华东师大版七年级数学下册专题9.7角度计算的综合大题专项训练(30道)(原卷版+解析)

这是一份华东师大版七年级数学下册专题9.7角度计算的综合大题专项训练(30道)(原卷版+解析)，共78页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算问题所有类型！
一．解答题（共30小题）
1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．
2．（2022春•渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
3．（2022•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．
（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；
（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．
4．（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．
（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．
（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，则∠BDC1＝ ．（用含α的式子表示）
5．（2022春•如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
（2）若∠ABC＝α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
6．（2022春•信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
7．（2022春•鼓楼区期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．
8．（2022•涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ °；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ °．
（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．
9．（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．
（1）在△ABC中，∠ACB＝ °，∠BDC＝ °；
（2）在旋转过程中，如图2，当α＝ °时，DE∥AC；当α＝ °时，DE⊥AC；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是 ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．
10．（2022春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 ．
11．（2022春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；
（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）你是怎么得到的？
（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？
12．（2022春•井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ （用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
13．（2022春•长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．
如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝ °．
【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．
14．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝ ．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．
15．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝ ；
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
16．（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：
在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．
规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；
规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°−12∠A．
说明∠P＝90°+12∠A如下：
∵BP、CP是△ABC的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ABC．
∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①
∴∠1+∠2＝90°−12∠A．
∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A．
请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：
（1）上述说理过程中步骤①的依据是 ．
（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−12∠A的说理过程．
[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为 度．
17．（2022•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝ ；
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝ ．
18．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【理解】
（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 °；
（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．
19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．
（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；
（2）若n＝75，则∠F＝ ．
（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．
20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
（1）求∠M的度数；
（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．
21．（2022春•青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．
（1）若∠A＝80°，∠BMC＝ °，∠BNC＝ °．
（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．
22．（2022春•承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；
（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．
23．（2022春•农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 ．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ ．
24．（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
25．（2022春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．
【问题情境】
（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为 ．
（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．
【操作思考】
（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式： ．
26．（2022春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
27．（2022春•邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝ ；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．
