2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.6 圆锥曲线的焦点三角形问题

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题3.6 圆锥曲线的焦点三角形问题，文件包含专题36圆锥曲线的焦点三角形问题人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题36圆锥曲线的焦点三角形问题人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
专题3.6 圆锥曲线的焦点三角形问题 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc149254906" 【考点1：椭圆的焦点三角形问题】  PAGEREF _Toc149254906 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc149254907" 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】  PAGEREF _Toc149254907 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc149254908" 【考点3：综合检测练习】  PAGEREF _Toc149254908 \h 14【考点1：椭圆的焦点三角形问题】【知识点：椭圆的焦点三角形问题】椭圆上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形:∆PF1F2，如下图所示：1.∆PF1F2的周长为定值:2(a+c)。2.当点P靠近短轴端点时θ增大,当点P靠近长轴端点时θ减小;与短轴端点重合时θ最大。三角形∆PF1F2面积,即P与短轴端点重合时面积最大。推导过程：|PF1|+|PF2|=2a①4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos②③，联立①②③即可得结论.1．（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）已知点F1,F2分别是椭圆x225+y29=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PF1F2的周长等于（    ）A．20 B．16 C．18 D．14【答案】C【分析】由椭圆的定义求解．【详解】根据椭圆方程可知a=5,c=4，根据椭圆的定义可知，△PF1F2的周长为2a+2c=10+8=18，故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）已知F1，F2为椭圆x29+y25=1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1=2PF2，则△PF1F2的面积为（    ）A．23 B．15 C．4 D．17【答案】B【分析】利用椭圆定义求得PF1,PF2的值，判断△PF1F2为等腰三角形，即可求得答案.【详解】由椭圆x29+y25=1可知a=3,b=5,c=9−5=2，故PF1+PF2=2a=6，结合PF1=2PF2，可得PF1=4,PF2=2，而F1F2=2c=4，故△PF1F2为等腰三角形，其面积为12×2×42−12=15，故选：B3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：x225+y29=1的左､右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（    ）A．3 B．2 C．53 D．43【答案】D【分析】由面积最大得M的位置，从而可求出三角形的三条边，求出内切圆的半径.【详解】因为椭圆为x225+y29=1，所以a=5，b=3，c=a2−b2=4，当△MF1F2的面积最大时，点M在椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则MF1=MF2=5，F1F2=8，OM=3，因为S△MF1F2=12(MF1+MF2+F1F2)r=12F1F2OM，所以r=43.故选：D.4．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知F1，F2分别是椭圆C：x29+y24=1的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若PF1⊥PF2，则tan∠PF1F2=（    ）A．12 B．2 C．55 D．255【答案】A【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由椭圆的定义及勾股定理可得PF1，PF2的值，再求出∠PF1F2的正切值．【详解】由椭圆的方程x29+y24=1可得a=3，b=2，所以c=a2−b2=9−4=5，设PF1=r，则PF2=2a−r=6−r，由P在第一象限可得r>6−r，即r>3，因为PF1⊥PF2，所以r2+(6−r)2=(2c)2=20，整理可得r2−6r+8=0，解得r=4或2（舍)，即PF1=4，PF2=2，所以在Rt△ PF1F2中，tan∠PF1F2=PF2PF1=24=12，故选：A．  