∴a2＝＝＝﹣，
a3＝＝＝，
∴a4＝＝＝＝x+1，
∴a5＝﹣，
a6＝，
…，
由上可得，每三个为一个循环，
∵2024÷3＝674×3+2，
∴a2024＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，数字的变化规律等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
18．如图，△ABC内接于⊙O，点O在AB上，AD平分∠BAC交⊙O于D，连结BD．若AB＝10，BD＝2，则BC的长为 8 ．
【分析】延长AC，BD交于E，根据圆周角定理得到BD⊥AD，求得∠ADB＝∠ADE＝90°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠DAE，根据全等三角形的性质得到BD＝DE＝2，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：延长AC，BD交于E，
∵AB是⊙O的直径，
∴BD⊥AD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE，
∴AD＝AD，
∴△BAD≌△EAD（ASA），
∴BD＝DE＝2，
∴BE＝4，
∵AB＝10，BD＝2，
∴AD＝＝4，
∵∠DAC＝∠CBD，
∵∠ADB＝∠BCE＝90°，
∴△ABD∽△BCE，
∴，
∴＝，
∴BC＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上．
19．（8分）计算：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|．
【分析】先化简零指数幂、负整数指数幂、三角函数、绝对值，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（﹣π）0+（﹣）﹣2+2sin45°﹣|1﹣|
＝1+4+2×﹣（）
＝1+4+
＝6．
【点评】本题考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20．（8分）解不等式：﹣1≤，把它的解集表示在数轴上．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：﹣1≤，
2（x+1）﹣6≤3（2﹣x），
2x+2﹣6≤6﹣3x，
2x+3x≤6+6﹣2，
5x≤10，
x≤2，
其解集在数轴上表示如下：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（10分）为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机（分别为A型，B型，C型，D型）一个月内改造建设高标准农田的面积（亩），并绘制成如图不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
利用图中的信息，解决下列问题：
（1）①m＝ 32 ；
②扇形统计图中α的度数为 72° ．
（2）若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩？
（3）若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台挖掘机参加其它任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率．
【分析】（1）①根据D的亩数和所占的百分比求出调查的总亩数，用总亩数减去其它型号的亩数，求出m；
②用360°乘以A所占的百分比，求出α；
（2）用总亩数乘以B型所占的百分比，即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）①12÷＝80（亩），
m＝80﹣16﹣20﹣12＝32；
②扇形统计图中α的度数为360°×＝72°；
故答案为：32，72°；
（2）根据题意得：
960×＝240（亩），
答：估计其中B型挖掘机改造建设了240亩；
（3）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的有2中情况，
∴同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率为：＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到BAE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAO，求得∠OAC＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC＝16，求得BE＝BC﹣CE＝12，连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠EAD，求得，得到BD＝DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴，
∴，
∴BC＝16，
∴BE＝BC﹣CE＝12，
连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴，
∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝BD＝BE＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
23．（10分）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业篷勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．
（1）求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？
（2）已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意列出分式方程解答即可；
（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100﹣x）件，总利润为W，根据题意列出不等式求出x取值范围，再列出W和x的函数关系式，根据函数性质确定x的取值，求出最大利润即可．
【解答】解：（1）A款文创产品每件的进价a元，则B文创产品每件的进价是（a﹣15）元，根据题意得：
，
解得：a＝80，
经检验，a＝80是原分式方程的解，
80﹣15＝65．
答：A款文创产品每件的进价80元，则B文创产品每件的进价是65元．
（2）设购进A款文创产品x件，则购进B款文创产品（100﹣x）件，总利润为W，根据题意得：
80x+65（100﹣x）≤7400，
解得：x≤60，
∴W＝（100﹣80）x+（80﹣65）（100﹣x）＝5x+1500，
∵k＝5＞0，w随x的增大而增大，
∴当x＝60时，利润最大，W最大＝5×60+1500＝1800．
答：购进A款文创产品60件，购进B款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元．
【点评】本题考查了一次函数和分式方程的应用，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），与x轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF＝AB时，求a的值．
【分析】（1）根据已知条件列方程求得m＝6，得到反比例函数的表达式为y＝，求得B（3，2），解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，则此时，△PAB的周长最小，根据轴对称的性质得到E（﹣1，6），得到直线BE的解析式为y＝﹣x+5，当x＝0时，y＝5，于是得到点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，求得直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，解方程得到E（，0）．F（0，8﹣a），根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n，2），
∴，
∴m＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∴2＝，
∴n＝3，
∴B（3，2），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
则此时，△PAB的周长最小，
∵点A（1，6），
∴E（﹣1，6），
