海南省2023-2024学年高三学业水平诊断（四）数学试卷(含答案)

这是一份海南省2023-2024学年高三学业水平诊断（四）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
二、选择题
2．复数的虚部为( )
A.B.C.D.
三、选择题
3．已知函数,则曲线在处的切线方程为( )
A.B.C.D.
四、选择题
4．我们平时登录各类网络平台的密码中的不同符号都各自对应一个字节数,若某个密码使用的符号对应的字节数分别为1,2,4,4,6,7,8,则这组数据的75%分位数为( )
A.4B.5C.6D.7
五、选择题
5．已知为等差数列,,,则( )
A.32B.27C.22D.17
六、选择题
6．将椭圆上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆,设,的离心率分别为,,则下列说法正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
七、选择题
7．已知正四棱台的上底面积为16,下底面积为64,且其各个顶点均在半径的球O的表面上,则该四棱台的高为( )
A.2B.8C.2或12D.4或8
八、选择题
8．已知函数的图象在区间内恰好有5对关于y轴对称的点,则t的值可以是( )
A.4B.5C.6D.7
九、多项选择题
9．设,这两个平面,m,n是两条不同的直线,则下列命题为真命题的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
一十、多项选择题
10．已知实数a,b,c满足,,,则( )
A.B.
C.D.当最小时,
一十一、多项选择题
11．在平面四边形ABCD中,已知,且,,则( )
A.的面积为
B.的面积为2
C.四边形ABCD为等腰梯形
D.在方向上的投影向量为
一十二、填空题
12．近日海南文旅火爆出圈,海南岛优美的海滨景观和深厚的文化底蕴吸引着全国各地游客前往,小明计划假期去海口,三亚,儋州,文昌,琼海五个城市游玩,每个城市都去且只去一次,若儋州和文昌这两个城市不排在最前面和最后面,则不同的游玩顺序有________种.(用数字作答)
一十三、填空题
13．已知函数在内恰有3个零点,则m的取值范围是________.
一十四、填空题
14．已知P为双曲线的右支上一点,点A,B分别在C的两条渐近线上,O为坐标原点,若四边形OAPB为平行四边形,且,则________,
一十五、解答题
15．甲,乙两队进行排球比赛,规则是:每个回合由一方发球,另一方接球,每个回合的胜方得1分,负方不得分,且胜方为下一回合的发球方.无论之前得分情况如何,每个回合中发球方得分的概率均为,接球方得分的概率均为,且第一回合的发球方为甲队.
（1）求第二回合甲队得分的概率;
（2）设前三个回合中,甲队发球的次数为X,求X的分布列及数学期望.
一十六、解答题
16．如图,在三棱锥中,和均为等腰直角三角形,,,M为棱AB的中点,且.
（1）求证:平面平面ABC;
（2）求二面角的正弦值.
一十七、解答题
17．已知为等比数列,其前n项和为,,.
（1）求的通项公式;
（2）记各项均为正数的数列的前n项和为,若,证明:当时,.
一十八、解答题
18．（1）证明:当时,;
（2）若过点且斜率为的直线与曲线交于A,B两点,O为坐标原点,证明:.
一十九、解答题
19．在直角坐标系xOy中,动点P到直线的距离等于点P到点的距离,动点Q在圆上,且的最小值为,设动点P的轨迹为W.
（1）求W的方程;
（2）已知圆O的切线l与曲线W交于A,B两点,求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：由,得到,所以,
又,所以,故,
故选:D.
2．答案：B
解析：因为,
所以复数的虚部为.
故选:B
3．答案：A
解析：函数,求导得,则,而,
所以曲线在处的切线方程为.
故选:A
4．答案：D
解析：由某个密码使用的符号对应的字节数分别为1,2,4,4,6,7,8,
可得,所以这组数据的75%分位数为第6个数字7.
故选:D.
5．答案：C
解析：因为,,得到,
所以,得到,
故选:C.
6．答案：B
解析：由题意知,椭圆,上所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍得到椭圆,
则,
若,则,
则,所以,则.
若,则;
若,则可能出现,即椭圆焦点在y轴上的情况,
此时,,均可能出现.
故选:B.
7．答案：C
解析：
如图,做出截面DBFH,此时圆心O位于截面内部,
取DB中点E,HF中点,连接DO,和OH,
易得点O在上,由题意得,,,
因为,,
所以,
当O不在截面内,
同第一种情况理可得,,
所以,综上所述:该四棱台的高为2或12.