5．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交椭圆于A、B两点．若△ABF1的周长为46，则椭圆的方程为（    ）A．x23+y2=1 B．x23+y22=1C．x26+y24=1 D．x212+y28=1【答案】C【分析】依据题意得到ca=334a=46，并结合b2=a2−c2，简单计算即可.【详解】如图，  由题可知：ca=334a=46⇒a=6c=2，则b2=a2−c2=4所以椭圆方程为：x26+y24=1故选：C6．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6，且椭圆的离心率为12，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（    ）A．12 B．1 C．32 D．2【答案】B【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离.【详解】设椭圆的焦距为2c，且△PF1F2的周长为6，所以2a+2c=6，椭圆的离心率为12，则ca=12，综上，2a+2c=6ca=12，解得a=2c=1，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为a−c=1．故选：B7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆M:x24+y2=1，若P在椭圆M上，F1,F2是椭圆M的左、右焦点，满足PF1=PF2，则∠PF1F2= .【答案】30°/π6【分析】由题意可得出PF1=PF2=a=2，F1F2=2c=23，再由余弦定理求解即可.【详解】由椭圆方程知：a=2，b=1，c=3；若PF1=PF2，∵PF1+PF2=2a，∴PF1=PF2=a=2，又F1F2=2c=23，∴cos∠PF1F2=PF12+F1F22−PF222PF1⋅F1F2=124×23=32，又0°0的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 .【答案】45/0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得PF1PF2=4b23，再根据正弦定理可知外接圆半径R=233c，由等面积法可知内切圆半径r=33a−c，再根据面积比即可计算出离心率e=45.【详解】根据题意画出图象如下图所示：  利用椭圆定义可知PF1+PF2=2a，且F1F2=2c；又∠F1PF2=60°，利用余弦定理可知：cos∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=PF1+PF22−2PF1PF2−F1F222PF1PF2=4a2−2PF1PF2−4c22PF1PF2=12，化简可得PF1PF2=4b23；所以△PF1F2的面积为S△PF1F2=12PF1PF2sin60°=12×4b23×32=3b23；设△PF1F2的外接圆半径为R，内切圆半径为r；由正弦定理可得F1F2sin∠F1PF2=2R=2csin60°=433c，可得R=233c；易知△PF1F2的周长为l=PF1+PF2+F1F2=2a+2c，利用等面积法可知S△PF1F2=12lr=3b23=a+cr，解得r=3b23a+c=33a−c；又△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即πR2πr2=64，所以Rr=8，即可得Rr=233c33a−c=2ca−c=8，所以10c=8a；离心率e=ca=45.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式S=12lr可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.10．（2024·全国·高三专题练习）已知点P在焦点为F1,F2的椭圆x245+y220=1上，若∠F1PF2=90∘，求PF1⋅PF2的值．【答案】40【分析】利用勾股定理构造方程，结合椭圆定义可求得结果.【详解】  由椭圆方程知：a=35，b=25，∴c=a2−b2=5，∵∠F1PF2=90∘，∴PF12+PF22=F1F22=4c2=100，由椭圆定义知：PF1+PF2=2a=65，∴PF12+PF22=PF1+PF22−2PF1⋅PF2=180−2PF1⋅PF2=100，解得：PF1⋅PF2=40.11．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的焦点在x轴上，且过点32，3，焦距为25，设P为椭圆上的一点，F1、F2是该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2=60∘，求：(1)椭圆的标准方程；(2)△PF1F2的面积．