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2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与平行四边形问题（课件）
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这是一份2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与平行四边形问题（课件），共56页。PPT课件主要包含了例1题图②，对角线，两平行线，例2题图，例2题解图①，例2题解图②，例2题解图③，例2题解图⑤，第1题图，备用图等内容，欢迎下载使用。
探究1 (已知三个顶点位置)：点D是坐标平面内一点，请找出点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．(1)当以AB为对角线时，AC＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(1)满足条件的点D1的如解图①；
(2)当以BC为对角线时，AB＝________，AC＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(2)满足条件的点D2的如解图；
(3)当以AC为对角线时，AB＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(3)满足条件的点D3的如解图；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【作图依据】_________________________________________
探究2(已知两个顶点位置，其余两点在函数图象上)：点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，请找出点P、Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
(1)当以AC为边时，四边形APQC或四边形AQPC是平行四边形，此时AC＝________，AP＝________．在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
(1)满足条件的点P如解图；
(2)当以AC为对角线时，四边形APCQ是平行四边形，此时AP＝________，AQ＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
(2)满足条件的点P如解图.
【方法总结】二次函数中平行四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知线段为_______或______讨论；以探究1为例，已知AB为对角线时，作图方法为：_______________________________，所找点即为__________________的交点；若已知AB为边时，作图方法为：__________________________________________________________________，所找点即为______________________的交点．
分别过点A、C作BC，AC的平行线
分别过点A、C作BC，AB的平行线，或分别过点B、C作AC、AB的平行线
(1)求抛物线的表达式;
【思维教练】点A、B、C为定点，要使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则需分当AC为边或对角线时进行讨论．
(2)坐标平面内是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)存在，点P在坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)；
【解法提示】如解图①，当AC为边时，四边形ABPC为平行四边形，则CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(4，5)；四边形APBC为平行四边形，则AP＝BC，|xP|＝AO ＋OB ＝6，yp＝－yc＝－5，此时点P的坐标为(－6，－5)；当AC为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(－4，5)．综上可知，点P的坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)．
【思维教练】由GH∥x轴，AB在x轴上．可知AB∥GH，从而只需GH＝AB即可得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形．
(3)设点 G是抛物线上一点，过点 G作 GH∥x轴交对称轴 l于点 H，是否存在点 G，使得以 A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由；
当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G1(1，12)；当g＝－7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G2(－7，12)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(1，12)或(－7，12)；
(4)设点 K是抛物线上一点，过 K作 KJ∥y轴，交直线 AC于点 J，是否存在点 K，使得以 M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 K的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K、J坐标，由KJ∥ME，从而只需KJ＝ME即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，求出点K坐标．
(4)存在；如解图③，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)，
∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，易得直线AC的解析式为y＝x＋5，∴设点J的坐标为(e，e＋5)，∵M(－3，－4)，E(－3，2)，∴ME＝6，∵ME∥y轴，KJ∥y轴，∴KJ∥ME，∴要使得以M、E、K、J为顶点的四边形为平行四边形，则KJ＝ME＝6，
①当点K在点J的下方时，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，则－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3(舍去)，则K1(－2，－3)；②当点K在点J的上方时，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，则e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，则K2(－6，5)，K3(1，12)，综上所述，满足条件的点K的坐标为(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)；
(5)设点 N是抛物线上一点，点Q是x轴上一点，是否存在点N，使得以A、E、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】由AE为定边，可分AE为平行四边形一边及AE为平行四边形对角线两种情况分别确定点N.
①如解图④，当AE为平行四边形的一条边时，QN∥AE，且NQ＝AE，则∠NQT＝∠EAD，∵NT⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠NTQ＝∠EDA＝90°，∴△QNT≌△AED，又∵AC，DM相交于点E，∴E(－3，2)，∴NT＝ED＝2，
(5)存在；过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；
(2)∵A(－4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，
(3)连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，请求出点P的坐标；
(3)过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，过P作PQ⊥x轴于点Q，过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：
①当S△AOP∶S△COP＝1∶2时，如解图①∵S△AOP∶S△COP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝1∶3，∴PQ∶CH＝1∶3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，∴x＝－2，∴P(－2，2)；
∵S△COP∶S△AOP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝2∶3，∴PQ∶CH＝2∶3，
②当S△COP∶S△AOP＝1∶2时，如解图，过点C作CH⊥x轴于点H.
∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，∴x＝0，∴P(0，4)；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，则点P坐标为(－2，2)或(0，4)；
(4)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】设N(m，n)，分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A(－4，0)，O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中点为( ， )，OC中点为( ， )，∴ 解得∴N(6，6)，
解得∴N(－2，6)，
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得： 解得∴N(－6，－6)，综上所述，存在点H，使得以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
(4)存在；以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C连接AC.其中OC＝OB，tan∠CAO＝3.(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为(0，3)，∵OC＝OB＝3，∴点B坐标为(3，0)，
(2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，点Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大时P点坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移 个单位得新抛物线y′，点M为新抛物线y′的顶点，点D为新抛物线y′上任意一点，点N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
∵ ， ,∴xN＝7，或 ，∴xN＝5，∴点N坐标为(7，0)或(5，0)，或 ， ，得yD＝－1，
3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P点逆时针方向旋转45°后与二次函数图象交于点Q.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)当点P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；
(2)如解图①，过点Q作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x＋1交y轴于点F，
则F(0，1)，且该直线过点A(－1，0)，∵OA＝OF，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，∴PQ∥AF，设直线PQ的解析式为直线y＝x＋c，
(3)求线段PQ的最大值；
(4)二次函数对称轴上是否存在点D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
如解图④，PQ为以P，Q，B，D四点为顶点的四边形的对角线时，DQ∥PB，DQ＝PB.设P(r，0)(－1≤r≤4)，设直线PQ的解析式为y＝x＋d，则r＋d＝0，即d＝－r，∴直线PQ的解析式为y＝x－r，由 ，解得 或 (不符合题意，舍去)，∴Q( )，
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，∴Rt△PDG≌Rt△BQE，∴PG＝BE，∴ ，解得r1＝ ，r2＝ (不符合题意，舍去)，∴y＝ ＝ ，
探究1 (已知三个顶点位置)：点D是坐标平面内一点，请找出点D，使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．(1)当以AB为对角线时，AC＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(1)满足条件的点D1的如解图①；
(2)当以BC为对角线时，AB＝________，AC＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(2)满足条件的点D2的如解图；
(3)当以AC为对角线时，AB＝________，AD＝________；在图①中画出所有满足条件的点D的示意图(保留作图痕迹).
(3)满足条件的点D3的如解图；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
【作图依据】_________________________________________
探究2(已知两个顶点位置，其余两点在函数图象上)：点P是抛物线上一点，点Q是抛物线对称轴上一点，请找出点P、Q，使得以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．
(1)当以AC为边时，四边形APQC或四边形AQPC是平行四边形，此时AC＝________，AP＝________．在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
(1)满足条件的点P如解图；
(2)当以AC为对角线时，四边形APCQ是平行四边形，此时AP＝________，AQ＝________；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹).
(2)满足条件的点P如解图.
【方法总结】二次函数中平行四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知线段为_______或______讨论；以探究1为例，已知AB为对角线时，作图方法为：_______________________________，所找点即为__________________的交点；若已知AB为边时，作图方法为：__________________________________________________________________，所找点即为______________________的交点．
分别过点A、C作BC，AC的平行线
分别过点A、C作BC，AB的平行线，或分别过点B、C作AC、AB的平行线
(1)求抛物线的表达式;
【思维教练】点A、B、C为定点，要使以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则需分当AC为边或对角线时进行讨论．
(2)坐标平面内是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(2)存在，点P在坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)；
【解法提示】如解图①，当AC为边时，四边形ABPC为平行四边形，则CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(4，5)；四边形APBC为平行四边形，则AP＝BC，|xP|＝AO ＋OB ＝6，yp＝－yc＝－5，此时点P的坐标为(－6，－5)；当AC为对角线时，四边形ABCP为平行四边形，CP＝AB＝4，此时点P的坐标为(－4，5)．综上可知，点P的坐标为(4，5)或(－6，－5)或(－4，5)．
【思维教练】由GH∥x轴，AB在x轴上．可知AB∥GH，从而只需GH＝AB即可得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形．
(3)设点 G是抛物线上一点，过点 G作 GH∥x轴交对称轴 l于点 H，是否存在点 G，使得以 A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 G的坐标；若不存在，请说明理由；
当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G1(1，12)；当g＝－7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为G2(－7，12)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(1，12)或(－7，12)；
(4)设点 K是抛物线上一点，过 K作 KJ∥y轴，交直线 AC于点 J，是否存在点 K，使得以 M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点 K的坐标；若不存在，请说明理由；
【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K、J坐标，由KJ∥ME，从而只需KJ＝ME即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，求出点K坐标．
(4)存在；如解图③，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)，
∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，易得直线AC的解析式为y＝x＋5，∴设点J的坐标为(e，e＋5)，∵M(－3，－4)，E(－3，2)，∴ME＝6，∵ME∥y轴，KJ∥y轴，∴KJ∥ME，∴要使得以M、E、K、J为顶点的四边形为平行四边形，则KJ＝ME＝6，
①当点K在点J的下方时，KJ＝(e＋5)－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，则－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3(舍去)，则K1(－2，－3)；②当点K在点J的上方时，KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，则e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，则K2(－6，5)，K3(1，12)，综上所述，满足条件的点K的坐标为(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)；
(5)设点 N是抛物线上一点，点Q是x轴上一点，是否存在点N，使得以A、E、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【思维教练】由AE为定边，可分AE为平行四边形一边及AE为平行四边形对角线两种情况分别确定点N.
