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人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题05勾股定理的应用(含折叠、动点)重难点题型专训(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册重难点专题提升精讲精练专题05勾股定理的应用(含折叠、动点)重难点题型专训(原卷版+解析)，共73页。
题型一 勾股定理应用之航海问题
题型二 勾股定理应用之梯子滑落高度问题
题型三 勾股定理应用之蚂蚁行程问题
题型四 勾股定理之旗杆高度问题
题型五 勾股定理之台阶上地毯长度问题
题型六 勾股定理之是否受台风影响问题
题型七 勾股定理之折叠问题
题型八 勾股定理之动点问题
【经典例题一 勾股定理之航海问题】
【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2B．：1C．：2D．：1
【变式2】（2022春·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里．
【变式3】（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【经典例题二 勾股定理之梯子滑落高度问题】
【例2】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9mB．1.5mC．0.5mD．0.8m
【变式2】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移______米．
【变式3】（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？
同学甲：本题可以这样来做
解：在中，，，根据勾股定理得：
，则________，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．
同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小．
同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时，
在中，，，根据勾股定理得：________，则
，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．即：，
老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？
同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由．
【经典例题三 勾股定理之蚂蚁行程问题】
【例3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·山西太原·八年级校联考阶段练习）如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【变式2】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
【变式3】（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【经典例题四 勾股定理之旗杆高度问题】
【例4】（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【变式2】（2020秋·八年级单元测试）如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【经典例题五 勾股定理之台阶上地毯长度问题】
【例5】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（ ）
A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【变式2】（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．
【变式3】（2021春·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
【经典例题六 勾股定理之是否受台风影响问题】
【例6】（2022秋·八年级课时练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
【变式2】（2021秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
【变式3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，，是两条公路相交成，沿公路方向离点米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中锐角所对的直角边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【经典例题七 勾股定理之折叠问题】
【例7】（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片中，，把纸片沿对折后，点A恰好落在上的点D处，点，，则下列结论：；；与的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上的一个动点，将三角形纸片ABC沿DE折叠，连接AC′.当△AEC′是直角三角形时，CE的长为____________．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）操作与实践：已知长方形纸片中，，．
操作一：如图①，任意画一条线段，将纸片沿折叠，使点B落到点的位置，与交于点G．试说明重叠部分为等腰三角形；
操作二：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点H．求的面积．
【经典例题八 勾股定理之动点问题】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5B．3C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连接，作与关于对称 (点与点对应)，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
【变式3】（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，若连接，沿翻折，则点A落在点M上．动点P从点C出发沿的路线运动，运动到点B停止．
(1)求的长度；
(2)当线段的中垂线经过点D时，求点P运动路线的长度；
(3)在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，点P运动路线的长度为___________（直接写出答案）
【培优检测】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
2．（2023春·八年级单元测试）1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
4．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
5．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺B．49.5尺C．50尺D．50.5尺
6．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．
7．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12B．10C．17D．25
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2B．C．6D．8
9．（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_________米．
10．（2020秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
11．（2022秋·山东济南·八年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
12．（2022秋·八年级课时练习）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________．
15．（2021秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？
16．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．
(1)求线段的长；
(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；
(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；
(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．
18．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．
(1)______；当点恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等腰直角的直角边上的一点，AE的中垂线分别交，，于点，，，且．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（3）若平分，则：
①判断线段与的位置关系并证明．
②求出的长．
20．（2021秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
专题05 勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训
【题型目录】
题型一 勾股定理应用之航海问题
题型二 勾股定理应用之梯子滑落高度问题
题型三 勾股定理应用之蚂蚁行程问题
题型四 勾股定理之旗杆高度问题
题型五 勾股定理之台阶上地毯长度问题
题型六 勾股定理之是否受台风影响问题
题型七 勾股定理之折叠问题
题型八 勾股定理之动点问题
【经典例题一 勾股定理之航海问题】
【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
【答案】B
【分析】过点P作PC⊥AB，则在中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．
【详解】解：作PC⊥AB于C点，
∵A在P的北偏东30°方向，
∴，
∴，
又∵B在P的南偏东45°方向上，
∴，
∴，
∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）
∴在中，，
∴（海里）
∵在中，∠BPC＝45°，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴，
∴（海里）．
故选：B．
【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2B．：1C．：2D．：1
【答案】A
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，
由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
【变式2】（2022春·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里．
【答案】
【分析】如图，和有公共边，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用表示出与，根据即可列方程，从而求得的长．
【详解】如图所示：
则，
∴，
∴海里．
在中，设海里，则海里，
，
在中， ， ，
又∵,
∴，
解得：，
∴海里
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
【变式3】（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【经典例题二 勾股定理之梯子滑落高度问题】
【例2】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC===2米．
∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC===1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9mB．1.5mC．0.5mD．0.8m
【答案】D
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4m求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【详解】∵在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC＝＝＝2.4m，
∵梯子的顶端下滑了0.4m，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝＝＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【变式2】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移______米．
【答案】
【分析】在直角三角形中，已知,根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解；在直角中，已知, ,
则,
,
在直角中，，且为斜边，
,
梯足向外移动了．
故填．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
【变式3】（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？
同学甲：本题可以这样来做
解：在中，，，根据勾股定理得：
，则________，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．
同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小．
同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时，
在中，，，根据勾股定理得：________，则
，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．即：，
老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？
同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由．
【答案】，，；，，；丁的说法正确，理由见解析
【分析】在中，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可得出的值；再根据同学甲、乙、丁的情况给出的数值分别代入求解即可.