【答案】(1)x29+y24=1(2)433【分析】（1）设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；（2）利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.【详解】（1）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知得2c=25，94a2+3b2=1，a2=b2+c2，解得a=3，c=5，b=2，故椭圆的标准方程为x29+y24=1．（2）如图，由椭圆的定义可得PF1+PF2=6，由余弦定理可得|PF1|2+PF22−2PF1PF2cos60∘=20，整理得PF1|2+PF2|2−PF1PF2=20，又PF1|2+PF2|2+2PF1PF2=36，所以PF1×PF2=163，故S△PF1F2=12×PF1PF2×sin60∘=12×163×32=433． 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】【知识点：双曲线的焦点三角形问题】双曲线上任意一点P与两焦点F1、F2构成的三角形:∆PF1F2，如下图所示：则S∆PF1F2=b2∙tanγ2.推导过程：||PF1|-|PF2||=2a①4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos②③，联立①②③即可得结论.1．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）设F1、F2分别是双曲线C：x22−y24=1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且OP=12PF1−PF2，则△PF1O的面积为（    ）A．4 B．22 C．3 D．2【答案】D【分析】由题设可得OP=12|F2F1|=c，进而确定P的位置，易知△PF1O为直角三角形，最后利用双曲线定义求直角边，即可求面积.【详解】由OP=12PF1−PF2=12|F2F1|=c=6，所以P是以原点为圆心，6为半径的圆与双曲线C的交点，又F1(−6,0),F2(6,0)，即它们也在P点所在的圆上，且|F2F1|为直径，所以△PF1O为直角三角形，∠F1PF2=90°，  如上图，|PF1|−|PF2|=2a=22，且|PF1|2+|PF2|2=4c2=24，所以(22+|PF2|)2+|PF2|2=24⇒|PF2|2+22|PF2|−8=0⇒|PF2|=10−2，则|PF1|=10+2，故△PF1O的面积为12×12|PF1||PF2|=2.故选：D2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1的直线分别交双曲线左､右两支于M,N两点，F2为双曲线的右焦点，∠MF2N=90∘,MF2:NF2=3:4，则双曲线的离心率e=（    ）A．2 B．855 C．95 D．175【答案】B【分析】根据题意结合双曲线的定义可得NF1=6a,NF2=4a，进而在△F1NF2中，利用余弦定理运算求解.【详解】因为MF2:NF2=3:4，不妨设MF2=3m,NF2=4m,m>0，由∠MF2N=90∘，可得MN=5m，  由双曲线的定义可得NF1−NF2=2a，MF2−MF1=2a，即MF1+5m−4m=2a，3m−MF1=2a，则MF1=m=a，可得NF1=6a,NF2=4a，在△F1NF2中，由余弦定理可得F1F22=NF12+NF22−2NF1⋅NF2cos∠F1NF2，即4c2=36a2+16a2−2×6a×4a×45=685a2，则e2=c2a2=175，所以e=855．故选：B．3．（多选）（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）(多选)已知点F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P是双曲线C位于第一象限内一点，若PF1⋅PF2=0，PF1=2PF2，则下列结论正确的是（    ）A．△PF1F2的面积为32a2B．双曲线C的离心率为5C．双曲线C的渐近线方程为x±2y=0D．若双曲线C的焦距为25，则双曲线C的方程为x2−y24=1【答案】BD【分析】由题意PF1=2PF2并结合双曲线定义PF1−PF2=2a可知PF1=4a，PF2=2a，结合PF1⋅PF2=0，即PF1⊥PF2，又F1F2=2c，具体分析逐个选项即可.【详解】对于选项A：由定义可得PF1−PF2=2a，因为PF1=2PF2，所以PF1=4a，PF2=2a，由已知∠F1PF2=90°，所以△PF1F2的面积为12PF1PF2=12×4a×2a=4a2，故A错误；对于选项B：由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2，即5a2=c2，所以e=ca=c2a2=5，故B正确；对于选项C：因为b2=c2−a2=4a2，所以b2a2=4，即ba=2，所以双曲线的渐近线方程为：2x±y=0，故C错误；对于选项D：由双曲线C的焦距为25得c=5，从而a2=1，b2=4，所以双曲线C的方程为x2−y24=1，故D正确.故选：BD.4．