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    海南省2023-2024学年高三学业水平诊断(五)数学试卷(含答案)

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    这是一份海南省2023-2024学年高三学业水平诊断(五)数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题等内容,欢迎下载使用。


    一、选择题
    1.已知向量,,若,则( )
    A.B.0C.1D.2
    二、选择题
    2.已知复数z满足,则z在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    三、选择题
    3.已知等比数列的公比不为1,若,且,,成等差数列,则( )
    A.B.C.D.
    四、选择题
    4.在的展开式中,的系数为( )
    A.30B.20C.10D.
    五、选择题
    5.在中,的平分线与对边AB交于点D,若的面积为的2倍,且,,则( )
    A.3B.4C.6D.8
    六、选择题
    6.在高二选科前,高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计,根据统计数据发现:选物理的同学占全班同学的80%,同时选物理和化学的同学占全班同学的60%,且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学,则该同学既不选物理也不选化学的概率为( )
    B.0.1
    七、选择题
    7.如图,在直三棱柱中,点D,E分别在棱,上,,点F满足,若平面,则的值为( )
    A.B.C.D.
    八、选择题
    8.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线的左,右焦点分别为,,P为右支上的一点,满足,以点O为圆心,b为半径的圆与线段相交于A,B两点,且,则C的离心率为( )
    A.B.C.2D.
    九、多项选择题
    9.若正实数a,b满足,则( )
    A.的最小值为B.的最大值为1
    C.的最小值为D.的取值范围为
    一十、多项选择题
    10.已知抛物线的焦点为F,C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10,且点P位于第一象限,以线段PF为直径的圆记为,则下列说法正确的是( )
    A.
    B.C的准线方程为
    C.圆的标准方程为
    D.若过点,且与直线OP(O为坐标原点)平行的直线l与圆相交于A,B两点,则
    一十一、多项选择题
    11.在四面体ABCD中,,都是边长为6的正三角形,棱AC与平面BCD所成角的余弦值为,球O与该四面体各棱都相切,则( )
    A.四面体ABCD为正四面体
    B.四面体ABCD的外接球的体积为
    C.球O的表面积为
    D.球O被四面体ABCD的表面所截得的各截面圆的周长之和为
    一十二、填空题
    12.若定义在R上的奇函数满足:当时,,则________.
    一十三、填空题
    13.如图是某质点做简谐运动的部分图像,该质点的振幅为2,位移y与时间t满足函数,点,在该函数的图象上,且位置如图所示,则________.
    一十四、填空题
    14.若对任意的,不等式恒成立,则a的最大整数值为________.
    一十五、解答题
    15.已知函数,.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程;
    (2)若函数(为的导函数),讨论的单调性.
    一十六、解答题
    16.某大型公司进行了新员工的招聘,共有来自全国各地的10000人参加应聘.招聘分为初试与复试.初试为笔试,已知应聘者的初试成绩.复试为闯关制:共有三关,前两关中的每一关最多可闯两次,只要有一次通过,就进入下一关,否则闯关失败;第三关必须一次性通过,否则闯关失败.若初试通过后,复试三关也都通过,则应聘成功.
    (1)估计10000名应聘者中初试成绩位于区间内的人数;
    (2)若小王已通过初试,在复试时每次通过第一关,第二关及第三关的概率分别为,,,且每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响,求小王应聘成功的概率P.
    附:若随机变量,则,.
    一十七、解答题
    17.如图,已知线段,,为圆柱的三条母线,AB为底面圆O的一条直径,D是母线的中点,且.
    (1)求证:平面DOC;
    (2)求平面与平面的夹角的余弦值.
    一十八、解答题
    18.已知椭圆的离心率为,斜率为k且在y轴上的截距为1的动直线l与C交于A,B两点,当时,直线l过C的右顶点.
    (1)求C的方程;
    (2)设P为线段AB的中点,过P作直线交x轴于点Q,直线l交x轴于点M,,的面积分别记为,,若,求的取值范围.
    一十九、解答题
    19.已知数列的各项均为正整数,记集合的元素个数为.
    (1)若为1,2,3,6,写出集合M,并求的值;
    (2)若为1,3,a,b,且,求和集合M;
    (3)若是递增数列,且项数为k,证明:“”的充要条件是“为等比数列”.
    参考答案
    1.答案:B
    解析:,,,
    由得:,
    则,所以,
    故选:B.
    2.答案:A
    解析:易知,所以,
    则z在复平面内对应的点为,显然位于第一象限.
    故选:A
    3.答案:C
    解析:设的公比为q,
    则依题意有,
    解方程得或(舍去),所以.
    故选:C
    4.答案:C
    解析:根据题意,二项式的展开式的通项,
    其中项为,,
    其中项为,,
    所以的展开式中项的系数为.
    故选:C.
    5.答案:A
    解析:由,则有,
    即有,
    又,
    则有,
    即,即有,即.
    故选:A.
    6.答案:D
    解析:设事件“选物理”,“选化学”,
    则有,,
    由该班同学选物理和选化学相互独立,
    即,则,
    故,,
    则.
    故选:D.
    7.答案:C
    解析:在上取一点G使得,连接CG,AG,
    AG与BD交于一点F,即为所求(如图所示).
    证明如下:
    根据已知,,
    在直三棱柱中,,且,
    四边形为平行四边形,,
    平面ACG,平面ACG,平面ACG
    即平面ACF.
    又,
    ,即的值为.
    故选:C.
