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苏科版八年级下册9.3 平行四边形复习练习题
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这是一份苏科版八年级下册9.3 平行四边形复习练习题，共51页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16901" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16901 \h 1
\l "_Tc23238" 【考点一 矩形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc23238 \h 1
\l "_Tc17026" 【考点二 菱形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17026 \h 8
\l "_Tc17984" 【考点三 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17984 \h 14
\l "_Tc22371" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 PAGEREF _Tc22371 \h 21
\l "_Tc10071" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】 PAGEREF _Tc10071 \h 26
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（ ）
A．68°B．34°C．56°D．46°
4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．
5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．
6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．
7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．
4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．
5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．
（1）______；
（2）若点是的中点，则的长为______．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】
例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】
例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】
已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．
【问题提出】
(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；
(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；
【问题探究】
(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．
专题04 解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16901" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16901 \h 1
\l "_Tc23238" 【考点一 矩形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc23238 \h 1
\l "_Tc17026" 【考点二 菱形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17026 \h 8
\l "_Tc17984" 【考点三 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17984 \h 14
\l "_Tc22371" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 PAGEREF _Tc22371 \h 21
\l "_Tc10071" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】 PAGEREF _Tc10071 \h 26
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质，可得，，进而求得，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关键是求出和的度数．
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：沿对折点B落在边上的点处，
，，
又，
四边形是正方形，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠得到，推出，即可求出答案．
【详解】解：∵一张长方形纸片沿、折叠，
∴，
且，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（ ）
A．68°B．34°C．56°D．46°
【答案】C
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质先求出，再求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，解题关键是掌握折叠前后重合的角相等．
4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．
【答案】##65度
【分析】根据折叠的性质可知，再根据，由此即可求解．
【详解】解：长方形沿折叠，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，平角的性质，掌握折叠中角的关系，平角指的是的角是解题的关键．
5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．
【答案】
【分析】设，则,由翻折可知，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出的度数．
【详解】
设，则,
由翻折可知
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质和平角的等于，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．
6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】
【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
， ，
当在上时，是直角三角形，如图1所示：
设，
由翻折的性质得：，
，
，
在中，
，
解得：，即
【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、勾股定理等知识．
7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由点E为的中点和折叠的性质可得，则，再根据外角的性质可得，即可证得平行；
（2）由勾股定理求得，再用等面积法求得，再根据三角形的内角和以及角平分线的定义可推导，最后用勾股定理求得．
【详解】（1）证明：点E为的中点，
，
，
，
，
由题意得，，
∵，
，
，
；
（2）解：如图，连接交于H，
，，，点E为的中点，
，
将沿直线折叠，点B落在点处，
，即是的高，
，
，
由（2）知，
，，
而，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的内角和定义和外角性质，等面积求线段长度，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识．
8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，根据折叠得到是的垂直平分线，进而得到，，根据平行线的性质，推出，进而得到，即可得证．
（2）根据矩形和折叠的性质，利用勾股定理，求出长，进而求出的长，再利用菱形的性质和勾股定理，求出的长，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴，
在中，，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．
∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．
故选：C．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．
【详解】解：根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．
【答案】7
【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．
【详解】解：过点作与的延长线交于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由折叠的性质知：，
在中，，
∴，
解得：，
即的长为7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根据折叠的性质得到∠BFC=∠BCF，由三角形内角和与外角的性质得到结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，
∵是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，
∴BA=BF，∠A=∠BFE，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF，
∵，
∴∠BFC=∠BCF =70°，
∴∠ADB=∠CBF=40°，
∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．
4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．
【答案】或1
【分析】根据菱形的周长为8厘米可得菱形的边长为2厘米，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得AN的值；②当时，点E落在菱形对角线上，根据点M为的中点，为折痕，此时于点E，可得点N为的中点，从而得到AN的值．
【详解】解：∵菱形的周长为8厘米，
∴AB=BC=CD=AD=2厘米，
∵点M为的中点，
∴厘米．
由翻折可知，