①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；
②求证：PQ∥FH．
28．（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①∠P+∠2=∠4+∠D②
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P），并说明理由．
29．（2022春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：
如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
①填空：∠OBC+∠ODC＝ ；
②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．
请你完成上述问题．
（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
30．（2022春•万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
专题9.7 角度计算的综合大题专项训练（30道）
【华东师大版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了角度计算问题所有类型！
一．解答题（共30小题）
1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，从而得到∠ACG＝2∠F，根据两直线平行，内错角相等可得∠ECB＝∠F，再求出∠ACB＝3∠F，从而得解．
【解答】解：∠ACB＝3∠ECB．
理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．
∵∠ACG＝∠AGC，
∴∠ACG＝2∠F．
∵AD∥BC，
∴∠ECB＝∠F．
∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．
故∠ACB＝3∠ECB．
2．（2022春•渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝ 135 °；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝ 45 °；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论．
【解答】解：（1）∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=12∠OAB，∠ABE=12∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=12（∠OAB+∠ABO）＝45°，
∴∠AEB＝135°；
故答案为：135；
（2）①∵∠AOB＝90°，∠BAO＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴∠ABN＝150°，
∵BC是∠ABN的平分线，
∴∠OBD＝∠CBN=12×150°＝75°，
∵AD平分∠BAO，
∴∠DAB＝30°，
∴∠D＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD﹣∠AOB＝180°﹣75°﹣30°﹣30°＝45°，
故答案为：45；
②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化，
设∠BAD＝α，
∵AD平分∠BAO，
∴∠BAO＝2α，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABN＝180°﹣∠ABO＝∠AOB+∠BAO＝90+2α，
∵BC平分∠ABN，
∴∠ABC＝45°+α，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABD＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝45°+α﹣α＝45°．
3．（2022•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．
（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；
（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠2＝∠BAE，然后根据平角是180°列出关于∠1与∠2的关系式进行计算即可；
（2）分三种情况，点C在直线FH的上方，点C在直线FH与直线DE之间，点C在直线DE的下方．
【解答】解：（1）∵l∥DE，
∴∠2＝∠BAE，
∵∠1+∠CAB+∠BAE＝180°，∠1＝8∠2，∠CAB＝45°，
∴8∠2+45°+∠2＝180°，
∴∠2＝15°，
∴∠2的度数为15°；
（2）分三种情况：
当点C在直线FH的上方，如图：
设AC与FH交于点G，
∵FH∥DE，
∴∠DAC＝∠FGC，
∵∠FGC＝∠C+∠FBC，∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°+∠FBC，
当点C在直线FH与直线DE之间，如图：
延长AC交FH于点M，
∵FH∥DE，
∴∠DAC＝∠HMC，
∵∠BCA＝∠HMC+∠FBC，∠BCA＝90°，
∴∠DAC+∠FBC＝90°，
当点C在直线DE的下方，如图：
设BC与DE交于点N，
∵FH∥DE，
∴∠FBC＝∠DNC，
∵∠DNC＝∠C+∠DAC，∠C＝90°，
∴∠FBC＝90°+∠DAC，
综上所述：当点C在直线FH的上方，∠DAC＝90°+∠FBC，
当点C在直线FH与直线DE之间，∠DAC+∠FBC＝90°，
当点C在直线DE的下方，∠FBC＝90°+∠DAC．
4．（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．
（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系： 平行 ．
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．
（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，则∠BDC1＝ 45°+34α ．（用含α的式子表示）
【分析】（1）直接根据平移的性质：平移图形中对应线段平行或在同直线上，便可直接得出结论；
（2）根据角平分线定义求得∠ABO和∠AC1A1，再根据平行线的性质求得∠OAC，根据三角形的内角和性质依次求得∠BAC，∠AOB；
（3）连接DO，与延长DO至E，根据三角形的外角性质便可得到∠BOC、∠DBO、∠DCO、∠BDC四角的关系，进而求得结果；
（4）按照前面的方法依次用α表示∠BOC，∠DBO+∠DCO，进而运用（3）中方法便可求得∠BDC1．
【解答】解：（1）根据平移的性质知，AC∥A1C1，
故答案为：平行；
（2）∵∠ABC＝90°，A1B平分∠ABC，
∴∠ABO＝45°，
由平移知，∠ACB＝∠A1C1B1＝60°，
∵AC1平分∠A1C1B1，
∴∠AC1A1＝30°，
由平移知AC∥A1C1，
∴∠CAC1＝∠AC1A1＝30°，
∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝75°；
（3）连接连接DO，与延长DO至E，如图，
∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，
∴∠OBD+∠OC1D=12（∠ABO+∠AC1A1）＝37.5°，
∵∠BOE＝∠OBD+∠ODB，∠C1OE＝∠OC1D+∠ODC1，
∴∠BOE+∠C1OE＝∠OBD+∠ODB+∠OC1D+∠ODC1，
即∠BOC1＝∠OBD+∠OC1D+∠BDC1，
∵∠BOC1＝180°﹣∠AOB＝105°，
∴105°＝37.5°+∠BDC1，
∴∠BDC1＝67.5°；
（4）∵∠BAC＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α，
∵∠ACB＝∠AC1B1，∠CAC1＝∠AC1B1，
∴∠ABO+∠AC1A1＝∠ABO+∠CAC1=12(180°−α)=90°−12α，
∴∠BOC1＝∠ABO+∠BAO＝90°−12α+α＝90°+12α，
∵BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，
∴∠OBD+∠OC1D=12×（90°−12α）＝45°−14α
∴∠BDC1＝∠BOC1﹣（∠OBD+∠OC1D）＝90°+12α﹣（45°−14α）＝45°+34α．
故答案为：45°+34α．
5．（2022春•如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．
（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
（2）若∠ABC＝α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质和直角三角形的性质求解；
（2）①利用（1）的结论求解；
②结合以上两问得出结论．
【解答】解：（1）
过点G作GH⊥AC于点H，
则GH∥EF∥BC，
∴∠HGB＝∠GBC，