【详解】解：同学甲：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，则．
故答案为：；；.
同学丙：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则．即.
故答案为：；；.
同学丁：说法正确，理由如下：
在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则，即.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【经典例题三 勾股定理之蚂蚁行程问题】
【例3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·山西太原·八年级校联考阶段练习）如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【答案】B
【分析】先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
【变式2】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
【答案】
【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：由题意，
如图所示，
得；
如图所示，
得，
如图3所示，
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10．
故答案为：10.
【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键．
【变式3】（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【经典例题四 勾股定理之旗杆高度问题】
【例4】（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中
（米）
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
【变式2】（2020秋·八年级单元测试）如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
【答案】12
【分析】阅读题目信息可得两只猴子所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC=24，设BD=x，根据勾股定理列方程求解.
【详解】设BD=x米，根据题意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，
∴AD=24-x，
在RtΔACD中，由勾股定理得，，
∴
解得，x=4
∴DC=x+8=4+8=12米，
即这根木杆高12米.
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，通过图形找到等量关系列方程是解答此题的关键.
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【答案】(1)风筝的高度为21.7米
(2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：
（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
（2）由等积法知：，
解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
【经典例题五 勾股定理之台阶上地毯长度问题】
【例5】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（ ）
A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】
利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米、5米，
∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，
∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【答案】C
【详解】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．
由于，
所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．
故选C
【变式2】（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．
【答案】612
【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案．
【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m，
∴BC==12m，
∴（元）．
故填：612.
【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积．
【变式3】（2021春·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
【答案】612元.
【详解】本题考查的是勾股定理的应用
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．
如图，
由题意得，，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
所以铺完这个楼道至少需要元．
【经典例题六 勾股定理之是否受台风影响问题】
【例6】（2022秋·八年级课时练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
【变式2】（2021秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
【答案】32
【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．
【详解】解：如图，过点作，
米，
米米，
在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响，
米，
由勾股定理得米，米，
即米，
36千米/时10米/秒，
处受噪音影响的时间为：秒，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
【变式3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，，是两条公路相交成，沿公路方向离点米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中锐角所对的直角边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】(1)40米
(2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒
【分析】（1）过点A作于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当米时，则卡车在段对学校A有影响，利用勾股定理求出的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，从而求出时间．
【详解】（1）解：过点A作于H，
∵，米，
∴米，
∴对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离为40米；
（2）解：如图，当米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知米，
∴（米），
∵，
∴（米），
∵重型运输卡车行驶的速度为18千米/小时，即米/秒，
∴（秒），
∴卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
【经典例题七 勾股定理之折叠问题】