∴．
①当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，厘米；
②当时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线上，
∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，
∴点N为的中点，厘米．
当或1厘米时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握各个知识点．
5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．
（1）______；
（2）若点是的中点，则的长为______．
【答案】 ##90度
【分析】（1）由翻折可得，则，根据，可得，即．
（2）根据题意可得点G与点H重合，且点三点在同一条直线上．过点D作，交的延长线于点M．由，可得，则，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）由翻折可得，，
，
，
，
即．
故答案为：．
（2）四边形为菱形，
，
，
由翻折可得，，，，
点是的中点，
，
，
即点与点重合．
，
点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．
，，
，，
，，
由翻折可得，，
设，
则，，
由勾股定理可得，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由折叠得：
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵、分别为、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
根据折叠的性质：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．
2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
【答案】67.5
【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，平分，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴．
故答案为：67.5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．
3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
【答案】##
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由G是的中点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
由折叠得：，，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，G是的中点，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
【答案】
【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明可得，根据对折可得，即可得出的度数；
（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵将沿折叠至，
∴,，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由对折得，
∴；
（2）令，则，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析，②线段的长为2
【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，
．，
沿折叠得到，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2所示：
沿折叠得到，为的中点，
，，
，
，
，
，
即，
；
②解：设，则，，
正方形边长为6，为的中点，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
即线段的长为2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】
例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．
【答案】##2.5
【分析】根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
设：，则：，
在中：，
即：，解得：，
即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题．熟练掌握折叠的性质和勾股定理解三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．
【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，
∵正方形面积为2，
∴，
由折叠的性质：，
∴图中阴影部分的周长为：
．
故选:D．
【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．
2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【答案】C
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，
∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=3﹣x，
解得：x=1，
∴CE=2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===，
又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，
则菱形的面积=2．
故选C．
【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
【答案】10
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：根据折叠的性质得.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
在中，，
解之得：，
∴，
∴．
故答案为:10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．
5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．
【答案】30
【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，
由勾股定理得，CF=4，，
即，
解得，AD=10，
∴BF=6，CF=4，
图中阴影部分面积=．
故答案为：30
【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．
【详解】（1）解：由翻折变换的性质可得：，，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可得：，
∴图中阴影部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】
例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由旋转矩形可得，，再根据斜边为公共边，利用“”可证得结论；
（2）由可知，由旋转矩形可知，即可求得的长度．
【详解】（1）证明：∵旋转矩形得到矩形，
∴，，
在和中，
，．
∴．
（2）解：由可得，
∵旋转矩形得到矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明，利用矩形和旋转性质求解．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出的度数，再由四边形内角和为即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【详解】解：设与交于点E，如图所示．
∵旋转角为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为找出是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
【答案】
【分析】连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后根据旋转的性质和勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
，
∵矩形，，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
【详解】如图，交于点，连接
根据题意得：，
∵
∴
∴
∵正方形绕点顺时针旋转到
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质．
4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】##
【分析】连接相交于O，与相交于E，根据菱形的性质先求出，根据菱形的性质和旋转可得，三点共线，再求出，最后根据，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接相交于O，与相交于E，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
，
三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
【答案】(1)，
(2)（1）中的结论成立，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由正方形性质可以得到与相等且垂直；
（2）由可证，可得，，由余角的性质可证；
（3）由（2）问结论连接，表示出三边即可利用勾股定理列方程解题．
【详解】（1）∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
即，
∴与的数量关系是相等；位置关系是垂直
故答案为：相等；垂直
（2）（1）中结论成立，理由如下：
设交于O，于N，
∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
∵，
∴，
∴,，
由（2）可得：，
∴在中，，
则，
∴
解方程得：，
∴，
即线段的长度为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】
已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．
【问题提出】
(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；