∵∠CEF的平分线EG，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC＝20°，∠CEG=12∠FAC＝45°，
所以∠G＝∠HGB+∠CEG＝20°+45°＝65°．
（2）
过点G作GH⊥AC于点H，
①由（1）知：∠HGB＝∠GBC=12α，∠HGE＝∠GEF＝45°，
∴∠G＝∠HGE﹣∠GBC＝45°−12α．
②有变化．
当点E在点D下方时，由①得：∠G＝45°−12α．
当点E在点D上方时，由（1）得：∠G＝45°+12α．
6．（2022春•信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．
【分析】（1）根据高定义求出∠CDA＝90°，根据三角形内角和定理求出∠A+∠ACD＝90°，再求出答案即可；
（2）根据角平分线的定义得出∠CAE＝∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠CEF＝∠DFA，根据对顶角相等求出即可．
【解答】（1）解：∵CD是AB边上的高，
∴∠CDA＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠A＝∠DCB，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠ACD+∠A＝90°；
（2）解：∠CFE＝∠CEF，
理由是：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CDA＝∠BCA＝90°，∠DFA＝180°﹣（∠CDA+∠BAE），∠CEA＝180°﹣（∠BCA+∠CAE），
∴∠CEF＝∠DFA，
∵∠DFA＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF．
7．（2022春•鼓楼区期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝ 85°或100 °；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．
【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；
（2）求出∠PBC+∠PCB＝90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线求出∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，求出∠ABC+∠ACB＝135°，再求出∠A即可；
（3）画出符合的所有情况，①当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，②当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，③当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，④当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，BD，BD'是∠ABC的“三分线”，
∴∠ABD＝∠DBD'＝∠D'BC=13∠ABC=13×45°＝15°，
∵∠A＝70°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+15°＝85°或∠BDC＝∠A+∠ABD＝70°+30°＝100°，
故答案为：85°或100；
（2）如图③，∵BP⊥CP，
∴∠BPC＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，
∴∠PBC=23∠ABC，∠PCB=23∠ACB，
∴23∠ABC+23∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝135°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°；
（3）四种情况：
①如图1，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻BC三分线”时，
∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP=23∠ACB，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠ADB＝∠B+∠ACB，
∵∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，
∴66°+m°＝45°+∠ACB，
∴∠ACB＝21°+m°，
∴∠ACP=23∠ACB＝14°+23m°，
∵∠AED＝∠CEP，
∴∠A+∠ADE＝∠DPC+∠ACP，
∴66°+13m°＝∠DPC+14°+23m°，
∴∠DPC＝（52−13m）°；
②如图2，当DP和CP分别是“邻AD三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠ADE=13∠ADB=13m°，∠ACP=13∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°+13m°＝∠DPC+7°+13m°，
∴∠DPC＝59°；
③如图3，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻BC三分线”时，
∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP=23∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°+23m°＝∠DPC+14°+23m°，
∴∠DPC＝52°；
④如图4，当DP和CP分别是“邻OD三分线”、“邻AC三分线”时，
∴∠ADE=23∠ADB=23m°，∠ACP=13∠ACB，
由①知：∠ACB＝21°+m°，
同理得：66°+23m°＝∠DPC+7°+13m°，
∴∠DPC＝（59+13m）°；
综上，∠DPC的度数为59°或52°或（52−13m）°或（59+13m）°．
8．（2022•涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ 155 °；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ 50 °．
（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．
【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；
（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；
（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【解答】解：（1）∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；
∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：155，50；
（2）∠DAB+∠CAE＝120°，
理由如下：
∵∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB，
∴∠DAB+∠CAE
＝∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE
＝∠DAC+∠BAE
＝120°；
（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：
∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝α+β．
9．（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．
（1）在△ABC中，∠ACB＝ 120 °，∠BDC＝ 100 °；
（2）在旋转过程中，如图2，当α＝ 10 °时，DE∥AC；当α＝ 100 °时，DE⊥AC；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是 70°＜α＜100° ；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和是180°，再按比例分配进行计算即可；
（2）根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算即可；由垂直的定义以及三角形的内角和进行计算即可；
（3）①根据“端值”检测计算，即当DE与CD重合时最小值，当DF与CD重合时最大值；②连接MN，根据三角形内角和定理进行计算即可．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，
∴∠BAC＝180°×22+1+6=40°，∠ABC＝180°×12+1+6=20°，∠ACB＝180°×62+1+6=120°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=12∠ACB＝60°，
∴∠BDC＝∠ACD+∠A＝60°+40°＝100°，
故答案为：120°，100°；
（2）当DE∥AC时，∠BDE＝∠A＝40°，
∵∠E＝90°，∠F＝60°．
