2022年四川省眉山市中考数学试卷解析版

2022年四川省眉山市中考数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.

1．（4分）实数﹣2，0，，2中，为负数的是（　　）

A．﹣2 B．0 C． D．2

2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记数法表示为（　　）

A．3.677×102 B．3.677×105 C．3.677×106 D．0.3677×107

3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是（　　）

A．W B．L C．S D．Q

4．（4分）下列运算中，正确的是（　　）

A．x3•x5＝x15 

B．2x+3y＝5xy 

C．（x﹣2）2＝x2﹣4 

D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y

5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）

A． B． C． D．

6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8

7．（4分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（　　）

A．9 B．12 C．14 D．16

8．（4分）化简+a﹣2的结果是（　　）

A．1 B． C． D．

9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（　　）

A．28° B．50° C．56° D．62°

11．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

12．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.

13．（4分）分解因式：2x2﹣8x＝　   　．

14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数为 　   　．

15．（4分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 　   　．

16．（4分）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 　   　．

17．（4分）将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：，2，，2；，2，，4；

…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为 　   　．

18．（4分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 　   　．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

19．（8分）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．

20．（8分）解方程：＝．

21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：

84  93  91  87  94  86  97  100  88  94  92  91  82  89  87  92  98  92  93  88

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）C等级的频数为 　   　，B所对应的扇形圆心角度数为 　   　；

（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；

（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）

23．（10分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；

（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；

（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；

（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年四川省眉山市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.

1．（4分）实数﹣2，0，，2中，为负数的是（　　）

A．﹣2 B．0 C． D．2

【解答】解：∵﹣2＜0

∴负数是：﹣2，

故选A．

2．（4分）截至2021年12月31日，全国共有共青团组织约367.7万个．将367.7万用科学记数法表示为（　　）

A．3.677×102 B．3.677×105 C．3.677×106 D．0.3677×107

【解答】解：367.7万＝3677000＝3.677×106；

故选：C．

3．（4分）下列英文字母为轴对称图形的是（　　）

A．W B．L C．S D．Q

【解答】解：A、W是轴对称图形，符合题意；

B、L不是轴对称图形，不合题意；

C、S不是轴对称图形，不合题意；

D、Q不是轴对称图形，不合题意．

故选：A．

4．（4分）下列运算中，正确的是（　　）

A．x3•x5＝x15 

B．2x+3y＝5xy 

C．（x﹣2）2＝x2﹣4 

D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y

【解答】解：A．x3•x5＝x15，根据同底数幂的乘法法则可知：x3•x5＝x8，故选项计算错误，不符合题意；

B．2x+3y＝5xy，2x和3y不是同类项，不能合并，故选项计算错误，不符合题意；

C．（x﹣2）2＝x2﹣4，根据完全平方公式可得：（x﹣2）2＝x2+4x﹣4，故选项计算错误，不符合题意；

D．2x2•（3x2﹣5y）＝6x4﹣10x2y，根据单项式乘多项式的法则可知选项计算正确，符合题意；

故选：D．

5．（4分）下列立体图形中，俯视图是三角形的是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；

C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；

D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；

故选：B．

6．（4分）中考体育测试，某组10名男生引体向上个数分别为：6，8，8，7，7，8，9，7，8，9．则这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．7.5，7 B．7.5，8 C．8，7 D．8，8

【解答】解：根据题意，

这组数据按从小到大排列为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，9；

∴中位数为：8；众数为8；

故选：D．

7．（4分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则△DEF的周长为（　　）

A．9 B．12 C．14 D．16

【解答】解：如图，点E，F分别为各边的中点，

∴DE、EF、DF是△ABC的中位线，

∴DE＝BC＝3，EF＝AB＝2，DF＝AC＝4，

∴△DEF的周长＝3+2+4＝9．

故选：A．

8．（4分）化简+a﹣2的结果是（　　）

A．1 B． C． D．

【解答】解：

＝

＝．

故选：B．

9．（4分）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，

∴5x+2y＝19；

∵2头牛，3只羊共12两银子，

∴2x+3y＝12．

∴可列方程组为．

故选：A．

10．（4分）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（　　）

A．28° B．50° C．56° D．62°

【解答】解：连接OB，

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝28°，

∴∠AOB＝124°，

∵PA、PB切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OP⊥AB，

∴∠OAP+∠OBP＝180°，

∴∠APB+∠AOB＝180°；

∴∠APB＝56°．

故选：C．

11．（4分）一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，则点P（﹣m，m）所在象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：∵一次函数y＝（2m﹣1）x+2的值随x的增大而增大，