    8.答案:D
    解析:因为,所以,所以是直角三角形,
    过点O作于点C,又,
    在中,由勾股定理得
    易得,,所以OC是的中位线,所以
    由双曲线第一定义可知:,所以,
    在中,由勾股定理得,,即,又因为双曲线中,所以,
    所以.
    故选:D.
    9.答案:BC
    解析:正实数a,b满足,,
    对于A,,当且仅当时取等号,A错误;
    对于B,,当且仅当时取等号,B正确;
    对于C,,当且仅当时取等号,C正确;
    对于D,,D错误.
    故选:BC
    10.答案:ACD
    解析:选项A:因C上一点P到F和到y轴的距离分别为12和10,
    由抛物线定义可知,,故A正确;
    选项B:准线方程为,故B错误;
    选项C:设,,由P到y轴的距离分别为10,所以,
    则,即,又,所以圆心,
    半径,
    所以圆的标准方程为,故C正确;
    选项D:因为直线OP(O为坐标原点)平行的直线l,所以,
    所以直线l的方程为,
    又圆心到直线l的距离为,
    所以,故D正确;
    故选:ACD.
    11.答案:ABD
    解析:对A:取BD中点E,连接AE,CE,由,都是边长为6的正三角形,
    则,,且,
    又AE,平面AEC,,
    则平面AEC,又平面AEC,故,
    故为棱AC与平面BCD所成角,
    则,故四面体ABCD所有棱长相等,
    故四面体ABCD为正四面体,故A正确;
    对B:作于点,由四面体ABCD为正四面体,
    故为底面中心,且四面体ABCD的外接球与球O共球心,
    有,,
    设四面体ABCD的外接球的半径为R,
    则有,即,
    即,则,故B正确;
    对C:作于点G,由正四面体对称性可得OG即为球O半径,
    由,则,又,
    设球O的半径为r,则,
    则,故C错误;
    对D:由正四面体对称性可得,
    球O被四面体ABCD的表面所截得的各截面圆周长相等,
    O到各面距离为,
    又,则球O被四面体ABCD的表面所截得的各截面圆的半径为:
    ,则其周长之和为,故D正确.
    故选:ABD.
    12.答案:
    解析:在R上的奇函数,当时,,
    所以.
    故答案为:
    13.答案:
    解析:由图象可知:,(),所以,
    由,又,所以.
    又,.
    所以.
    故答案为:
    14.答案:2
    解析:原不等式等价于在时恒成立,令,则上式化为,
    构造函数,则,令,
    所以在上单调递增,而在,,故使得,故在上单调递减,在上单调递增,即,
    所以,又,故a的最大整数值为2.
    故答案为:2
    15.答案:(1);
    (2)答案见解析.
    解析:(1)当时,,求导得,
    则,
    所以曲线在点处的切线方程为,即.
    (2)函数,求导得,
    则,其定义域为,求导得,
    ①若,则,函数在上单调递减;
    ②若,则当时,,函数在上单调递增,
    当时,,函数在上单调递减,
    所以当时,在上单调递减;
    当时,在上单调递增,在上单调递减.
    16.答案:(1)1359
    (2)
    解析:(1)因为,,
    所以.
    因为,所以,
    则可估计10000名应聘者中,初试成绩位于内的人数约为.
    (2)设复试时小王通过第一关的概率为,通过第二关的概率为,通过第三关的概率为.
    由题意可得,,,
    因每次闯关是否通过不受前面闯关情况的影响,即复试通过第一关,通过第二关,通过第三关相互独立,
    故小王应聘成功的概率.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)连接.
    因为AB为底面圆O的直径,
    所以O为AB的中点,.
    又因为,所以.
    由圆柱的性质知平面ABC,而平面ABC,
    所以,又,且平面,
    所以平面,
    因为平面,所以.
    因为,D为母线的中点,
    所以,
    ,
    ,
    ,
    所以,则.
    又平面DOC,且,
    所以平面DOC.
    (2)连接,易知平面ABC,,
    以O为坐标原点,OB,OC,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
    则,,,,
    所以,,.
    设平面的法向量为,则,令,得.
    设平面的法向量为,则,令,得.
    设平面与平面的夹角为,则,
    故平面与平面的夹角的余弦值为.
    18.答案:(1)
    (2)
    解析:(1)设C的半焦距为,当时,
    直线l的方程为,令,得,所以.
    又C的离心率为,所以,所以.
    因为,所以,
    故C的方程为.
    (2)如图,
    由题可知直线l的方程为,
    设,,
    联立,消去y并整理,得,
    则,
    ,,
    所以,
    则线段AB的中点P的坐标为.
    对于直线,令,可得,
    所以,
    ,
    所以.
    令,则,,
    而,所以在上单调递增,所以,
    故的取值范围为.
    19.答案:(1),
    (2)为1,3,9,27,
    (3)证明见解析
    解析:(1)因为,,,,,,
    所以集合,;
    (2)因为为1,3,a,b,且,所以,,互不相等,
    所以3,a,b都是集合M中的元素,
    因为,所以,解得,
    所以为,所以;
    (3)充分性:若是递增的等比数列,设的公比为,
    当时,,
    所以,且,故充分性成立;
    必要性:若是递增数列,且,则,
    所以,,,…,,且互不相等,又因为,
    所以,,,…,,,且,,,…,,互不相等,
    所以,,…,,所以,,…,,
    所以,所以为等比数列,故必要性成立,
    综上,“”的充要条件是“为等比数列”.
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