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江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期4月期中数学试题
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这是一份江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期4月期中数学试题，共6页。试卷主要包含了 等内容，欢迎下载使用。
本试卷总分值为120分 考试时间为120分钟
一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在直角坐标系中，将抛物线先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．在直角坐标系中，点的坐标为，那么点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024B．C．－2024D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知实数m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点处，则点的坐标为 ．
9．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 ．
10．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
11．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则的长为 ．
12．对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有
三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程．
(1)． (2)．
14．关于x的方程为一元二次方程．
(1)求m的值．
(2)求该一元二次方程的根．
15．如图，在等边中，，点D是线段上的一点，，将绕点A旋转后得到，连接．求的长．
16．如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
17．分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，在的方格纸中，点都在格点上，在图①中找一个格点，使以点为顶点的四边形是平行四边形；
(2)如图②，已知四边形是平行四边形，为对角线，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点，使．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
(1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．
(2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
19．已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度．
(1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
(2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由
20．如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，则四边形的面积为
(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
22．在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：.
六、解答题（本小题12分）
23．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，．
例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请直接写出△POD的面积．
本试卷总分值为120分 考试时间为120分钟
一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．在直角坐标系中，将抛物线先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数的图象在轴的下方，则，，满足的条件是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．在直角坐标系中，点的坐标为，那么点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024B．C．－2024D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．已知实数m，n分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ．该试卷源自 每日更新，享更低价下载。8．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，分别在x轴和y轴上，并且，，若把矩形绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在边上的点处，则点的坐标为 ．
9．已知点，都在函数的图象上，则与大小关系是 ．
10．如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
11．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，则的长为 ．
12．对于一元二次方程，下列说法：
若方程有一根，则；若，则；若方程的两个根是，，那么方程的两个根为，；若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有
三．（本大题5小题，每小题6分，共30分）
13．用适当的方法解下列方程．
(1)． (2)．
14．关于x的方程为一元二次方程．
(1)求m的值．
(2)求该一元二次方程的根．
15．如图，在等边中，，点D是线段上的一点，，将绕点A旋转后得到，连接．求的长．
16．如图，一个四周宽相等的长方形镜框，外框长为，宽为，且镜框的面积（不包括阴影部分）为整个大长方形面积的，求这个长方形镜框的框边宽是多少厘米？
17．分别在图①、图②中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，在的方格纸中，点都在格点上，在图①中找一个格点，使以点为顶点的四边形是平行四边形；
(2)如图②，已知四边形是平行四边形，为对角线，点为上任意一点，请仅用无刻度的直尺在上找出另一点，使．
四.（本大题3小题，每小题8分，共24分）
18．在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕，当每个小蛋糕的售价定为6元时，平均每小时的销售数量为30．细心的小亮发现，售价每提高1元，平均每小时的销售数量就会减少2，但售价不能超过10元．
(1)若小蛋糕的售价在6元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少．
(2)若平均每小时的销售总额为216元，求此时小蛋糕的售价为多少元．
19．已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度．
(1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根；
(2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由
20．如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的表达式；
(2)暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围．
五.（本大题2小题，每小题9分，共18分）
21．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，则四边形的面积为
(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
22．在中，是边上一点，将绕着点逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，连接，当时，，若，，，求线段的长．
（2）如图2，连接交于点，若，点为中点，求证：.
六、解答题（本小题12分）
23．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，．
例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
【拓展延伸】
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请直接写出△POD的面积．
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