专题1.1 集合的概念-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）

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一、单选题
1．下列关系中，正确的是
A．0∈N+B．ZC．π∉QD．0∉N
【答案】C
【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】A：0∉N+，A错误；B：∉Z，B错误；C：π∉Q，C正确；D：0N，D错误；
故选C．
【点睛】本题考查自然数集、正整数集、整数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.
2．已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为（ ）
A．－2B．－1C．－1或－2D．－2或－3
【答案】C
【分析】把-2代入直接计算即可.
【详解】由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1.
故选：C．
3．下列给出的对象中，能表示集合的是（ ）
A．一切很大的数B．无限接近零的数
C．聪明的人D．方程的实数根
【答案】D
【分析】根据集合元素是否具有确定性进行判断即可得到结论．
【详解】A、B、C：给出的对象都是不确定的，所以不能表示集合；
D：方程的实数根为或，具有确定性，所以能构成集合．
故选：
4．若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S中元素个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】两个”我”字只算一个.
【详解】根据集合中元素的互异性,可得S中元素个数是5.
故选B.
【点睛】本题考查了集合中元素的互异性,属于基础题.
5．若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】D
【分析】根据集合元素的互异性即可判断.
【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，
则，所以一定不是等腰三角形．
故选：D．
6．方程组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用代入法和消元法即可求解.
【详解】，两式相加可得，所以，
将代入可得，
所以，
所以方程组的解集是，
故选：D
7．由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据集合元素的互异性，讨论、、情况下已知元素为不同元素的个数，即可知集合元素最多有几个.
【详解】∵，，
∴当时，集合元素最多有1个；
当时，，所以集合元素最多有2个；
当时，，所以集合元素最多有2个；
故选：A
8．方程组的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解方程组可求得，根据解为有序实数对可得到结果.
【详解】由得：
方程组的解为有序实数对 方程组的解集为
故选：
【点睛】本题考查二元一次方程组的解的集合表示，关键是明确方程组的解为有序实数对.
9．下列表示正确的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用元素与集合的关系直接求解．
【详解】在A中，0∈N，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，﹣3∉N，故C错误；
在D中，π∉Q，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．已知集合，且，则实数m的值为（ ）
A．2B．1C．1或2D．0，1，2均可
【答案】A
【分析】分别讨论或,并根据元素的互异性检验即可
【详解】由可得或,所以或.
当时,集合,不满足集合中元素的互异性,舍去；
当时,集合,满足题意,所以.
故选A
【点睛】本题考查根据元素的互异性求参数,考查分类讨论思想
11．由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
12．下列集合中不同于另外三个集合的是（ ）
A．{x|x＝1}B．{x|x﹣1＝0}C．{x＝1}D．{1}
【答案】C
【解析】由集合的表示方法可选出答案.
【详解】通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；
∴C中的集合不同于另外3个集合．
故选：C
13．已知集合，且，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：当时，，集合中有两个相同元素，舍去；当时，，舍去，所以，故选B．
考点：集合与元素的关系．
14．下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( )
A．{x|x＝1}B．{x|x2＝1}
C．{1}D．{y|(y－1)2＝0}
【答案】B
【详解】 {x|x2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.
15．设集合，，则集合是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解方程得到集合；根据，即可求出集合.
【详解】解方程得或，
因为，所以或，
因此，或，故，，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，熟记概念即可，属于基础题型.
16．下列四个集合中，是空集的是（ ）
A．B．，且
C．D．
【答案】B
【解析】根据空集的定义判断．
【详解】A中有元素0，B中集合没有任何元素，为空集，C中有元素1，D中集合，大于4的实数都是其中的元素．
故选：B．
17．集合，若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，列出不等式，解出即可.
【详解】∵，，
∴，所以
故选：C.
18．已知集合，则集合中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】列举法表示出集合，即可求出结果.
【详解】因为集合，
所以集合
，
因此集合中元素的个数为9，
故选：D.
19．定义若则中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可.
【详解】因为且，
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
当时，可能为，此时的取值为：；
综上可知：，所以集合中元素个数为5，
故选：D.
20．给定集合，若对于任意、，有，且，则称集合为闭集合，给出如下三个结论：
①集合为闭集合；
②集合为闭集合；
③若集合、为闭集合，则为闭集合．
其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】取，，利用闭集合的定义可判断①的正误；利用闭集合的定义可判断②的正误；取，，利用特殊值法可判断③的正误.由此可得出合适的选项.
【详解】对于命题①，取，，则，则集合不是闭集合，①错误；
对于命题②，任取、，则存在、，使得，，
且，，所以，，，
所以，集合为闭集合，②正确；
对于命题③，若集合、为闭集合，取，，
则或，
取，，则，，
所以，集合不是闭集合，③错误.
因此，正确的结论个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查集合新定义“闭集合”的判断，考查推理能力，属于中等题.