∴2m﹣1＞0，

解得：m＞，

∴P（﹣m，m）在第二象限，

故选：B．

12．（4分）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB＝2，HG＝3．以下结论：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD•CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：∵△EDC旋转得到△HBC，

∴∠EDC＝∠HBC，

∵ABCD为正方形，D，B，H在同一直线上，

∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，

∴∠EDC＝135°，故①正确；

∵△EDC旋转得到△HBC，

∴EC＝HC，∠ECH＝90°，

∴∠HEC＝45°，

∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，

∵∠ECD＝∠ECF，

∴△EFC∽△DEC，

∴，

∴EC2＝CD•CF，故②正确；

设正方形边长为a，

∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，

∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，

∵∠GBH＝∠EDC＝135°，

∴△GBH∽△EDC，

∴，即，

∵△HEC是等腰直角三角形，

∴，

∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，

∴△HBG∽△HDF，

∴，即，解得：EF＝3，

∵HG＝3，

∴HG＝EF，故③正确；

过点E作EM⊥FD交FD于点M，

∴∠EDM＝45°，

∵ED＝HB＝2，

∴，

∵EF＝3，

∴，

∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，

∴∠DEC＝∠EFC，

∴，故④正确

综上所述：正确结论有4个，

故选：D．

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.

13．（4分）分解因式：2x2﹣8x＝　2x（x﹣4）　．

【解答】解：原式＝2x（x﹣4）．

故答案为：2x（x﹣4）．

14．（4分）如图，已知a∥b，∠1＝110°，则∠2的度数为 　110°　．

【解答】解：如下图，

∵a∥b，∠1＝110°，

∴∠3＝∠1＝110°，

∵∠3与∠2为对顶角，

∴∠2＝∠3＝110°．

故答案为：110°．

15．（4分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 　11　．

【解答】解：根据题意可得：，

解得：n＝11，

故答案为：11．

16．（4分）设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，则x12+x22的值为 　10　．

【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3，

∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣2）2﹣2×（﹣3）＝10；

故答案为：10．

17．（4分）将一组数，2，，2，…，4，按下列方式进行排列：，2，，2；，2，，4；

…若2的位置记为（1，2），的位置记为（2，3），则2的位置记为 　（4，2）　．

【解答】解：题中数字可以化成：，，，；，，，；

∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，

∵，28是第14个偶数，而14÷4＝3⋯2，

∴的位置记为（4，2），

故答案为：（4，2）．

18．（4分）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为 　6　．

【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，

∴tan∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝30°，

由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，

∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，

∴B′B＝2BF＝4，

∵BE＝BF，∠CBF＝60°，

∴△BEF是等边三角形，

∴BE＝BF＝B'F，

∴△BEB'是直角三角形，

∴B′E＝＝＝6，

∴PE+PB的最小值为6，

故答案为：6．

三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.

19．（8分）计算：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2．

【解答】解：（3﹣π）0﹣|﹣|++2﹣2

＝

＝7．

20．（8分）解方程：＝．

【解答】解：＝，

方程两边同乘（x﹣1）（2x+1）得：

2x+1＝3（x﹣1），

解这个整式方程得：

x＝4，

检验：当x＝4时，（x﹣1）（2x+1）≠0，

∴x＝4是原方程的解．

21．（10分）北京冬奥组委会对志愿者开展培训活动，为了解某批次培训活动效果，随机抽取了20名志愿者的测试成绩．成绩如下：

84  93  91  87  94  86  97  100  88  94  92  91  82  89  87  92  98  92  93  88

整理上面的数据，得到频数分布表和扇形统计图：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）C等级的频数为 　6　，B所对应的扇形圆心角度数为 　162°　；

（2）该批志愿者有1500名，若成绩不低于90分为优秀，请估计这批志愿者中成绩达到优秀等级的人数；

（3）已知A等级中有2名男志愿者，现从A等级中随机抽取2名志愿者，试用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一男一女的概率．