【例7】（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片中，，把纸片沿对折后，点A恰好落在上的点D处，点，，则下列结论：；；与的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】在等腰中，可得，即，由折叠可得，，即，则有，可判断正确；根据，，可得，，即正确；根据的周长为：，由折叠可得，，则有的周长为：，可得正确，即问题得解．
【详解】在等腰中，∠C=90°，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∵的周长为：，
由折叠可得，，
∴的周长为：，
∴与的周长相等，故正确；
即正确的有三个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用折叠和中线的性质，得到的面积，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式求出，进而求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵
∴为的中线，
∴，
∵翻折，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2021秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上的一个动点，将三角形纸片ABC沿DE折叠，连接AC′.当△AEC′是直角三角形时，CE的长为____________．
【答案】或5
【分析】分两种情形，当∠AC'E=90°或∠AEC'=90°时，分别画出图形来解答．
【详解】解：当∠AC'E=90°时，
∵将△CDE沿DE折叠到△C′DE，
∴∠EC'D=∠C=90°，
∴∠AC'E+∠EC'D=180°，
∴点A、C'、D三点共线，
∵AC=12，BC=10，CD=BC=5
由勾股定理得AD= ，
设CE=C'E=x，则AE=12-x，AC'=13-5=8，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得：
（12-x）2=82+x2，
解得x=，
∴CE=，
当∠AEC'=90°时，
∴∠CEC'=90°，
∴∠CED=45°，
∴CE=CD=5，
∠EAC'不可能为90°，
综上，CE=5或．
故答案为：5或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）操作与实践：已知长方形纸片中，，．
操作一：如图①，任意画一条线段，将纸片沿折叠，使点B落到点的位置，与交于点G．试说明重叠部分为等腰三角形；
操作二：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点H．求的面积．
【答案】操作一：见解析；操作二：
【分析】操作一：由翻折的性质可知，由长方形的性质和平行线的性质可知，从而得到，由等角对等边可得；
操作二：首先表示出，然后在中利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】操作一：由折叠的性质可知，
∵在长方形中，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
操作二：在长方形中，，
同操作一可得，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用等知识，利用勾股定理构建出方程是解题的关键．
【经典例题八 勾股定理之动点问题】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5B．3C．D．
【答案】C
【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵是直角
∴
由题意知，，
∴
∴三点共线
∴与重合
在中，由勾股定理得
设，
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连接，作与关于对称 (点与点对应)，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据勾股定理依次求出AE，CE，AM，DM的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，连接MA，
∵AD≥MD-AM
当点A在DM上时AD的值最小，如图，
∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠，
又∵，
∴，
在中中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴最小=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系．
【变式2】（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
【答案】4
【分析】由点P从点A向点B运动可知，画出P点在A点时D点的位置，在B点时D的位置，发现D点的经过的路径长即是D1D2的长；
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=2×2=4，
∠BAC=90°-30°=60°，
故当点P位于A点时，点D位于点D1，
∴△CAD1为等边三角形，
∴AD1=AC=2，
∴BD1=AB-AD1=4-2=2，
当点P位于点B时，点D位于点D2，
∴△CBD2是等边三角形，
∴BD2=CB，∠CBD2=60°，
∴∠ABD2=∠ABC+∠CBD2=90°，
∴△D1D2B是直角三角形，
在Rt△ABC中，BC==2，
∴BD2=2，
∴D1D2==4．
【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质和勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键．
【变式3】（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，若连接，沿翻折，则点A落在点M上．动点P从点C出发沿的路线运动，运动到点B停止．
(1)求的长度；
(2)当线段的中垂线经过点D时，求点P运动路线的长度；
(3)在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，点P运动路线的长度为___________（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D；
(3)5或8或或
【分析】（1）证明出四边形为正方形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质来判断，需要分两种情况讨论，当时，即，为等腰三角形，当点与点重合时，，为等腰三角形，根据三线合一知的中垂线，过点D；
（3）连接，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：或，然后根据勾股定理进行分析计算．
【详解】（1）解：沿翻折，则点A落在点M上，
，
，，
四边形为正方形，
，
；
（2）解：需要分两种情况讨论，
当时，即，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
当点与点重合时，，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
综上所述：点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D；
（3）解：根据已知得，，则四边形是平行四边形．
又，根据勾股定理，得．
①作的中垂线交于，则是等腰三角形，此时，，即点P运动路线的长度5；
②当时，是等腰三角形，即点P运动路线的长度8；
③当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
④当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
故答案为：5或8或或.