故选:C.
8．答案：C
解析：令,,
因为与的图象关于y轴对称,
因为函数的图象在区间内恰好有5对关于y轴对称的点,
所以问题转化为与的图象在内有5个不同的交点,
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示:
因为,当时,,
结合图象及选项可得t的值可以是6,其他值均不符合要求,
故选:C
9．答案：BD
解析：对于选项A,因为,,则,所以选项A错误,
对于选项B,因为,,由线面垂直的性质知,,所以选项B正确,
对于选项C,因为,,则m与n可能是异面直线,也可能是相交直线,所以选项C错误,
对于选项D,因为,,垂直同一直线的两个平面互相平行,所以选项D正确,
故选:BD.
10．答案：BCD
解析：对于A中,当,时,,所以A错误;
对于B中,由,可得,所以B正确;
对于C中,因为,所以,
又因为,所以等号不成立,,所以C正确;
对于D中,由的最小值,即为数轴c到a和b的距离之和最小,
当且仅当时最小,此时,所以D正确.
故选:BCD.
11．答案：ABD
解析：对于A中,由,可得,
所以,即,
因为,所以,
又因为,所以,所以为等边三角形,
所以,所以A正确;
对于B中,设,由余弦定理的,
由,
可得,解得,
所以,所以,所以,所以B正确;
对于C中,因为,,,
所以AD与BC不平行,AB与DC也不平行,所以C错误;
对于D中,因为,,所以,
又因为,所以,
由余弦定理得
,所以,
所以向量在方向上的投影向量为
,所以D正确.
故选:ABD.
12．答案：36
解析：依题意,相当于将五个城市进行放到五个排成一排的空位中,
先排儋州和文昌,在中间三个空位选两个进行排序,有种排法,
再将其他3个城市放到剩下的三个空位进行排序,有种排法,
所以共有种排法.
故答案为:36.
13．答案：
解析：由时,所以,
当时,令,解得,
又因为在上仅有三个零点,
因此,解得.
故答案为:.
14．答案：/1.25
解析：双曲线,则渐近线方程为:,,
设,由,
可得,解得,所以,
设,点代入求得:.
所以,与双曲线方程联立可得
,解得:,即,
故.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）甲第一回合得分且第二回合得分的概率为,
甲第一回合不得分且第二回合得分的概率为,
所以第二回合甲队得分的概率为;
（2）由题意X可取1,2,3,
则,
,
,
所以X的分布列为:
所以.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:设,因为和均为等腰直角三角形,且,,
可得,,
如图所示,取AC的中点D,连接MD,PD,
因为M为AB的中点,所以,且,
又因为,所以,
因为为等腰直角三角形,,所以且,
所以是二面角的平面角,
又由,所以,所以,
所以平面平面ABC.
（2）由（1）知PD,AC,DM两两垂直,故以D为原点,以DA,DM,DP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则,,,所以,,
设平面PCM的法向量为,则,
取,可得,,所以,
又由平面PAC的一个法向量为,可得,
设二面角的平面角的大小为,即,
所以,即二面角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设等比数列的公比为q,
因为,,可得,所以,
又由,所以,
所以数列的通项公式为.
（2）因为,所以,,…,,
将上面各式相乘,可得,
所以,当时,.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析
解析：证明:设,
则,
因为,所以恒成立,所以在上单调递增,
所以,
所以,
设,
则,
所以恒成立,所以在单调递减,
所以,
所以,
综上,当时,.
（2）证明:由题意可知直线的方程为,设,,
同时设,则,
由（1）知当时,,
所以,
因为直线l的斜率,所以,即,
又中,用代替x可得,
即,
所以,变形为,
即,即,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,依题意,
两边平方可得,整理得,
即W的方程为,
圆的圆心为,半径,
又由题意可知动点P总在圆O外,所以,所以,
又,当且仅当时取等号,
所以,解得,
所以W的方程为.
（2）因为切线l与曲线W有两个交点,
所以切线l不与x平行,设为,因为l与圆O相切,所以,所以,
由,得,又,
则,
设,,则,,
所以,
所以,
因为,所以,所以或,
设,(或),
则,
所以当时,在上单调递增,则;
当时,在上单调递减,则;
所以的最小值为,当且仅当,时取得,
所以的最小值为.
X
1
2
3
P