（多选）（2023春·安徽阜阳·高二统考期末）已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的左､右焦点分别是F1,F2，P为双曲线C右支上的动点，F1F2=4，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线C的离心率e=233B．双曲线C与双曲线y23−x2=1共渐近线C．若点P的横坐标为3，则直线PF1的斜率与直线PF2的斜率之积为25D．若∠F1PF2=π3，则△PF1F2的内切圆半径为433【答案】AC【分析】根据题意，求得双曲线的方程为C:x23−y2=1，其中a=3,b=1,c=2，结合双曲线的定义和几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，可得2c=F1F2=4，所以c=2，则a2=c2−1=3，所以双曲线C:x23−y2=1，其中a=3,b=1,c=2，对于A中，由双曲线C的离心率e=ca=23=233，所以A正确；对于B中，由双曲线C:x23−y2=1的渐近线方程为y=±33x，又由双曲线y23−x2=1的渐近线方程为y=±3x，故B错误；对于C中，由点P的横坐标为3，不妨记P在第一象限，则P3,2，因为F1−2,0,F22,0，可得kPF1⋅kPF2=25，所以C正确；对于D中，设PF2=x，则PF1=2a+PF2=23+x，在△PF1F2中，由余弦定理得F1F22=PF12+PF22−2PF1⋅PF2⋅cosπ3，即x2+23x−4=0，解得x=7−3或x=−7−3（舍去），所以△PF1F2的周长为PF1+PF2+F1F2=27+4，又由△PF1F2的面积为12PF1⋅PF2⋅sin60∘=3，所以△PF1F2的内切圆半径为2S△PF1F2F1F2+PF1+PF2=21−233，所以D错误.故选：AC.5．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知双曲线x2a2−y2=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为233，P为双曲线右支上一点，且满足PF12−PF22=415，则△PF1F2的周长为 .【答案】25+4/4+25【分析】由离心率求出a、c，再由双曲线定义结合已知可得PF1+PF2，从而求出△PF1F2的周长.【详解】由题意可得b=1，c=a2+1，∵e=a2+1a=233，∴a=3，c=2，∵P为双曲线右支上一点，∴PF1−PF2=2a=23，又∵ PF12−PF22=415，∴PF1+PF2=25，则△PF1F2的周长为25+2c=25+4．故答案为：25+4．  6．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线x29−y216=1的两个焦点分别为F1、F2，点P为此双曲线上一点，PF1⋅PF2=32，求证：PF1⊥PF2．【答案】证明见解析【分析】首先求出a、b、c，根据双曲线的定义得到PF1−PF2=±6，再由PF12+PF22=PF1−PF22+2PF1⋅PF2即可得证.【详解】在双曲线x29−y216=1中a=3，b=4，所以c=a2+b2=5，由题意得PF1−PF2=±2a=±6，又PF1⋅PF2=32，所以PF12+PF22=PF1−PF22+2PF1⋅PF2=36+64=100=F1F22，所以PF1⊥PF2．7．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线x216−y29=1的两焦点分别为F1、F2，点P为双曲线上一点，且∠F1PF2=π2，求△PF1F2的面积．【答案】9【分析】由双曲线定义得到PF1−PF2=8，F1F2=10，结合勾股定理和完全平方公式得到PF1⋅PF2=18，从而得到△PF1F2的面积.【详解】不妨设P为双曲线右支上一点，由题意得PF1−PF2=2a=8，又F1F2=2c=2×16+9=10，因为∠F1PF2=π2，由勾股定理得PF12+PF22=100，故PF12+PF22=PF1−PF22+2PF1⋅PF2，即64+2PF1⋅PF2=100，解得PF1⋅PF2=18，故S△PF1F2=12PF1⋅PF2=9.  8．（2024·全国·高三专题练习）若F1，F2是双曲线x29−y216=1的左、右焦点，点P在此双曲线上，且PF1⋅PF2=32，求∠F1PF2的大小．【答案】π2【分析】在焦点三角形中，利用余弦定理求解即可.【详解】如图，  由x29−y216=1可得c2=a2+b2=9+16=25，设|PF1|=d1,|PF2|=d2，则|d1−d2|=6，又d1d2=32，所以d12+d22=100，在△F1PF2中，cos∠F1PF2=d12+d22−4c22d1d2=100−4×252×32=0又因为00)的一条渐近线方程为y=2x，∴b3=2∴b=6∴c=3，设|PF1|=m，|PF2|=n，PF1，PF2的夹角为α，则mncosα=8，∴36=m2+n2-2mncosα，∴m2+n2=52，∵|m-n|=23，∴mn=20，∴cosα=25，∴sinα=215，∴S△PF1F2=12mnsinα=12×20×215=221．故选D．点睛：本题考查双曲线的简单性质，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出mn的值是关键．