【点睛】此题主要考查梯形的性质及等腰梯形的判定的理解及应用、勾股定理，解题的关键是注意分类讨论数学方法的运用．
【培优检测】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】B
【分析】作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，根据对称性可知， ，，从而的周长，根据两点之间线段最短，得到周长的最小值为， 在中，根据勾股定理求，从而确定答案．
【详解】解：作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，如图所示：
根据对称性可知， ，，
的周长，
根据两点之间线段最短，周长的最小值为，
在中，，，根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称-最短周长问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握利用对称性解决最短周长问题是解决问题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点D作，先由等腰直角三角形性质求出，再证明，设，则，所以，解得： ，即，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作，
∵在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∴，解得： ，
∴的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
【答案】B
【分析】根据方位角可知两船所走的方向夹角，再根据路程速度时间，得到，，最后利用勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，熟练运用勾股定理进行计算是解题关键，基础知识，比较简单．
4．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
5．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺B．49.5尺C．50尺D．50.5尺
【答案】D
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可
【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
∵，
∴，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】设，根据平行线性质和轴对称性质得到，再根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：设，则，
∵，
∴；
∵与关于直线轴对称，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，根据勾股定理列出方程是解题的关键是．
7．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12B．10C．17D．25
【答案】C
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了平面展开最短路径问题，掌握两点间线段最短是解答本题的关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2B．C．6D．8
【答案】D
【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解．
【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵，
∴（a+c）（c﹣a）＝16，
∴c2﹣a2＝32，
∴b2＝32，
∴b＝4，
∴ACb＝8，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
9．（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_________米．
【答案】0.4
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=2米，进而得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=0.7米，
故AC=（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=0.8+0.7=1.5（米），
故EC=（米），
故AE=ACCE=2.42=0.4（米）．
答：梯子下滑了0.4米．
故答案为：0.4；
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
10．（2020秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
【答案】15米
【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
【详解】设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米，
∵，
∴，
解得．
即树的高度是10+5=15米．
故答案为：15米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
11．（2022秋·山东济南·八年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
【答案】6或7或12或14
【分析】当OP=OD时，可得P1点；当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，再运用勾股定理可分别求解.
【详解】解：当OP=OD时，可得P1点，此时由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，则t=秒；
当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，当P点运动到P2位置时，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+ DM22=DP22，即42+ DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3，
故，当P点运动到P2位置时，t=秒；当P点运动到P3位置时，t=秒；当P点运动到P4位置时，t=秒；
故答案为6或7或12或14.
【点睛】本题有些难度，难点在于一共有4种情况，也可采取画圆法确定P点可能的位置，即以O点为圆心、5为半径画圆，或者以D点为圆心、5为半径画圆，从而确定P点可能位置.
12．（2022秋·八年级课时练习）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
【答案】 11cm 12cm
【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________．
【答案】##
【分析】过F点作于M点，易得，根据折叠的性质有：，，，即有，，再证明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，问题随之得解．
【详解】过F点作于M点，如图，
∵在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，
∴，
根据折叠的性质有：，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质，并求出，是解答本题的关键．
15．（2021秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？
【答案】7米
【分析】设BC=xm，则CD=（x+8）m，利用勾股定理分别表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成.
【详解】解：根据题意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，则EC=20m
设BC=xm，则CD=（x+8）m
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵AB=ED
∴
解得：
滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米.
【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度较低，灵活运用勾股定理是解题关键.
16．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.
【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠CAB=45°，
∵，
在△ACD中，有
，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：
由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，
由（1）知，∠BAD=135°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，
在Rt△ADE中，有，
解得：，
∴；
∴被监控到的道路长度为米.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．
(1)求线段的长；
(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；
(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；
(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．
【答案】(1)
(2)点O到点C的距离的最小值为
(3)
(4)8
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）过点O作于点C，此时最小，根据等积法求出即可；
（3）连接，交于点C，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到x的值，最后根据勾股定理求出结果即可；