∴∠EDF＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴α＝40°﹣30°＝10°，
即当α＝10°时，DE∥AC；
当DE⊥AC时，即DE与AC成90°的角，
∠EDB＝90°+∠A＝130°，
∴α＝130°﹣30°＝100°，
即当α＝100°时，DE⊥AC；
故答案为：10，100；
（3）①当DE与CD重合时，α为最小值，
∵∠BDE＝∠A+∠ACD＝100°，
∴α＝100°﹣30°＝70°；
当DF与CD重合时，α为最大值，此时α＝100°，
∴70°＜α＜100°，
故答案为：70°＜α＜100°；
②∠CMD+∠CND＝90°，理由如下：
如图，连接MN，
∵∠MCN＝∠ACB＝120°，
∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣∠MCN＝60°，
在△DMN中，
∠DMN+∠DNM＝180°﹣∠MDN＝150°，
∴∠CMD+∠CND＝150°﹣60°＝90°．
10．（2022春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝ 70 度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 110° ．
【分析】（1）根据四边形内角和等于360°求出∠B+∠C的度数，再除以2即可求解；
（2）先根据平行线的性质得到∠ABC的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；
（3）①根据四边形内角和求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义得到∠EBC+∠ECB的度数，最后根据三角形内角和即可求解，
②根据三角形内角和及角平分线定义即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠B＝∠C，
∴∠C＝70°．
（2）∵BE∥AD，
∴∠ABE+∠A＝180°，
∴∠ABE＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC＝80°，
∴∠C＝360°﹣（140°+80°+80°）＝60°．
（3）①∵四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°，
∴∠B+∠C＝360°﹣（140°+80°）＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
②∵∠F＝40°，
∴∠FBC+∠BCF＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣70°＝110°．
11．（2022春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；
（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）你是怎么得到的？
（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？
【分析】（1）根据外角的定义即可求解；
（2）（3）根据多边形的外角和等于360度即可求解．
【解答】解：（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5；
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是360度；
（3）∵∠1+∠BAE＝∠2+∠ABC＝∠3+∠BCD＝∠4+∠CDE＝∠5+∠DEA＝180°，
∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝5×180°﹣540°＝360°；
（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么他每跑完一圈，身体转过的角度之和都是360度．
12．（2022春•井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝ 360°﹣x﹣y （用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【分析】（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=12y−12x＝30°，进而得出x，y的值；
②当x＝y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
【解答】解：（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣x﹣y；
故答案为：360°﹣x﹣y；
（2）如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=12∠ADC，∠CBF=12∠CBM，
又∵∠CBM＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（180°﹣∠ADC）＝∠ADC，
∴∠CDE＝∠CBF，
又∵∠BED＝∠CDE+∠C＝∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE＝∠C＝90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM＝x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=12（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB＝180°﹣y，
得∠FBD+∠FDB＝180°﹣y+12（x+y）＝180°−12y+12x，
∴∠DFB=12y−12x＝30°，
解方程组：x+y=140°12y−12x=30°，
解得：x=40°y=100°；
②当x＝y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．
13．（2022春•长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．
如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝ 180 °．
【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．
【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；
（3）根据补角的性质，可得∠CBM＝∠ODC，根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【解答】解：（1）由四边形内角的性质，得∠OBC+∠ODC＝180°，
故答案为：180；
（2）∵BD平分∠OBC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OM⊥ON，
∴∠DOB＝90°，
∴∠OBD+∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝∠CDB，
∴BD平分∠ODC；
（3）DE⊥BF，
理由：如图，延长DE交BF于G，
，
∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，
∴∠CBM＝∠ODC，
12∠CBM＝∠EBG=12∠ODC＝∠EDC，
∵∠BEG＝∠DEC，
∴△DEC∽△BEG，
∴∠BGE＝∠DCE＝90°，
∴DE⊥BF．
14．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝ 120° ．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后在△BCD中，根据三角形的内角和定理，求出∠BDC的度数是多少即可．
（2）首先根据AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五边形的内角和减去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度数和；然后根据∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度数和；最后根据EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度数和；再用四边形CDEF的内角和减去∠FED、∠FCD、∠EDC的度数和，求出∠EFC的度数．
【解答】解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，
∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°；
（2）∵AE∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵五边形ABCDE的内角和是540°，
∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，
∵∠EDC＝72°，
∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，
∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，
∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，
∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°
15．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝ 110 ；
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
【分析】（1）利用三角形内角和和角平分线的性质，即可求得角度的大小．
（2）将定角换成动角，同样利用三角形内角和和角平分线的性质，将角之间的关系表示出来．
（3）在（2）结论基础上，通过角平分线的性质可求证FB∥OD，进而得出∠COD＝∠F＝β，再由∠BAC＝2∠BOC﹣180°以及∠BOD＝90°即可证明结论．
【解答】解：（1）∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∵角平分线BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠ACB)=70°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝110°，
故答案为：110．
（2）∵∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠α，
∵BO、CO是角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=90°−12∠α，
∴∠BOC=180°−∠OBC−∠OCB=90°+12∠α，
（3）∠BAC＝2β．
理由：由（2）结论可知：∠BOC＝90°+∠BAC2，
∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°．
∵OB、BF分别平分∠ABC和∠ABE，
∴∠ABO=12∠ABC，∠ABF=12∠ABE，
∴∠OBF＝∠ABO+∠ABF=12（∠ABC+∠ABE）=12×180°=90°．
∵OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°．
∵BF∥OD，
∴∠COD＝∠F＝β．
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝90°+β，
∵∠BAC＝2∠BOC﹣180°，
∴∠BAC＝2∠BOC﹣180°＝2β．
∴∠BAC＝2β．
16．（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：
在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．
规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；
规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°−12∠A．
说明∠P＝90°+12∠A如下：
∵BP、CP是△ABC的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ABC．
∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①
∴∠1+∠2＝90°−12∠A．
∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A．
请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：
（1）上述说理过程中步骤①的依据是 三角形内角和等于180° ．
（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−12∠A的说理过程．
[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为 25 度．
【分析】【问题呈现】（1）根据三角形内角和定理解答；
（2）根据角平分线的定义得到∠3=12∠EBC，∠4=12∠FCB，根据三角形的内角和定理得到结论；
【拓展延伸】根据角平分线的定义得到∠1=12∠ACD，2=12∠ABC，根据三角形的外角的性质得到∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），求得∠Q＝∠1＝∠2，推出∠A＝2∠Q，于是得到结论．
【解答】解：【问题呈现】
（1）证明过程中步骤（2）的依据是三角形内角和等于180°，
故答案为：三角形内角和等于180°；
（2）∵BM、CM是△ABC的外角平分线，
∴∠3=12∠EBC，∠4=12∠FCB，
∴∠ABC＝180°﹣2∠3，∠ACB＝180°﹣2∠4，
∴∠A+（180°﹣2∠3）+（180°﹣2∠4）＝180°，
∴∠3+∠4＝90°+12∠A，
∵∠3+∠4+∠M＝180°，
∴∠M＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A；
【拓展延伸】
∵CQ平分∠ACD，
∴∠1=12∠ACD，
∵BQ平分∠ABC，
∴∠2=12∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝2（∠1﹣∠2），
∵∠1＝∠2+∠Q，
∴∠Q＝∠1＝∠2，
∴∠A＝2∠Q，
即∠Q=12∠A＝25，
故答案为：25．
17．（2022•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝ 12（x﹣y） ；
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝ 14（3x﹣y） ．
【分析】（1）根据三角形的内角和得∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得∠BAE=12∠BAC=12×70°＝35°，从而得出答案；
（2）用含x、y代数式表示∠BAC和∠AEB即可；
（3）由（2）同理可得；
（4）根据∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），得∠PAF=14（180°﹣x﹣y），从而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣40°＝70°，
∵∠BAC的平分线交BC于点E，
∴∠BAE=12∠BAC=12×70°＝35°，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝35°﹣20°＝15°；
（2）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x−12（180°﹣x﹣y）＝90°−12x+12y，
∴∠DFE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣90°+12x−12y=12（x﹣y）．
故答案为12（x﹣y）；
（3）成立，理由如下：
∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），
∴∠AEB＝180°﹣∠B﹣∠BAE＝180°﹣x−12（180°﹣x﹣y）＝90°−12x+12y，
∴∠DEF＝∠AEB＝90°−12x+12y，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣90°+12x−12y=12（x﹣y），
故答案为12（x﹣y）；
（4）∵∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣x﹣y），
∴∠PAF=14（180°﹣x﹣y），
∴∠P＝180°﹣45°﹣[180°−14（180°﹣x﹣y）﹣x]=14（3x﹣y），
故答案为：14（3x﹣y）．
18．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【理解】
（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 12 °；
（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 35或1103 °；
（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．
【分析】（1）设最小角为α，由题意可得α+2α＝＝36°，求出α即为所求；
（2）当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α＝110°，α＝（1103）°；
（3）三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；
【应用】由题意可得∠PAC＝180°﹣∠α，设∠PCA＝x，则x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分两种情况讨论：①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，求得∠α＝48°或∠α＝（4807）°．
【解答】解：（1）设最小角为α，
∵△ABC为开心三角形，∠A＝144°，
∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，