二、多选题
21．下列说法中不正确的是（ ）
A．与表示同一个集合
B．集合＝与＝表示同一个集合
C．方程＝的所有解的集合可表示为
D．集合不能用列举法表示
【答案】ABC
【分析】根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确；
对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集，
所以B不正确；
对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确；
对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
故选：ABC.
22．下列各组对象中能形成集合的是（ ）
A．高一数学课本中较难的题B．高一（1）班全体学生家长
C．高一年级开设的所有课程D．高一（3）班个子高于1.7米的学生
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用集合的概念及集合元素的特性判断作答.
【详解】对于A，高一数学课本中的题，对某些人是难题，对另外一些人不是难题，
因此高一数学课本中较难的题标准不明确，对象不确定，高一数学课本中较难的题不能形成集合，A不是；
对于B，高一（1）班全体学生家长，对象明确可知，是确定的，能形成集合，B是；
对于C，高一年级开设的所有课程，对象明确可知，是确定的，能形成集合，C是；
对于D，高一（3）班个子高于1.7米的学生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，D是.
故选：BCD
23．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为（ ）
A．{x|x＝2k－1，k∈N}B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
【答案】BD
【分析】用列举法把四个选项对应的集合表示出来，即可验证.
【详解】对于A：
对于B：
对于C：
对于D：
故选：BD
24．（多选）给出下列关系中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据元素与集合的关系即得.
【详解】因为，，，，
所以AD正确.
故选：AD.
25．下面四个说法中错误的是（ ）
A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}
B．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}
C．方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1，1}
D．0与{0}表示同一个集合
【答案】CD
【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断．
【详解】解：10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；
由集合中元素的无序性知{1，2，3}和{3，2，1}表示同一集合，故B正确；
方程x2﹣2x+1＝0的所有解组成的集合是{1}，故C错误；
由集合的表示方法知0不是集合，故D错误，
故选：CD．
26．已知集合A={4，a}，B={1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（ ）
A．{-1，1，4}B．{1，0，4}
C．{1，2，4}D．{-2，1，4}
【答案】BCD
【分析】根据集合元素的互异性讨论参数范围即可得结果．
【详解】若A∪B含3个元素，则a=1或a=a2或a2=4，
a=1时，不满足集合元素的互异性，a=0，a=2或时满足题意，
结合选项可知，A∪B可能是{1，0，4}，{1，2，4}，{-2，1，4}．
故选：BCD．
27．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．集合的真子集个数为8
【答案】AC
【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】因为全集，集合，，
所以，，，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，
故选：AC
28．下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用集合相等判断.
【详解】A. 因为，故两个集合相等；
B. 因为的元素是， 的元素为0，故两个集合不相等；
C. 因为 且，故两个集合相等；
D. ，故两个集合相等；
故选：ACD
29．下列各组中的两个集合和，表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CD
【分析】根据相同集合的定义，依次判断即可
【详解】选项A中两个集合中的元素互不相等，不正确；
选项B中两个集合，一个是数集，一个是点集，不正确；
选项C中集合，正确；
选项D中集合，正确.
所以选项CD是正确的.
故选：CD
30．对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．集合中有个元素D．集合中有个元素
【答案】AC
【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.
【详解】且.
①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；
②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，
可取、、、、；
③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；
④当时，.
综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC.
三、填空题
31．设集合，则用列举法表示集合为______．
【答案】
【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标．
【详解】∵，则可得，则
又∵，则当成立，当成立，
∴
故答案为：．
32．用列举法表示集合_____________________．
【答案】
【分析】求出方程组的解再用列举法写出结果.
【详解】，
故答案为：.
33．用符号“、、、”填空：_____________.
【答案】
【分析】根据元素与集合之间的关系得答案.
【详解】根据元素与集合之间的关系得
故答案为：.
34．已知集合，，则______．
【答案】
【分析】由不等式求得集合A，再用列举法表示集合B，从而得解.
【详解】，，则．
故填：.
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
35．用描述法表示被3除余2的整数集为__________．
【答案】
【分析】由描述法的格式写出集合：集合中元素即为3的整数倍再加2．
【详解】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为．
故答案为：．
36．若平面点集满足:任意点,存在,都有,则称该点集是“阶集”.现有四个命题:
①若,则称是“2阶集”
②若,则称是“2阶集”
③若,则称是“2阶集”
④若是“阶集”,则的取值范围是
其中正确的命题序号为__________.
【答案】①④
【分析】对于①，直接代入判断即可，对于②，取点验证即可，对于③，取点验证即可，对于④，根据题意得到，解不等式即可.
【详解】对于①，若是“2阶集”，则，
即，，故①正确.
对于②，，，，故②错误.
对于③，，
，，故③错误.
对于④，因为是“阶集”，
所以，即，即.
因为，所以，即
又因为，所以.故④正确.
故答案为：①④
【点睛】本题主要考查集合的新定义，同时考查了集合元素的特征，属于中档题.
37．集合，用列举法表示_________.
【答案】
【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.
【详解】因为，所以，
所以列举法表示集合为，
故答案为：.
38．已知集合，若，则方程的解为__________.