①如解图④，当AE为平行四边形的一条边时，QN∥AE，且NQ＝AE，则∠NQT＝∠EAD，∵NT⊥x轴，ED⊥x轴，∴∠NTQ＝∠EDA＝90°，∴△QNT≌△AED，又∵AC，DM相交于点E，∴E(－3，2)，∴NT＝ED＝2，
(5)存在；过点N作NT⊥x轴，交x轴于点T，
1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；
(2)∵A(－4，0)，∴OA＝4，∵OA＝OB，∴OB＝4，B(0，4)，
(3)连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，请求出点P的坐标；
(3)过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，过P作PQ⊥x轴于点Q，过点C作CH⊥x轴于点H，分两种情况：
①当S△AOP∶S△COP＝1∶2时，如解图①∵S△AOP∶S△COP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝1∶3，∴PQ∶CH＝1∶3，而C(2，6)，即CH＝6，∴PQ＝2，即yP＝2，在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，∴x＝－2，∴P(－2，2)；
∵S△COP∶S△AOP＝1∶2，∴S△AOP∶S△AOC＝2∶3，∴PQ∶CH＝2∶3，
②当S△COP∶S△AOP＝1∶2时，如解图，过点C作CH⊥x轴于点H.
∵CH＝6，∴PQ＝4，即yP＝4，在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，∴x＝0，∴P(0，4)；综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1∶2的两部分，则点P坐标为(－2，2)或(0，4)；
(4)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解法提示】设N(m，n)，分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，∵A(－4，0)，O(0，0)，C(2，6)，∴AN的中点为( ， )，OC中点为( ， )，∴ 解得∴N(6，6)，
解得∴N(－2，6)，
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得： 解得∴N(－6，－6)，综上所述，存在点H，使得以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
(4)存在；以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为(6，6)或(－2，6)或(－6，－6)．
2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C连接AC.其中OC＝OB，tan∠CAO＝3.(1)求抛物线的解析式；
解：(1)∵抛物线解析式为y＝ax2＋bx＋3，令x＝0得y＝3，∴点C坐标为(0，3)，∵OC＝OB＝3，∴点B坐标为(3，0)，
(2)点P是第一象限内抛物线上的一动点，点Q为线段PB的中点，求△CPQ面积的最大时P点坐标；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移 个单位得新抛物线y′，点M为新抛物线y′的顶点，点D为新抛物线y′上任意一点，点N为x轴上一点．当以M、N、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
∵ ， ,∴xN＝7，或 ，∴xN＝5，∴点N坐标为(7，0)或(5，0)，或 ， ，得yD＝－1，
3. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P点逆时针方向旋转45°后与二次函数图象交于点Q.(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式；
(2)当点P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；
(2)如解图①，过点Q作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x＋1交y轴于点F，
则F(0，1)，且该直线过点A(－1，0)，∵OA＝OF，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，∴PQ∥AF，设直线PQ的解析式为直线y＝x＋c，
(3)求线段PQ的最大值；
(4)二次函数对称轴上是否存在点D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
如解图④，PQ为以P，Q，B，D四点为顶点的四边形的对角线时，DQ∥PB，DQ＝PB.设P(r，0)(－1≤r≤4)，设直线PQ的解析式为y＝x＋d，则r＋d＝0，即d＝－r，∴直线PQ的解析式为y＝x－r，由 ，解得 或 (不符合题意，舍去)，∴Q( )，
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，∴Rt△PDG≌Rt△BQE，∴PG＝BE，∴ ，解得r1＝ ，r2＝ (不符合题意，舍去)，∴y＝ ＝ ，
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