（4）分类进行讨论得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：过点O作于点C，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
即点O到点C的距离的最小值为．
（3）解：连接，交于点C，如图所示：
∵点O与点D关于对称，
∴垂直平分，
即，，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
设，则，
在中，，
在中，
∴，
解得：，
∴．
（4）解：当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
综上分析可知，满足条件的所有点F的个数为8个．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，解题的关键是注意进行分类讨论．
18．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．
(1)______；当点恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）
【答案】(1)，
(2)图见解析，到直线的距离为
(3)或或
【分析】（1）直接根据勾股定理可得的长度，画出点恰好落在斜边上时的图形，然后根据三角形面积的不同表达方式可得的长，则结果可得；
（2）当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，过点作于点，设与交于点，然后根据三角形的面积，折叠的性质以及勾股定理进行解答即可；
（3）分三种情况：当；当；当；画出相应图形分别进行求解即可．
（1）
解：根据勾股定理得：，
当点恰好落在斜边上时，如图：
根据折叠的性质可知，
则，
解得：，
故答案为：，；
（2）
如图，当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，
过点作于点，设与交于点，
将沿直线折叠，得到，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）
当时，如图：
，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图：
，，
在中，，
，
，
解得：；
当时，如图：
过点作于点，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识点，能够根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等腰直角的直角边上的一点，AE的中垂线分别交，，于点，，，且．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（3）若平分，则：
①判断线段与的位置关系并证明．
②求出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）①，证明见解析；②
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得到AD=DE，AF=EF，继而得到∠DAE=∠DEA，∠FAE=∠FEA，再根据即可得到；
（2）在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BD2+BE2=DE2，继而根据AD+BD=AB=2，AD=DE，继而得到关于AD的方程，解方程即可得；
（3）①利用平分，得到，根据为等腰三角形得到，求出，，由推出，得到结论；
②在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2+BE2=DE2，再根据BD=BE，AD=DE即可得出关于BE的方程，求解即可．
【详解】（1）∵为的中垂线，
∴AD=DE，AF=EF，
∴∠DAE=∠DEA，∠FAE=∠FEA，
∴∠DEF=∠DEA+∠FEA=∠DAE+∠FAE=∠BAC，
∴和为等腰三角形．
又∵为等腰直角三角形，∠B=90°，
∴，
∴；
（2）∵在Rt△BDE中，∠B=90°，
∴BD2+BE2=DE2，
∵AD+BD=AB=2，，AD=DE，
∴（2-AD）2+=AD2，
∴；
（3）①∵平分，∠BAC=45°，
∴，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠DAE=22.5°，
∴∠BDE=∠DAE+∠DEA=45°，
∵∠B=90°，
∴∠BED=90°-45°=45°，
又，
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=90°，
∴．
②∵在Rt△BDE中，∠B=90°，∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，BD2+BE2=DE2，
∴DE=，
∵AD=DE，AD+BD=AB=2，
∴，
∴．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，折叠的性质，勾股定理等，综合了三角形的多处知识点，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20．（2021秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
【答案】（1）AB的长为3；（2）①；②t的值为或或4.
【分析】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，用角角边证明，可推出AB=BC=3.
（2）①在Rt△中，找出边长利用勾股定理建立方程求解；
②分三种情况讨论：，，，分别作出相应的图形，在中，分别找出边长，利用勾股定理建立方程求解.
【详解】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，
由折叠的性质可知，，
∵，，
∴
在和中，
∴≌（AAS）
∴
又∵ABCD为矩形，∴AD=BC=3，
∴AB=3
（2）①在Rt△ABC中，
∵点P点的运动时间为t，速度为1，∴BP=t，
，，,
在Rt△中，由勾股定理有，即，解得.
②当，如下图所示，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4，
有折叠性质有，在Rt△中，
，
∴
在Rt△中，，
，即，解得
当∠=90°时，如下图所示，
由折叠可得，
在Rt△中，
在Rt△中，，，
，即，解得
当=90°时，如下图所示，根据折叠易得四边形为正方形，∴PB=AB=4
综上，满足题意的t的值为或或4.
【点睛】本题考查折叠问题里勾股定理的应用，关键是根据折叠的性质找出边长，利用勾股定理建立方程.
题型一 勾股定理应用之航海问题
题型二 勾股定理应用之梯子滑落高度问题
题型三 勾股定理应用之蚂蚁行程问题
题型四 勾股定理之旗杆高度问题
题型五 勾股定理之台阶上地毯长度问题
题型六 勾股定理之是否受台风影响问题
题型七 勾股定理之折叠问题
题型八 勾股定理之动点问题
【经典例题一 勾股定理之航海问题】
【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2B．：1C．：2D．：1
【变式2】（2022春·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里．
【变式3】（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【经典例题二 勾股定理之梯子滑落高度问题】
【例2】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9mB．1.5mC．0.5mD．0.8m
【变式2】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移______米．
【变式3】（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？
同学甲：本题可以这样来做
解：在中，，，根据勾股定理得：
，则________，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．
同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小．
同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时，
在中，，，根据勾股定理得：________，则
，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．即：，
老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？
同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由．
【经典例题三 勾股定理之蚂蚁行程问题】
【例3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·山西太原·八年级校联考阶段练习）如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【变式2】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
【变式3】（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【经典例题四 勾股定理之旗杆高度问题】
【例4】（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【变式2】（2020秋·八年级单元测试）如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【经典例题五 勾股定理之台阶上地毯长度问题】
【例5】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（ ）
A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【变式2】（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．
【变式3】（2021春·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