∴α＝12°，
故答案为：12；
（2）当∠A是“开心角”，则最小角为35°；
当∠A不是“开心角”，设最小角为α，
∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，
∴α＝（1103）°，
故答案为：35或1103；
（3）∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是2∠A，
∴第三个内角是180°﹣3∠A，
∵∠A是最小内角，
∴∠A≤180°﹣3∠A，
∴∠A≤45°；
【应用】
∵AD平分△ABC的内角∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，
∴∠PAC＝180°﹣∠α，
设∠PCA＝x，
∵CD平分△ABC的外角∠BCF，
∴∠BCD＝∠CDF＝x，
∴∠ACB＝180°﹣2x，
∵∠P＝30°，
∴180°﹣2∠α+x＝150°，
∴x＝2∠α﹣30°，
∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，
∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣（240°﹣3∠α）＝2∠α﹣60°，
①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，
∠BAE=12∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，
∴∠α=12（2∠α﹣60°）或∠α＝2（2∠α﹣60°），
解得∠α＝40°；
②当∠BAE与∠AEB互为开心角，
∠BAE=12∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，
∴∠α=12（240°﹣3∠α）或∠α＝2（240°﹣3∠α），
解得∠α＝48°或∠α＝（4807）°；
综上所述：40°或48°或（4807）°．
19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．
（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；
（2）若n＝75，则∠F＝ 50° ．
（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠OCD＝45°，接着利用邻补角的定义求出∠ACD＝135°，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可求出∠F；
（2）利用和（1）的思路即可解决问题；
（3）不会发生变化．设∠AOB＝x，∠CDO＝y，首先利用三角形内角和定理得到∠OCD＝180°﹣x﹣y，然后利用邻补角定义得到∠ACD＝x+y，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可得到∠F=23x=23∠AOB．
【解答】解：（1）在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，
又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，
∴∠OCD＝45°，
∵∠OCD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝135°，
∵∠ACE=13∠ACD，
∴∠ECD=23∠ACD＝90°，
∵∠ECD+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝90°，
∵∠FDO=13∠CDO，
∴∠CDF=23∠CDO＝50°，
∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，
∴∠F＝40°；
（2）若n＝75°，则∠F＝50°；
∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，
又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，
∴∠OCD＝105°﹣x，
∵∠OCD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝75°+x，
∵∠ACE=13∠ACD，
∴∠ECD=23∠ACD=23（75°+x）＝50°+23x，
∵∠ECD+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝130°−23x，
∵∠FDO=13∠CDO，
∴∠CDF=23∠CDO=23x，
∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，
∴∠F＝50°；
故答案为：50°；
（3）不会发生变化．
设∠AOB＝x，∠CDO＝y，
在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，
∴∠OCD＝180°﹣x﹣y，
∵∠OCD+∠ACD＝180°，
∴∠ACD＝x+y，
∵∠ACE=13∠ACD，
∴∠ECD=23∠ACD=23（x+y），
∵∠ECD+∠FCD＝180°，
∴∠FCD＝180°−23（x+y），
∵∠FDO=13∠CDO，
∴∠CDF=23y，
∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，
∴∠F=23x，
∴∠F=23∠AOB．
20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
（1）求∠M的度数；
（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
（2）结论：∠M1=12∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=12∠AEF，∠EFM=12∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE=12（∠AEF+∠CFE）＝90°，
∴∠M＝180°﹣90°＝90°；
（2）结论：∠M1=12∠M．
理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．
∵AB∥CD，M1J∥AB，
∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=12∠AEM，∠CFM1=12∠CFM，
∵∠EM1J＝∠AEM1，∠JM1F＝∠CFM1
∴∠EM1F＝∠AEM1+∠CFM1=12（∠AEM+∠CFM）=12×90°＝45°；
（3）由（2）可知，∠M1=12×90°，
同法可知，∠M2=12∠M1=14∠M，
•••，
∠Mn＝（12）n×90°，
当n＝2021时，∠M2021＝（12）2021×90°．
21．（2022春•青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．
（1）若∠A＝80°，∠BMC＝ 130 °，∠BNC＝ 50 °．
（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠N＝90°−12∠A，进而可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），再利用三角形的内角和定理可得∠M＝90°+12∠A，进而可求解；由角平分线的定义可得∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），再利用三角形的内角和定理可得∠N＝90°−12∠A，进而可求解．
【解答】解：（1）如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，
∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=12∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BMC＝90°+12∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠BMC＝130°；
如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，
∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=12∠QCB，
∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），
∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，
∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，
∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠A），
即∠BNC＝90°−12∠A，
∵∠A＝80°，
∴∠BNC＝50°；
故答案为：130；50；
（2）如图①，∵∠B、∠C的平分线相交于M，