3．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆的短轴长为8，点F1,F2为其两个焦点，点P为椭圆上任意一点，△PF1F2的内切圆面积最大值为9π4，则椭圆的离心率为（    ）A．45 B．22 C．35 D．223【答案】C【分析】由题知b=4，设△PF1F2内切圆的半径为r，由等面积法得r=cyPa+c，进而得yP=b时，r有最大值32，即4ca+c=32，进而得答案.【详解】不妨设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,所以，由题知2b=8，即b=4，设△PF1F2内切圆的半径为r，则πrmax2=9π4，解得：rmax=32，则有S△PF1F2=12PF1+PF2+F1F2r=122a+2cr=a+cr，又S△PF1F2=12F1F2⋅yP=12×2c⋅yP=c⋅yP故a+cr=c⋅yP，解得：r=cyPa+c所以要使内切圆半径最大，则yP取得最大值，所以，当点P运动到椭圆短轴的端点时，yP最大，此时r有最大值32，且yP=b，所以4ca+c=32，即3a=5c，所以，椭圆的离心率为e=ca=35,故选：C4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知双曲线x2a2−y2b2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点，若△ABF2的周长为16，则当b2取得最大值时，该双曲线的离心率为（    ）A．2 B．3C．2 D．5【答案】A【分析】可设F1(−c,0)，求得|AB|，运用勾股定理，可得△ABF2的周长，结合a，b，c的关系，可得b2=a(4−a)，可得最大值，即可求得双曲线的离心率．【详解】设F1(−c,0)，由x=−c代入双曲线的方程可得y=±bc2a2−1=±b2a，则有A−c,b2a，B−c,−b2a，AF1=BF1=b2a，|AB|=2b2a，AF2=BF2=|AF1|2+|F1F2|2=b4a2+4c2，由题意可得2b2a+2b4a2+4c2=16，结合c2=a2+b2，上式化简可得b2=4a−a2=−(a−2)2+4，∴当a=2时，b2取得最大值4，∴c2=4+4=8，∴a=2，c=22，∴双曲线离心率e=ca=2．故选：A．5．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点．若△ABF2的周长为24，F1F2=46，则该双曲线的标准方程为（    ）A．x215−y29=1 B．x29−y215=1 C．x28−y216=1 D．x216−y28=1【答案】D【分析】根据题意可得c=26，利用双曲线的定义结合通径分析运算可得a=4，即可得结果.【详解】设双曲线的半焦距为c>0，由F1F2=2c=46，可得c=26，将x=−c代入双曲线可得y=±b2a,由双曲线可知AF2−AF1=2a，BF2−BF1=2a，AB=2b2a，可得AF2=AF1+2a,BF2=BF1+2a，所以△ABF2的周长为AF2+BF2+AB=AF1+2a+BF1+2a+AB=4a+AF1+BF1+AB=4a+2AB=4a+4b2a=24，即a+b2a=6，整理得a2+b2=6a=c2=24，所以a=4，b2=c2−a2=8，所以双曲线的标准方程为x216−y28=1．故选：D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x225+y29=1，F1，F2分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中错误的是（    ）A．离心率e=45 B．△F1PF2的周长为18C．直线PA与直线PB斜率乘积为定值−925 D．若∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积为8【答案】D【分析】根据离心率的定义可判断A；利用椭圆的定义可判断B；求出kPA⋅kPB可判断C；利用勾股定理以及椭圆的定义求出PF1PF2可判断D.【详解】由x225+y29=1，可得a=5，b=3，c=a2−b2=4，A，离心率e=ca=45，故A正确；B，△F1PF2的周长为PF1+PF2+F1F2=2a+2c=18，故B正确.C，设Px0,y0，kPA⋅kPB=y0x0+5⋅y0x0−5=y02x02−25=91−x0225x02−25=−925，故C正确；D，∵∠F1PF2=90°，∴PF12+PF22=F1F22=64，又因为PF1+PF2=2a=10，所以PF1+PF22=100，即∴PF12+PF22+2PF1PF2=100，解得PF1PF2=18,所以S△F1PF2=12PF1PF2=9，故D错误.故选：D7．（2023春·四川自贡·高二统考期末）设椭圆C:x22+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列四个结论正确的个数（    ）①PF1+PF2=22；②离心率e=32；③△PF1F2面积的最大值为2；④以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由椭圆定义可判断①；求出离心率可判断②；当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，求出可判断③；求出圆心到直线距离可判断④.