(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；
【问题探究】
(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用中点性质可得，等量代换和利用矩形的判定方法即可求证结论；
（2）由旋转性质可得，，可得，，即可证明四边形是矩形，再由，即可求证结论；
（3）连接，，过点O作于点E，则，由旋转的性质可知，继而根据等腰三角形的性质可得，继而证得四边形是矩形，即，等量代换即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转性质可得，，
∵点O是线段的中点，
∴，
∴=，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
（3）解：如图，连接，，过点O作于点E，则，
由旋转可知，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，旋转的性质、等腰三角形的性质，矩形的判定及其性质．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16901" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16901 \h 1
\l "_Tc23238" 【考点一 矩形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc23238 \h 1
\l "_Tc17026" 【考点二 菱形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17026 \h 8
\l "_Tc17984" 【考点三 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17984 \h 14
\l "_Tc22371" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 PAGEREF _Tc22371 \h 21
\l "_Tc10071" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】 PAGEREF _Tc10071 \h 26
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（ ）
A．68°B．34°C．56°D．46°
4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．
5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．
6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．
7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．
4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．
5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．
（1）______；
（2）若点是的中点，则的长为______．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】
例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】
例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】
已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．
【问题提出】
(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；
(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；
【问题探究】
(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．
专题04 解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16901" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16901 \h 1
\l "_Tc23238" 【考点一 矩形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc23238 \h 1
\l "_Tc17026" 【考点二 菱形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17026 \h 8
\l "_Tc17984" 【考点三 正方形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc17984 \h 14
\l "_Tc22371" 【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 PAGEREF _Tc22371 \h 21
\l "_Tc10071" 【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】 PAGEREF _Tc10071 \h 26
【典型例题】
【考点一 矩形中的折叠问题】
例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】B
【分析】根据矩形的性质，可得，，进而求得，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
由折叠可得，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关键是求出和的度数．
【变式训练】
1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：沿对折点B落在边上的点处，
，，
又，
四边形是正方形，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠得到，推出，即可求出答案．
【详解】解：∵一张长方形纸片沿、折叠，
∴，
且，
∴，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．
3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（ ）
A．68°B．34°C．56°D．46°
【答案】C
【分析】利用折叠的性质和矩形的性质先求出，再求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，解题关键是掌握折叠前后重合的角相等．
4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．
【答案】##65度
【分析】根据折叠的性质可知，再根据，由此即可求解．
【详解】解：长方形沿折叠，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查折叠的性质，平角的性质，掌握折叠中角的关系，平角指的是的角是解题的关键．
5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．
【答案】
【分析】设，则,由翻折可知，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出的度数．
【详解】
设，则,
由翻折可知
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了折叠的性质和平角的等于，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．
6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．
【答案】
【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
， ，
当在上时，是直角三角形，如图1所示：
设，
由翻折的性质得：，
，
，
在中，
，
解得：，即
【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、勾股定理等知识．
7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．
(1)求证：．
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由点E为的中点和折叠的性质可得，则，再根据外角的性质可得，即可证得平行；
（2）由勾股定理求得，再用等面积法求得，再根据三角形的内角和以及角平分线的定义可推导，最后用勾股定理求得．
【详解】（1）证明：点E为的中点，
，
，
，
，
由题意得，，
∵，
，
，
；
（2）解：如图，连接交于H，
，，，点E为的中点，
，
将沿直线折叠，点B落在点处，
，即是的高，
，
，
由（2）知，
，，
而，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的内角和定义和外角性质，等面积求线段长度，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识．
8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，交于点，根据折叠得到是的垂直平分线，进而得到，，根据平行线的性质，推出，进而得到，即可得证．
（2）根据矩形和折叠的性质，利用勾股定理，求出长，进而求出的长，再利用菱形的性质和勾股定理，求出的长，利用菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，交于点，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴是的垂直平分线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵在矩形中，，，
∴，
∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，
∴，
在中，，
∴，
设，则：，
在中，，即：，
解得：，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键．
【考点二 菱形中的折叠问题】
例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（ ）
A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【详解】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，