∴∠MBC=12∠ABC，∠MCB=12∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠MBC+∠MCB+∠BMC＝180°，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠MBC+∠MCB＝180°﹣∠BMC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BMC＝90°+12∠A＝90°+12β；
如图②，∵∠B、∠C外角的平分线相交于N，
∴∠NBC=12∠PBC，∠NCB=12∠QCB，
∴∠NBC+∠NCB=12（∠PBC+∠QCB），
∵∠NBC+∠NCB+∠BNC＝180°，∠PBC＝∠A+∠ACB，∠QCB＝∠A+∠ABC，
∴∠NBC+∠NCB＝180°﹣∠BNC，∠PBC+∠QBC＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，
∴180°﹣∠BNC=12（180°+∠A），
即∠BNC＝90°−12∠A＝90°−12β．
22．（2022春•承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．
（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；
（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．
【分析】（1）作PH∥AB，又AB∥CD，根据平行线的性质、对顶角相等解答；
（2）根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算；
（3）利用（2）的结论、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：（1）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD+∠AEM＝90°．
如图①，过点P作PH∥AB，又AB∥CD，
则PH∥CD，∴∠PFD＝∠NPH，∠AEM＝∠HPM，
∵∠MPN＝90°，
∴∠NPH+∠HPM＝90°
∴∠PFD+∠AEM＝90°．
（2）∠PFD与∠AEM的数量关系为∠PFD﹣∠AEM＝90°，
证明：设PN与AB相交于点G，如图②，
∵AB∥CD，∴∠PFD＝∠PGB，
∵∠PGB﹣∠PEB＝90°，∠PEM＝∠AEM，
∴∠PFD﹣∠AEM＝90°．
（3）如图②，由（2）得∠PFD＝90°+∠PEB＝120°，
∵∠DON＝15°，
∴∠N＝180°﹣∠DON﹣∠PFD＝45°．
23．（2022春•农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 30° ．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝ 120° ．
【分析】（1）利用直角三角形的性质依次求出∠A，∠ACD即可；
（2）利用直角三角形的性质直接计算得出即可；
（3）利用三角形的外角的性质得出结论，直接转化即可得出结论．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；
故答案为：30°；
（2）∵BE⊥CP，
∴∠BEC＝90°，
∵∠CBE＝70°，
∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°，
∵AD⊥CP，
∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°；
（3）∵∠ADP是△ACD的外角，
∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°，
同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°，
∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°，
故答案为：120°．
24．（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝ 146° ；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．
【分析】（1）作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质求解．
（2）作CP∥a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF＝∠ACP+∠PCB＝90°．
（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．
【解答】解：（1）如图，作CP∥a，
∵a∥b，CP∥a，
∴CP∥a∥b，
∴∠ACP＝∠AOG＝56°，∠BCP+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°+∠AOG＝146°．
故答案为：146°；
（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由如下：
如图，作CP∥a，则CP∥a∥b，
∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，
∵∠NEF+∠CEF＝180°，
∴∠BCP＝∠NEF，
∵∠ACP+∠BCP＝90°，
∴∠AOG+∠NEF＝90°．
（3）如图，当点P在GF上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∴∠OPQ＝∠OPN+∠NPQ＝∠GOP+∠PQF，
∵∠GOC＝∠GOP+∠POQ＝135°，
∴∠GOP＝135°﹣∠POQ，
∴∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF．
如图，当点P在GF延长线上时，作PN∥a，连接PQ，OP，则PN∥a∥b，
∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，
∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，
∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，
∴135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
综上所述，∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系是∠OPQ＝135°﹣∠POQ+∠PQF或135°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．
25．（2022春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．
【问题情境】
（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为 30° ．
（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．
【操作思考】
（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式： ∠DGB+12∠DFC＝180° ．
【分析】（1）根据平行线的性质可得答案；
（2）首先得出∠ADC＝130°，再角平分线定义和平行线的性质可得答案；
（3）根据角平分线的定义和八字模型可得∠DGB+∠FDG＝∠BFD+∠FBG，∠DFC﹣∠DGB＝∠FBG﹣∠FDG=12∠ABC−12（∠ADC﹣∠DFC）=12∠DFC，整理可得结论；
（4）根据（3）的思路和∠BFD＝180°﹣∠DFC可得结论．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠D＝180°﹣∠A＝150°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝180°﹣∠D＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝130°，
∵DH平分∠FDC，∠HDC＝45°，
∴∠FDC＝45°×2＝90°，
∴∠ADF＝130°﹣90°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠ADF＝40°；
（3）∵GM平分∠ABC，DG平分∠FDC，
∴∠FBG＝∠CBM=12∠ABC，
∠FDG=12∠FDC=12（∠ADC﹣∠ADF）=12（∠ADC﹣∠DFC），
由八字模型可得，∠DFC+∠FDG＝∠DGB+∠FBG，
即∠DFC﹣∠DGB＝∠FBG﹣∠FDG=12∠ABC−12（∠ADC﹣∠DFC）=12∠DFC，
∴∠DFC＝2∠DGB；
（4）∵BM平分∠ABC，DG平分∠FDC，
∴∠FBG=12∠ABC，
∠FDG=12∠FDC=12（∠ADC﹣∠ADF）=12（∠ADC﹣∠DFC），
由八字模型可得，∠DGB+∠FDG＝∠BFD+∠FBG，
即∠DGB﹣∠BFD＝∠FBG﹣∠FDG=12∠ABC−12（∠ADC﹣∠DFC）=12∠DFC，
∴∠DGB﹣（180°﹣∠DFC）=12∠DFC，
整理可得，∠DGB+12∠DFC＝180°．
故答案为：∠DGB+12∠DFC＝180°．
26．（2022春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．