设直线BE的解析式为y＝mx+c，
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5，
∴点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x+8﹣a，
∴E（，0）．F（0，8﹣a），
∵EF＝AB，
∴＝×，
解得a＝6或a＝10．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
25．（10分）综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 4 ；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 4 ．
（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与S的关系为 S1＝S ．
类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF＝OC，请你帮他进行证明．
拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM＝BN时，请求出重叠部分的面积．
（参考数据：sin15°＝，cs15°＝，tan15°＝2﹣）
【分析】操作发现：（1）由正方形的性质及面积公式可得出答案；
（2）过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．证出△OGE≌△OHF（ASA），得出S△OGE＝S△OHF，则可得出结论；
类比探究：证明△EOB≌△FOC（ASA），得出BE＝CF，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
拓展延伸：过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．证明△OGM≌△OHN（SAS），得出S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，求出∠GOM＝＝15°，由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，求出GM的长，求出三角形OGM的面积，则可得出答案．
【解答】解：操作发现：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，
当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为S△BOC＝＝＝4；
当一条直角边与正方形的一边垂直时，如图，
∴∠OMC＝∠MON＝∠BCD＝90°，
∴四边形MONC是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝45°，OA＝OC，
∴∠MOC＝∠MCO，
∴OM＝MC，
∴四边形OMCN是正方形，
∴OM＝AD＝2，
∴四边形OMCN的面积是4，
故答案为：4，4；
（2）如图，过点O作OG⊥CB于点G，OH⊥DC于点H．
∵O是正方形ABCD的中心，
∴OG＝OH，
∵∠OGC＝∠OHC＝∠C＝90°，
∴四边形OGCH是矩形，
∵OG＝OH，
∴四边形OGCH是正方形，
∴∠GOH＝∠EOF＝90°，
∴∠EOG＝∠FOH，
∵∠OGE＝∠OHF＝90°，
∴△OGE≌△OHF（ASA），
∴S△OGE＝S△OHF，
∴S四边形OECF＝S正方形OGCH＝S正方形ABCD，
∴S1＝S．
故答案为：S1＝S；
类比探究：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OB＝OC＝OD＝OA，∠BCD＝∠OCD＝45°，
∵∠FOE＝∠BOC，
∴∠EOB＝∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（ASA），
∴BE＝CF，
∴BE+DF＝CF+DF＝CD，
∵CD＝OC，
∴BE+DF＝OC，
拓展延伸：
过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥BC于点H．
同（2）可知四边形OGBH是正方形，
∴BG＝BH，OG＝OH，
∵BM＝BN，
∴GM＝NH，
∵∠OGM＝∠OHN＝90°，
∴△OGM≌△OHN（SAS），
∴S△OGM＝S△OHN，∠GOM＝∠NOH，
∵∠MON＝60°，
∴∠GOM＝＝15°，
由（1）可知OG＝2，S正方形OGBH＝4，
∴tan∠GOM＝tan15°＝＝2﹣，
∴GM＝2×＝4﹣2，
∴＝＝4﹣2，
∴重叠部分的面积＝S四边形OMBN＝S正方形OGBH﹣2S△OGM
＝4﹣2×（4﹣2）
＝4﹣4．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点D在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，求得直线AC解析式为y＝x+3，设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），故DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，由△ACD的面积为3，得DK•|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，解出t的值可得D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）求出A（﹣3，0），B（1，0），直线BC解析式为y＝﹣3x+3，设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，分始终情况分别画出图形根据等腰直角三角形性质和全等三角形判定与性质解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过D作DK∥y轴交AC于K，如图：
由A（﹣3，0），C（0，3）得直线AC解析式为y＝x+3，
设D（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴DK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵△ACD的面积为3，
∴DK•|xA﹣xC|＝3，即（﹣t2﹣3t）×3＝3，
解得t＝﹣1或t＝﹣2，
∴D的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；
（3）在直线BC上存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0得0＝﹣x2﹣2x+3，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
由B（1，0），C（0，3）得直线BC解析式为y＝﹣3x+3，
设P（m，﹣3m+3），D（n，﹣n2﹣2n+3），
过P作PN⊥y轴于N，过D作DM⊥y轴于M，
①∵OA＝OC＝3，
∴当P与C重合，D与A重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图：
此时P（0，3）；
②当P在第一象限，D在第四象限时，
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴DM＝ON，OM＝PN，
∴，
解得（n小于0，舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐标为（，）；
③当P在第四象限，D在第三象限时，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝，
∴P的坐标为（，）；
④当P在第四象限，D在第一象限，如图：
∵△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形，
∴OD＝OP，∠POD＝90°，
∴∠DOM＝90°﹣∠PON＝∠OPN，
∵∠DMO＝90°＝∠PNO，
∴△DOM≌△OPN（AAS），
∴PN＝OM，ON＝DM，
∴，
解得（舍去）或，
∴﹣3m+3＝﹣3×+3＝﹣，
∴P的坐标为（，﹣）；
综上所述，P的坐标为（0，3）或（，）或（，）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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A
B
C
D
亩数
16
20
m
12
型号
A
B
C
D
亩数
16
20
m
12