在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．
∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．
故选：C．
【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．
【详解】解：根据菱形的对角相等得．
，
．
根据折叠得．
，
，
．
．
故选：A．
【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．
2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为 _______．
【答案】7
【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．
【详解】解：过点作与的延长线交于点E，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由折叠的性质知：，
在中，，
∴，
解得：，
即的长为7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．
3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根据折叠的性质得到∠BFC=∠BCF，由三角形内角和与外角的性质得到结果．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，
∵是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，
∴BA=BF，∠A=∠BFE，
∴BF=BC，
∴∠BFC=∠BCF，
∵，
∴∠BFC=∠BCF =70°，
∴∠ADB=∠CBF=40°，
∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．
4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．
【答案】或1
【分析】根据菱形的周长为8厘米可得菱形的边长为2厘米，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得AN的值；②当时，点E落在菱形对角线上，根据点M为的中点，为折痕，此时于点E，可得点N为的中点，从而得到AN的值．
【详解】解：∵菱形的周长为8厘米，
∴AB=BC=CD=AD=2厘米，
∵点M为的中点，
∴厘米．
由翻折可知，
∴．
①当时，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，厘米；
②当时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线上，
∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，
∴点N为的中点，厘米．
当或1厘米时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握各个知识点．
5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．
（1）______；
（2）若点是的中点，则的长为______．
【答案】 ##90度
【分析】（1）由翻折可得，则，根据，可得，即．
（2）根据题意可得点G与点H重合，且点三点在同一条直线上．过点D作，交的延长线于点M．由，可得，则，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，进而可得出答案．
【详解】解：（1）由翻折可得，，
，
，
，
即．
故答案为：．
（2）四边形为菱形，
，
，
由翻折可得，，，，
点是的中点，
，
，
即点与点重合．
，
点，，三点在同一条直线上．
过点作，交的延长线于点．
，，
，，
，，
由翻折可得，，
设，
则，，
由勾股定理可得，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
【考点三 正方形中的折叠问题】
例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠， 为折痕，点 落在对角线 上的点 处，则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
由折叠得：
，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵、分别为、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
根据折叠的性质：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．
2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则 _________．
【答案】67.5
【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．
【详解】∵四边形为正方形，
∴，，平分，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∴．
故答案为：67.5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．
3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．
【答案】##
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由G是的中点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
由折叠得：，，
∵在正方形中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，G是的中点，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．
4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．
【答案】
【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．
5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接
(1)求的度数：
(2)求的长度
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明可得，根据对折可得，即可得出的度数；
（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵将沿折叠至，
∴,，
∵四边形是正方形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由对折得，
∴；
（2）令，则，，
∵，
∴，，
在中，
，
解得：．
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，E为的中点，连接．
①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析，②线段的长为2
【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；
（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；
②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；
【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，
．，
沿折叠得到，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2所示：
沿折叠得到，为的中点，
，，
，
，
，
，
即，
；
②解：设，则，，
正方形边长为6，为的中点，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
即线段的长为2．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
【考点四 特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】
例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm， cm．则重叠部分的面积为_____．
【答案】##2.5
【分析】根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
设：，则：，
在中：，
即：，解得：，
即：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的折叠问题．熟练掌握折叠的性质和勾股定理解三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由正方形面积为2 ，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．
【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，
∵正方形面积为2，
∴，
由折叠的性质：，
∴图中阴影部分的周长为：
．
故选:D．
【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．
2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（ ）
A．1B．2C．2D．4
【答案】C
【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，
∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，
∵四边形AECF是菱形，
∴∠FCO=∠ECO，
∵∠ECO=∠ECB，
∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，
2BE=CE，
∴CE=2x，
∴2x=3﹣x，
解得：x=1，
∴CE=2，利用勾股定理得出：
BC2+BE2=EC2，
BC===，
又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，
则菱形的面积=2．
故选C．
【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．
【答案】10
【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．
【详解】解：根据折叠的性质得.
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴.