【分析】【习题回顾】利用余角的性质可证得∠ACF＝∠B，由角的平分线可得∠CAE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论；
【变式思考】由角的平分线可得∠CAE＝∠BAE，再利用三角形外角的性质可证明结论；
【探究延伸】在（2）结论基础上，通过角平分线的性质可求证FB∥OD，进而得出∠COD＝∠F＝β，再由∠BAC＝2∠BOC﹣180°以及∠BOD＝90°即可证明结论．
【解答】【习题回顾】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF+∠BCF＝90°，
∵CD是AB边上的高线，
∴CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，
∴∠CFE＝∠CEF；
【变式思考】解：相等．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CFE＝∠CAE+∠ACF，∠CEF＝∠B+∠BAE，∠ACD＝∠B，
∴∠CFE＝∠CEF；
【探究延伸】解：∠M+∠CFE＝90°，
证明：∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
27．（2022春•邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝ 30° ；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．
①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；
②求证：PQ∥FH．
【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；
（3）设∠AFE＝x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE＝60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CHG．
∵∠2＝3∠1，
∴∠2＝3∠CHG．
∵∠CHG+∠EHF+∠2＝180°，
∴4∠CHG+60°＝180°．
∴∠CHG＝30°．
∴∠1＝30°．
（2）∠AFE＝∠E+∠MHE，
理由：∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠CME．
∵∠CME＝∠E+∠MHE，
∴∠AFE＝∠E+∠MHE．
（3）①设∠AFE＝x，则∠BFH＝90°﹣x，∠EFB＝180°﹣x．
∵AB∥CD，
∴∠BFT＝∠ETF．
∵∠EFT＝∠ETF，
∴∠EFT＝∠BFT=12∠EFB＝90°−12x．
∴∠HFT＝∠BFT﹣∠BFH=12x，
即∠HFT=12∠AFE；
②证明：∵∠Q﹣∠HFT＝15°，
∴∠Q＝15°+12x．
∵AB∥CD，
∴∠AFE+∠CEF＝180°．
∴∠CEF＝180°﹣x．
∴∠CEH＝∠CEF+∠FEH＝180°﹣x+30°＝210°﹣x．
∵EQ平分∠CEH，
∴∠QEH=12∠CEH＝105°−12x．
∵∠Q+∠QEH+∠QPE＝180°，
∴15°+12x+105°−12x+∠QPE＝180°．
∴∠QPE＝60°．
∵∠H＝60°，
∴∠QPE＝∠H．
∴PQ∥FH．
28．（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①∠P+∠2=∠4+∠D②
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： ∠P=23α+13β． （用α、β表示∠P），并说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明．
（2）【问题探究】
由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1＝∠2，∠3＝∠4，推出∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，推出2∠P＝∠ABC+∠ADC，即可解决问题．
【拓展延伸】由（1）的结论易求2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，再将已知条件代入化简可求2∠P，进而可求解∠P．
【解答】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）解：【问题探究】∠P＝52°，
理由：如图3，
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠ADC+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠ABC+∠4，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P=12（∠B+∠D）=12×（36°+16°）＝26°；
【拓展延伸】
由（1）可知：∠C+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠C+∠CAP＝∠P+∠PDC，∠B+∠BDP＝∠P+∠PAB，
∴∠C+∠CAP+∠B+∠BDP＝2∠P+∠PDC+∠PAB，∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B，
∴2∠P＝∠C+∠CAP+∠B+∠BDP﹣∠PDC﹣∠PAB，
∵∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，
∴∠BDP=23∠CDB，∠PAB=23∠CAB，
∴2∠P＝α+β+13∠CAB+23∠CDB−13∠CDB−23∠CAB＝α+β+13∠CDB−13∠CAB＝α+β+13（∠CDB﹣∠CAB）＝α+β+13（∠C﹣∠B）＝α+β+13（α﹣β）=43α+23β，
∴∠P=23α+13β．
故答案为：∠P=23α+13β．
29．（2022春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：
如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
①填空：∠OBC+∠ODC＝ 180° ；
②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．
请你完成上述问题．
（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据四边形的性质，可得答案；
②根据补角的性质，可得∠CBM＝∠ODC，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据直角三角形的性质，可得∠DBC+∠BDC＝90，根据补角的性质，可得∠NDC+∠CBM＝180，根据角的和差，可得∴∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC＝180
°，根据平行线的判定，可得答案．
【解答】解：（1）①由四边形内角的性质，得
∠OBC+∠ODC＝180°，
故答案为：180．
②如图1
，
延长DE交BF于G，
∵∠ODC+∠OBC＝∠CBM+∠OBC＝180，
∴∠CBM＝∠ODC，
12∠CBM＝∠EBG=12∠ODC＝∠EDC．
∵∠BEG＝∠DEC，
∴∠BGE＝∠DCE＝90°
所以DE垂直BF
（2）平行，理由如下：
连接BD，如图2
，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DBC+∠BDC＝90°．
∵∠ODC＝∠CBM，
∠NDC+∠ODC＝180°，∠NDC+∠CBM＝180°，
∵∠GDC+∠FBC=12∠NDC+12∠CBM＝90°，
∴∠DBC+∠BDC+∠GDC+∠FBC＝180°，
即∠DBF+∠BDG＝180°，
∴DG∥BF．
30．（2022春•万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝ 140 °；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）方法与（1）相同；
（3）根据点P的位置，分D、E、P三点共线前、后和三点共线时三种情况，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解．
【解答】解：（1）如图，连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠DPE＝∠α＝50°，∠C＝90°，
∴∠1+∠2＝50°+90°＝140°，
故答案为：140°；
（2）连接PC，
由三角形的外角性质，∠1＝∠PCD+∠CPD，∠2＝∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE＝∠DPE+∠C，
∵∠C＝90°，∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α；
（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2＝∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1＝90°+∠α；
如图2，∠α＝0°，∠2＝∠1+90°；
如图3，∠2＝∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2＝∠α﹣90°．