广西壮族自治区来宾市等2地2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试题+

这是一份广西壮族自治区来宾市等2地2023-2024学年高一下学期7月期末质量监测数学试题+，共12页。

注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数满足（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测；②在某校800名学生中，型、型、型和型血的学生依次有300，200，180，120人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为40的样本．完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是（ ）
A．①②都采用简单随机抽样
B．①②都采用分层随机抽样
C．①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D．①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
3．某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为（ ）
A．0.78B．0.79C．0.82D．0.80
4．如图，一艘船上午9：30在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达处，此时又测得奵塔在它的北偏东处，且与它相距．此船的航速是（ ）．
A．16B．32C．64D．128
5．已知，是两个不同平面，，是两条不同直线，下列命题中不正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．如图，在钝角中，角，，所对的边分别是，，，，过点作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（ ）
A．B．
C．D．
7．掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数不超过3”，事件“出现的点数是3或5”，事件“出现的点数是偶数”，则事件、与的关系为（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与独立D．事件与独立
8．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，为球的直径，，则这个三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分．
9．关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
10．设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．是实数
11．如图，四棱锥的底面为菱形，，，底面，是上任意一点（不含端点），为的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若平面，则
B．到平面的距离为
C．当为中点时，过，，的截面图形为直角梯形
D．当为中点时，有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．三条不同的直线，，，若，与，都相交，则，，三条直线能确定的平面的个数是______个．
13．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球，则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为______．
14．等边的边长为6，设其内心为，若平面内的点满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题共13分）已知，．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若与垂直，求当为何值时，．
16．（本小题共15分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
17．（本小题共15分）如图，在正三棱柱中，为的中点．
（1）求直线与所成角的大小；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题共17分）某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人．按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
（ⅰ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的宣传使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
（ⅱ）若第四组宣传使者的年䠲的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年坽的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中岁所有人的年䠲的方差．
19．（本小题共17分）如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到最高端部分还原圆柱，如下图所示，，分别为圆柱底面直径，，为圆柱的母线，，过的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线，且．
（1）证明：；
（2）若底面有一动点从点出发在圆上运动一周，过动点的母线与截面交于点，设，，求与的函数关系．
2024年春季期高一期末教学质量监测
数学参考答案及解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1． 复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：B．
2．由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研究血型与色弱的关系，说明某校800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样．故选：C．
3．大量重复试验，由表格知射击运动员射中8环以上的频率稳定在0.8，所以估计这名运动员射击一次射中8环以上的概率为0.8，故选：D．
4．设航速为，在中，，，，由正弦定理，得，．故选：B．
5．对于A，若，则取内任意两条相交直线，，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；
对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；
对于C，若，，如图，设，平面为平面，，设平面为平面，，则，故C错误；
对于D，由面面垂直的判定定理可得，故D正确；故选：C．
6．，，，又，，即．故选：A．
7．由题意可知：，，，因为，所以事件与不可能是互斥，又，故、不对立，因为，，，所以有，因此事件与独立，故C正确；又，，所以，所以、不独立．故选C．
8．如图所示，由条件为直角三角形，则斜边的中点为的外接圆的圆心，
连接得平面，，
，，平面，
三棱锥的体积为．故选B．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选的得0分．
9．对于A选项，若，但、不一定相等，A错；对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，由，则，成立，C对；
对于D选项，若，但、不能比较大小，D错．故选BC．
10．对于A，令，，则，于是，所以A正确；
对于B，令，，则，因为，所以，，所以B正确；
对于C，令，，满足，而，，，所以C错误；
对于D，令，，则，而是实数，所以D正确．故选：ABD．
11．平面，平面，平面平面，，A正确；
设到平面的距离为，则有，，，即，则，B正确；
当为中点时，如图1，取的中点，连接，，，则，，，则且，过、、的截面为，取的中点，连结，则，且，故四边形是平行四边形，因此，，易证平面，所以，得，即四边形为直角梯形，C正确；
借助于侧面展开图，如图2，连接交于点，此时为最小值。若为中点时，，则，，这与题意相矛盾，D错误；故选：ABC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．由直线，可得直线，可以唯一确定一个平面，设该平面为，设，，可得，，因为，，所以，所以、、三条直线能确定的平面的个数是1个．
13．【详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分
所以概率为
14．因为内切圆半径，外接圆半径，由等边的内心为，则也为的重心，且，故在以为圆心，1为半径的圆上，所以轨迹在三角形内部，如下图示，，所以，若是中点，则，综上，，要使其最小，只需，反向共线，由，，故．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
（1）由可知，，两向量的夹角为或，
当夹角为时，；
当夹角为时，；
所以，．
（2）由题意可知，若，则，
，
所以．
（3）由与垂直可得，即；
若，则，
即，得，
所以，当时，．
16．（1）由，，
由，
；
（2），由正弦定理得①
又，②，联立①②
解得，，
．
17．（1）在正三棱柱中，
因为平面，平面，所以．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
又因为，平面，
所以平面；
又因为平面，所以，
所以直线与所成角的大小为．
法2：取的中点，连结，，又为的中点，所以为的中位线，，故为直线与的所成角（或其补角）
设，，因为为正三角形，所以，
在中，，在中，，
所以，，
所以直线与所成角的大小为．
（2）由（1）知，平面，所以即为直线与平面所成的角，
设等边的边长为2，则，
所以在中，，，
所以．
即直线与平面所成的角的正弦值为．
另解（2）如果用法2证明（1），解答如下：
在正三棱柱中，因为平面，平面，所以．
因为为等边三角形，为的中点，所以．
又因为，平面，
所以平面；所以即为直线与平面所成的角，
设等边的边长为2，则，
所以在中，，，
所以．
即直线与平面所成的角的正弦值为．
18．（1）设这人的平均年龄为，则（岁）
设第80百分位数为，分数低于35分占，
分数低于40分占，故，
所以，解得．
或者．
（2）（ⅰ）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，
对应的样本空间为：，共15个样本点．
设事件“甲、乙两人至少一人被选上”，则，共有9个样本点，
所以，．
（ⅱ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35至45岁的所有人的年龄方差约为10．
19．（1）由底面圆，且底面圆，，
又因为，平面，，
平面，
而平面，则．
（2）①因为且，所以为平面与底面二面角的平面角
又因为，所以．
过点做垂直于直线垂足为，连接，
由底面，则，又，且，平面，所以，
则，，
作垂直于直径垂足为，四边形为矩形，，
，则底面圆半径，
又因为，所以，当时，，，，
当时，，，，
同理，当时，也有，
又，，，
（注：若没有给出的取值范围扣1分，范围是两边都闭或一开一闭都可以。）
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
B
C
A
C
B
题号
9
10
11
答案
BC
ABD
ABC
题号
12
13
14
答案