设，则，
在中，，
解之得：，
∴，
∴．
故答案为:10．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．
5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．
【答案】30
【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，
由勾股定理得，CF=4，，
即，
解得，AD=10，
∴BF=6，CF=4，
图中阴影部分面积=．
故答案为：30
【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．
6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．
(1)求的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)22
【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；
（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．
【详解】（1）解：由翻折变换的性质可得：，，
设，则，，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∴，
由翻折变换的性质可得：，
∴图中阴影部分的面积
．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【考点五 特殊平行四边形中旋转问题】
例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．
(1)求证：：
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由旋转矩形可得，，再根据斜边为公共边，利用“”可证得结论；
（2）由可知，由旋转矩形可知，即可求得的长度．
【详解】（1）证明：∵旋转矩形得到矩形，
∴，，
在和中，
，．
∴．
（2）解：由可得，
∵旋转矩形得到矩形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明，利用矩形和旋转性质求解．
【变式训练】
1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设与交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出的度数，再由四边形内角和为即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【详解】解：设与交于点E，如图所示．
∵旋转角为，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为找出是解题的关键．
2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．
【答案】
【分析】连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后根据旋转的性质和勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
，
∵矩形，，
∴，，
∴，
∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．
【答案】
【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．
【详解】如图，交于点，连接
根据题意得：，
∵
∴
∴
∵正方形绕点顺时针旋转到
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴阴影部分的面积
故答案为：．
【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质．
4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中， ，把菱形绕点A顺时针旋转 得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．
【答案】##
【分析】连接相交于O，与相交于E，根据菱形的性质先求出，根据菱形的性质和旋转可得，三点共线，再求出，最后根据，即可得答案．
【详解】解：如下图，连接相交于O，与相交于E，
四边形是菱形，，
，
，
，
，
菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
，
三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．
(1)如图1，当时，求点D的坐标；
(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；
(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；
（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，
由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示：
∵点，点，
∴，，
∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，
∴，，，
在Rt中，，，
∴，
∴点的坐标为；
（2）过点作轴于，，于，如图所示：
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）连接，作轴于，如图所示：
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．
6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．
(1)连接、．
①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：
②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．
(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．
【答案】(1)①；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；
②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性质得出，即可证明；
（2）连接，根据，当在上时，最大，，当在上时，最小，，即可求解．
【详解】（1）①如图，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴,，
∴，
∵为的中点，
∴，则，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
②，
证明：如图，延长交于点，连接，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∵落在对角线的延长线上，
∴，
∴，
∴在的延长线上，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
,
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴ ，
设，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴；
（2）如图，连接，
∵
∴当在上时，如图，此时最大，，
由（1）可知是等腰直角三角形，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴
当在上时，最小，同理可得是等腰直角三角形，
此时，
综上所述，．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形三边关系，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践
【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．
(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．
【答案】(1)，
(2)（1）中的结论成立，证明见解析；
(3)
【分析】（1）由正方形性质可以得到与相等且垂直；
（2）由可证，可得，，由余角的性质可证；
（3）由（2）问结论连接，表示出三边即可利用勾股定理列方程解题．
【详解】（1）∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
即，
∴与的数量关系是相等；位置关系是垂直
故答案为：相等；垂直
（2）（1）中结论成立，理由如下：
设交于O，于N，
∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）连接，
∵，
∴，
∴,，
由（2）可得：，
∴在中，，
则，
∴
解方程得：，
∴，
即线段的长度为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】
已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．
【问题提出】
(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；
(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；
【问题探究】
(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，利用中点性质可得，等量代换和利用矩形的判定方法即可求证结论；
（2）由旋转性质可得，，可得，，即可证明四边形是矩形，再由，即可求证结论；
（3）连接，，过点O作于点E，则，由旋转的性质可知，继而根据等腰三角形的性质可得，继而证得四边形是矩形，即，等量代换即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转性质可得，，
∵点O是线段的中点，
∴，
∴=，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
（3）解：如图，连接，，过点O作于点E，则，
由旋转可知，则，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，旋转的性质、等腰三角形的性质，矩形的判定及其性质．
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