【解答】解：（1）等级C的频数＝20﹣3﹣9﹣2＝6，

B所占的百分比为：9÷20×100%＝45%，

∴B所对应的扇形圆心角度数为：360×45%＝162°．

故答案是：6，162°；

（2）随机抽取的20名志愿者的测试成绩中大于等于9（0分）的人数共有12人，其占样本人数的百分比为：12÷20×100%＝60%，

∴1500名志愿者中成绩达到优秀等级的人数有：1500×60%＝900人．

（3）列出树状图如下所示：

共有6种等可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有4种，

∴恰好抽到一男一女的概率P（一男一女）＝．

22．（10分）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高CD．如图，在楼前平地A处测得楼顶C处的仰角为30°，沿AD方向前进60 m到达B处，测得楼顶C处的仰角为45°，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，

设CD为xm，

∴BD＝CD＝xm，

∴AD＝BD+AB＝（60+x）m，

在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，

tan∠CAD＝tan30°＝＝，

解得≈82．

答：此建筑物的高度约为82 m．

23．（10分）已知直线y＝x与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点M（2，a）．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，将直线y＝x向上平移b个单位后与y＝的图象交于点A（1，m）和点B（n，﹣1），求b的值；

（3）在（2）的条件下，设直线AB与x轴、y轴分别交于点C，D，求证：△AOD≌△BOC．

【解答】（1）解：∵直线y＝x过点M（2，a），

∴a＝2，

∴将M（2，2）代入中，得k＝4，

∴反比例函数的解析式为；

（2）解：由（1）知，反比例函数的解析式为，

∵点A（1，m）在的图象上，

∴m＝4，

∴A（1，4），

由平移得，平移后直线AB的解析式为y＝x+b，

将A（1，4）代入y＝x+b中，得b＝3；

（3）证明：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F．

由（1）知，反比例函数的解析式为，

∵点A（n，﹣1）在的图象上，

∴n＝﹣4，

∴B（﹣4，﹣1），

∵A（1，4），

∴AE＝BF，OE＝OF，

∴∠AEO＝∠BFO，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

∴∠AOE＝∠BOF，OA＝OB，

由（2）知，b＝3，

∴平移后直线AB的解析式为y＝x+3，

又∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点C，D，

∴C（﹣3，0），D（0，3），

∴OC＝OD，

在△AOD和△BOC中，

，

∴△AOD≌△BOC（SAS）．

24．（10分）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．

（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；

（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？

【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，

依题意得：1000（1+x）2＝1440，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．

（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，

依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），

解得：y≤，

又∵y为整数，

∴y的最大值为18．

答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．

25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥DC，连接AC，BC．

（1）求证：BC是∠ABD的角平分线；

（2）若BD＝3，AB＝4，求BC的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：连接OC，如图1，

∵CD与⊙O相切于点C，OC为半径，

∴OC⊥CD，

∵BD⊥CD，

∴OC∥BD，

∴∠OCB＝∠DBC，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠DBC＝∠OBC，

∴BC平分∠ABD；

（2）解：如图2，

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵BD⊥DC，

∴∠D＝90°，

∴∠ACB＝∠D，

∴△ABC∽△CBD，

∴，

∴BC2＝AB•BD，

∵BD＝3，AB＝4，

∴BC2＝3×4＝12，

∴或﹣2（不符合题意，舍去），

∴BC的长为2；

（3）解：如图3，作CE⊥AO于E，连接OC，

∵AB是直径，AB＝4，

∴OA＝OC＝2，

在Rt△ABC中，AC＝＝＝2，

∴AO＝CO＝AC＝2，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠AOC＝60°，

∵CE⊥OA，

∵OE＝OA＝1，

∴，

∴阴影部分的面积为：．

26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；

（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，

∴0＝﹣52﹣4×5+c

∴c＝5，

∴点C的坐标为（0，5）；

（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：

∵A（﹣5，0），C（0，5）

∴OA＝OC，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∴∠CAO＝45°，

∵PF⊥x轴，

∴∠AHF＝45°＝∠PHE，

∴△PHE是等腰直角三角形，

∴，

∴当PH最大时，PE最大，

设直线AC解析式为y＝kx+5，

将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，

∴k＝1，

∴直线AC解析式为y＝x+5，

设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），

∴，

∵a＝﹣1＜0，

∴当时，PH最大为，

∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；

（3）存在，理由如下：

∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，

设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），

分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，

，

解得，

∴点M的坐标为（﹣3，8）；

②当AM为平行四边形对角线时，

，

解得，

∴点M的坐标为（3，﹣16）；

③当AN为平行四边形对角线时，

，

解得，

∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；

综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．