专题3.4 函数的应用（一）-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀25题（人教A版2019）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使收入每天达到最高，则每间应定价为（ ）
A．20元B．18元
C．16元D．14元
【答案】C
【解析】本题首先可以求出在图表的四种情况下的每天的收入的数值，然后通过比较，即可得出结果.
【详解】当定价为元时，每天的收入为（元）；
当定价为元时，每天的收入为（元）；
当定价为元时，每天的收入为（元）；
当定价为元时，每天的收入为（元）；
故当定价为元时，每天的收入最高，收入为元，
故选：C.
【点睛】本题考查根据表格中的数据求每天的收入的最大值，能否根据题意得出每天的收入的计算方式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力，是简单题.
2．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下的体积相同，当时间取1.5分钟时，液面下降高度与漏斗高度的比较．
【详解】解：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，
当时间取时，漏斗中液面下落的高度不
会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．
故选：．
【点睛】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．属于基础题．
3．2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：
两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）
A．20B．30C．35D．40
【答案】B
【解析】根据990不能被13整除，得到两个部门的人数之和为，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组，即可求解.
【详解】由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，
（1）若，则，可得，……(1)
由共需支付门票为1290元，可知,………(2)
联立方程组，可得（舍去）；
（2）若，则，可得，……(3)
由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)
联立方程组可得，
所以两个部门的人数之差为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.
4．函数与图象交点的横坐标所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作函数与的图象，数形结合求解.
【详解】作函数与的图象，如图，
由图且当时，，当时，，
所以交点的横坐标在1与2之间.
故选：A.
5．已知函数的定义域为，且其图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由函数的对称性可知，结合倒序相加法即可选出正确答案.
【详解】因为图象关于点对称，则，
令，
，两式相加得，
所以.
故选:.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是由函数的中心对称性得，再结合倒序相加法求值.
二、多选题
6．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．函数的最大值为1；
B．函数的最小值为0
C．函数的图象与直线有无数个交点
D．函数是增函数
【答案】BC
【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.
【详解】由题意，
对于A：函数，故A错误；
对于B：函数的最小值为0，故B正确；
对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；
对于D：函数不是上的增函数，故D错误；
故选：BC
7．已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．常值函数为回旋函数的充要条件是；
B．若为回旋函数，则；
C．函数不是回旋函数；
D．若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点.
【答案】ACD
【解析】A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.利用回旋函数的定义，令，则必有 ，令，则，推得矛盾；D.根据回旋函数的定义，推得，再根据零点存在性定理，推得零点的个数.
【详解】A.若，则，则，解得：，故A正确；
B.若指数函数为回旋函数，则，即，则，故B不正确；
C.若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有 ，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；
D. 若是的回旋函数，则，对任意的实数都成立，即有，则与异号，由零点存在性定理得，在区间上必有一个零点，可令，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
8．已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．函数在上单调递增
C．
D．若方程在内恰有2个不同的实根，则
【答案】ACD
【分析】由题设递推关系及奇函数可得的周期为8、关于对称、在上递增，在上递减，结合周期性、奇偶性、对称轴及各选项的描述判断正误即可.
【详解】由题设，，则是的对称轴，A正确；
∴，故的周期为8，且，C正确；
又在上单调递增，易知：在上递增，上递减；
∴根据周期性知：在上递减，B错误；
由周期性、对称性知：若在内恰有2个不同的实根，则，D正确.
故选：ACD.
9．若函数的图像在R上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B．在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C．在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D．在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】根据的图像在上连续不断，，，，结合零点存在定理，判断出在区间和上零点存在的情况，得到答案．
【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，
又，无法判断在区间上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选：．
10．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（ ）
A．2.6元B．2.8元C．3元D．3.2元
【答案】BCD
【分析】根据题意设出商品A的单价为元，用含有的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.
【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，
根据题意有，解得，故BCD符合题意.
故选:BCD
三、填空题
11．函数的单调递增区间是_________.
【答案】,
【分析】画出函数图像观察即可.
【详解】易得图像为
故单调递增区间为与
故答案为：,
【点睛】本题主要考查了函数图像的运用与函数的单调性问题,属于基础题型.
12．已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用________作为拟合模型较好．
【答案】甲
【分析】将分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.
【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．
故答案为：甲
13．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k关于身高的函数关系式___________.
【答案】，(只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可.答案不唯一)
【分析】由题意，个数越高，系数越大，因此在上的函数是增函数即可，初始值，，设出函数式代入求解．
【详解】由题意函数是上的增函数，设，，
由，解得，所以，
所以
故答案为：
注：在上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如，等等．
【点睛】思路点睛：本题考查函数的应用，解题时注意题目的要求，只要写出的函数满足在区间上单调递增，且过点和即可，因此函数模型可以很多，答案也不唯一．
14．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____．
【答案】2011
【分析】化简函数f(x)=[x]x-[x]2，对不等式f(x)≥g(x)分类讨论，求出解集而得.
【详解】f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，
f(x)≥g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，
当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)；
当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)；
当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x