【详解】对于①，由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a=22，故①正确；对于②，由椭圆方程知a=2,b=1,c=1，所以离心率e=ca=12=22，故②错误；对于③，F1F2=2c=2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为12⋅2c⋅b=c⋅b=1，故③错误；对于④，以线段F1F2为直径的圆的圆心为0,0，半径为c=1，圆心到直线x+y−2=0的距离为:d=0+0−212+12=22=1，即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y−2=0相切，故④正确.故选：B.8．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）已知椭圆C:x216+y29=1的左、右焦点分别是F1,F2，左、右顶点分别是A1,A2，点P是椭圆C上异于A1,A2的任意一点，则下列说法正确的个数是（    ）（1）PF1+PF2=4；（2）存在点P满足∠F1PF2=90°（3）直线PA1与直线PA2的斜率之积为−916（4）若△F1PF2的面积为27，则点P的横坐标为±435A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以F1F2为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线PA1与直线PA2的斜率，计算出答案；（4）利用F1PF2的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标.【详解】由题意得：a=4,b=3，所以c2=16−9=7，c=7，故F1−7,0，F27,0，A1−4,0，A24,0，由椭圆的定义知：PF1+PF2=2a=8，（1）错误；假设存在点P满足∠F1PF2=90°，则点P在以F1F2为直径的圆上，即x2+y2=7，与椭圆方程联立得：x2=−327，无解，故假设不成立，不存在点P满足∠F1PF2=90°，（2）错误；设点Pm,n，则m216+n29=1，所以n2=9−9m216其中kPA1=nm+4，kPA2=nm−4，所以kPA1⋅kPA2=nm+4⋅nm−4=n2m2−16=9−9m216m2−16=−916，（3）正确；S△F1PF2=12F1F2⋅yP=7yP=27，解得：yP=2，将yP=2代入椭圆方程中，解得：xP=±435，（4）正确.综上：正确答案为2个，故选：B二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设椭圆C：x29+y26=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1垂直于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，则（    ）A．椭圆的离心率e=33 B．△F2MN的周长为12C．△F2MN的面积为23 D．△F2MN为等边三角形【答案】ABD【分析】根据椭圆方程，求得a，b，c，再逐项求解判断.【详解】因为椭圆C：x29+y26=1 ，所以a=3,b=6,c=3，则e=ca=33，故A正确； △F2MN的周长为4a=12，故B正确；△F2MN的面积为S△F2MN=12×MN×F1F2=12×2×623×23=43，故C错误；MN=2b2a=4,F2M=F2N=2a−b2a=4，所以△F2MN为等边三角形，故D正确；故选ABD10．（2022秋·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知双曲线y29−x216=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，则下列结论正确的是（    ）A．该双曲线的离心率为54 B．该双曲线的渐近线方程为y=±34xC．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为9 D．点P到两渐近线的距离乘积为14425【答案】BD【分析】利用双曲线的离心率公式可判断A选项；求出双曲线的渐近线方程可判断B选项；利用双曲线的定义以及三角形的面积公式可判断C选项；利用点到直线的距离公式可判断D选项.【详解】对于A选项，a=3，b=4，c=5，该双曲线的离心率为e=ca=53，A错；对于B选项，该双曲线的渐近线方程为y=±abx=±34x，B对；对于C选项，若PF1⊥PF2，则PF1−PF2=2a=6PF12+PF22=2c2=100，所以，2PF1⋅PF2=PF12+PF22−PF1−PF22=64，可得PF1⋅PF2=32，故S△PF1F2=12PF1⋅PF2=16，C错；对于D选项，设点Px0,y0，则16y02−9x02=144，双曲线的两渐近线方程分别为3x+4y=0、3x−4y=0，所以，点P到两渐近线的距离乘积为3x0−4y0⋅3x0+4y032+42=9x02−16y0225=14425，D对.