【答案】
【解析】由题意可知，是方程的根，解得.方程等价变形为，解得，即可.
【详解】
是方程的根，即，解得.
又方程
，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查元素与集合的关系以及实数指数幂的运算，属于较易题.
39．方程组的解集中元素的个数为_________.
【答案】2
【解析】先求出，再代入求即可求解
【详解】解方程得，，当时，不成立；
当时，，所以，；
所以方程组的解为或，有2组解
故答案为：2
40．已知集合，，则集合B中的元素个数为______．
【答案】13
【分析】由题列举出集合B，即得.
【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．
故答案为：13
四、解答题
41．用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．
【答案】{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．
【分析】根据阴影部分表示点的特点，写出约束条件，即可求得结果.
【详解】本题是用图形语言给出的问题，要求把图形语言转换为符号语言．
用描述法可以表示为：{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，且xy≥0}．
【点睛】本题考查用描述法表示集合，属简单题.
42．用列举法表示下列集合：
（1）小于的所有自然数组成的集合；
（2）方程的所有实数根组成的集合；
（3）方程的所有实数根组成的集合．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据已知条件和自然数的概念即可求出结果；
（2）解一元二次方程即可求出结果；
（3）解一元二次方程即可求出结果．
【详解】（1）因为自然数包括0和正整数，所以；
（2）因为方程的实数根为，所以；
（3）因为方程的实数根为，所以方程所有实数根组成的集合．
43．用列举法表示下列集合：
（1）；
（2） ；
（3）.
【答案】(1) ；(2) ；(3).
【分析】(1)解方程即可；
(2)根据求解；.
(3)接方程即可；
【详解】(1)由得，,因此.
(2)由，且,，,得，因此.
(3)由得，.因此.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法以及一元二次方程的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
44．已知集合 }中各元素之和等于3，求实数的值，并用列举法表示集合.
【答案】答案见解析
【分析】化简方程为，分、和且，三种情况讨论，结合元素的互异性和题设条件，即可求解.
【详解】根据集合中元素的互异性知，当方程有重根时，
重根只能算作集合的一个元素，
由，
当时，可得，不符合题意；
当时，即时，可得，符合题意；
当且时，此时，可得，解得，
此时，符合题意，
综上可得，实数的值为或.
当时，；当时，.
45．已知，求实数的值.
【答案】
【分析】由元素与集合的关系，分类讨论、、三种情况，得出的值，再由集合中元素的性质去验证，进行取舍，得出结果.
【详解】因为
所以或或
解得或
由集合元素的互异性可知且
所以，
【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，集合的性质等基本知识，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
46．已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值．
【答案】a＝0，b＝1或a＝ ，b＝
【详解】试题分析：根据集合相等的条件:元素完全相同，建立方程即可得到a，b的值,要注意检验是否符合集合元素的互异性.
试题解析：
由题意，得或
解得或或
经检验，a＝0，b＝0不合题意；a＝0，b＝1或a＝，b＝合题意．
所以，a＝0，b＝1或a＝，b＝.
47．已知函数满足;
(1)已知集合,若中只有一个元素,求实数的值;
(2)若函数在区间上不是单调函数,求实数的取值范围.
【答案】(1)a=2,b=1(2)
【分析】(1)集合A中只有一个元素等价于对应的方程只有一个根，该方程是一元二次方程，由
和即可求出
(2)函数在区间上不是单调函数等价于的对称轴在中，建立不等式即可解出
【详解】(1)因为且中只有一个元素
所以有等根
所以
因为，所以
从而可解出a=2,b=1
(2)因为
所以对称轴为
又因为在区间上不是单调函数
所以，解得
【点睛】本题考查的是一元二次函数和一元二次方程的知识，较简单.
48．已知集合其中．
(1)试分别判断，与集合A的关系；
(2)若，，则是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．
【答案】(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）将，化简，并判断是否可以化为，的形式即可判断关系.
（2）由题设，令，，进而判断是否有，的形式即可判断.
(1)
，即符合；
，即符合.
(2)
．理由如下：
由，知：存在，，，，使得，，
∴，其中，，
∴.
49．已知集合.
（1）试分别判断，，与集合A的关系；
（2）设，证明.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】(1)判断元素是否能写成的形式，若能则是A中的元素，若不能则不是A中的元素；(2)将所求元素表示为集合中元素的一般形式.
【详解】（1）解：，因为，所以；
，因为，但，所以；
，因为，所以.
（2）证明：因为，
所以可设，，且，
所以
.
因为，
所以.
【点睛】本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题.
50．用列举法表示下列集合：
（1）方程组的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）．
【答案】（1）解集是；（2）不大于10的非负奇数集为；（3）.
【分析】根据列举法的定义进行表示即可．
【详解】解：（1）解方程组，得，
用列举法表示方程组的解集是；
（2）不大于10即为小于或等于10，非负是大于或等于0，
故不大于10的非负奇数集为．
（3），，此时，即．1
2
3
4
6
1
1
2
3
4
6
2
1
2
3
3
1
2
4
1
6
1