故选：BD.11．（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,F1F2=2c，过F1作倾斜角为π6的直线与y轴交于点M，交双曲线右支于点P，且MP=MF1，下列选项正确的有（    ）A．∠F1PF2=π3B．双曲线渐近线的方程为y=±2xC．S△F1PF2=33b2D．△PF1F2的内切圆半径是1−33c【答案】ABD【分析】判断PF2∥OM，结合∠PF1F2=π6，可判断A；判断出PF2⊥F1F2，求得PF1,PF2，结合双曲线定义求出a,b,c之间的关系，可判断B；利用三角形面积可判断C；根据三角形的等面积法求得内切圆半径，可判断D.【详解】由于MP=MF1可知M是PF1的中点，又O是F1F2的中点，所以PF2∥OM，故PF2⊥F1F2，由于∠PF1F2=π6，因此∠F1PF2=π3，故A正确；由于PF2⊥F1F2,∠PF1F2=π6，F1F2=2c，故PF1=2ccosπ6=433c,PF2=2c×tanπ6=233c，由双曲线的定义可知PF1−PF2=233c=2a，∴c=3a,∴b=c2−a2=2a，因此渐近线方程为y=±bax即y=±2x，故B正确；由于PF2⊥F1F2,|PF2|=b2a，故S△PF1F2=12F1F2⋅PF2=cb2a=3b2，故C错误；设△PF1F2的内切圆半径为r，根据等面积法得12PF1+PF2+F1F2r=12F1F2⋅|PF2∣=3b2=233c2，即1223c+2cr=233c2,∴r=1−33c，故D正确，故选：ABD三、解答题12．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是双曲线x24−y28=1上的一点，点F1和F2为左、右焦点，若∠F1PF2=60∘．（1）求△F1PF2的面积；（2）求点P的坐标．【答案】（1）83；（2）23,4或23,−4或−23,4或−23,−4.【解析】（1）利用双曲线定义以及余弦定理，可求解出PF1⋅PF2的值，然后根据三角形的面积公式求解出△F1PF2的面积；（2）根据S△F1PF2=12⋅F1F2⋅yP，结合（1）的结果，可求解出P点的纵坐标，然后将纵坐标代入双曲线方程，则横坐标可求，则P点坐标可求.【详解】（1）由双曲线方程可知：a=2,c=23，因为PF1−PF2=2a=4，且cos∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1⋅PF2=12，所以PF1−PF22+2PF1⋅PF2−48=PF1⋅PF2，所以PF1⋅PF2=48−16=32，所以S△F1PF2=12⋅PF1⋅PF2sin60°=12×32×32=83；（2）因为S△F1PF2=12⋅F1F2⋅yP=83，所以yp=1632c=16343=4，所以xp24−yp28=1，所以xp2=41+168=12，所以xp=±23，所以P点坐标为：23,4或23,−4或−23,4或−23,−4.【点睛】结论点睛：椭圆或双曲线的焦点三角形的顶点为P，焦点为F1,F2，且∠F1PF2=θ，则有：（1）椭圆的焦点三角形的面积为：b2tanθ2（b为短轴长度一半）；（2）双曲线的焦点三角形的面积为：b2tanθ2（b为虚轴长度一半）.13．（2022秋·高二单元测试）已知椭圆C的一个焦点F21,0，且短轴长为23.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在C上，且∠PF1F2=90°，求△PF1F2的面积.【答案】(1)x24+y23=1(2)32【分析】（1）由题意求出b，c，进而求出a，最后得到答案；（2）根据题意PF1⊥x轴，进而求出点P的坐标，即求得△PF1F2的高|PF1|，然后求出面积.【详解】（1）由题意，c=1,b=3⇒a=b2+c2=2，则椭圆C的方程为：x24+y23=1.（2）由已知，F1−1,0，PF1⊥x轴，将x=−1代入椭圆C的方程解得：y=±32，于是，S△PF1F2=12×|F1F2|×|PF1|=12×2×32=32，即△PF1F2的面积为32.14．（2023·全国·高三专题练习）已知两定点F1−1,0,F21,0，动点P满足PF1+PF2=2F1F2．(1)求点P的轨迹方程；(2)若∠F1PF2=60∘，求△PF1F2的面积．【答案】(1)x24+y23=1；(2)3.【分析】(1)根据椭圆的定义即可求P的轨迹方程；(2)在△PF1F2中利用余弦定理和椭圆定义即可求出PF1·PF2，再根据三角形面积公式求其面积.（1）依题意知F1F2=2,PF1+PF2=2F1F2=4，∴P点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,b=3．故所求P点的轨迹方程为x24+y23=1；（2）设m=PF1,n=PF2，则m+n=2a=4．在△PF1F2中，由余弦定理得，F1F22=m2+n2−2mncos∠F1PF2，∴4=(m+n)2−2mn1+cos60∘解得mn=4．∴S△PF1F2=12mnsin∠F1PF2=12mnsin60∘=3．