【经典例题六 勾股定理之是否受台风影响问题】
【例6】（2022秋·八年级课时练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
【变式2】（2021秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
【变式3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，，是两条公路相交成，沿公路方向离点米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中锐角所对的直角边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【经典例题七 勾股定理之折叠问题】
【例7】（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片中，，把纸片沿对折后，点A恰好落在上的点D处，点，，则下列结论：；；与的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2021秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上的一个动点，将三角形纸片ABC沿DE折叠，连接AC′.当△AEC′是直角三角形时，CE的长为____________．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）操作与实践：已知长方形纸片中，，．
操作一：如图①，任意画一条线段，将纸片沿折叠，使点B落到点的位置，与交于点G．试说明重叠部分为等腰三角形；
操作二：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点H．求的面积．
【经典例题八 勾股定理之动点问题】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5B．3C．D．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连接，作与关于对称 (点与点对应)，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
【变式3】（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，若连接，沿翻折，则点A落在点M上．动点P从点C出发沿的路线运动，运动到点B停止．
(1)求的长度；
(2)当线段的中垂线经过点D时，求点P运动路线的长度；
(3)在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，点P运动路线的长度为___________（直接写出答案）
【培优检测】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
2．（2023春·八年级单元测试）1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
4．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
5．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺B．49.5尺C．50尺D．50.5尺
6．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．
7．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12B．10C．17D．25
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2B．C．6D．8
9．（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_________米．
10．（2020秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
11．（2022秋·山东济南·八年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
12．（2022秋·八年级课时练习）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________．
15．（2021秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？
16．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．
(1)求线段的长；
(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；
(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；
(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．
18．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．
(1)______；当点恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等腰直角的直角边上的一点，AE的中垂线分别交，，于点，，，且．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（3）若平分，则：
①判断线段与的位置关系并证明．
②求出的长．
20．（2021秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
专题05 勾股定理的应用（含折叠、动点）重难点题型专训
【题型目录】
题型一 勾股定理应用之航海问题
题型二 勾股定理应用之梯子滑落高度问题
题型三 勾股定理应用之蚂蚁行程问题
题型四 勾股定理之旗杆高度问题
题型五 勾股定理之台阶上地毯长度问题
题型六 勾股定理之是否受台风影响问题
题型七 勾股定理之折叠问题
题型八 勾股定理之动点问题
【经典例题一 勾股定理之航海问题】
【例1】（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为（ ）
A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里
【答案】B
【分析】过点P作PC⊥AB，则在中，通过30°的直角三角形，计算出PC的长，再根据等腰直角三角形，通过勾股定理即可求出PB．
【详解】解：作PC⊥AB于C点，
∵A在P的北偏东30°方向，
∴，
∴，
又∵B在P的南偏东45°方向上，
∴，
∴，
∴∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝80（海里）
∴在中，，
∴（海里）
∵在中，∠BPC＝45°，
∴三角形为等腰直角三角形，
∴，
∴（海里）．
故选：B．
【点睛】本题考查方位角有关的计算以及用勾股定理求航海问题，解决本题的关键是构建直角三角形进行计算．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·八年级课时练习）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）
A．：2B．：1C．：2D．：1
【答案】A
【分析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D，
设AD=x，
由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，
∴∠ACD=∠CAD，
∴CD=AD=x，
∴ ，
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，
∴BC=2CD=2x，
∴ ，
∵AB=100+100 ，
∴AD+BD=x+x=100+100，
∴（1+）x=100（1+），
∴x=100，
即AD=100海里，
∴AC=100海里，BC=200海里，
∵时间一定时速度与路程成正比，
∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
【变式2】（2022春·四川南充·八年级四川省南充市第九中学校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，于点D，则AD的长为______海里．
【答案】
【分析】如图，和有公共边，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用表示出与，根据即可列方程，从而求得的长．
【详解】如图所示：
则，
∴，
∴海里．
在中，设海里，则海里，
，
在中， ， ，
又∵,
∴，
解得：，
∴海里
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、直角三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路．
【变式3】（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船、同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距60海里．
(1)求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船、分别以20海里/小时，15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1)海里
(2)救助船先到达，计算过程见解析
【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作于，
∴，
由题意得：海里，，，
∴海里，是等腰直角三角形，
∴海里，海里，
答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；
（2）解：∵海里，海里，救助船分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，
∴救助船所用的时间为(小时)，
救助船所用的时间为(小时)，
∵，
∴救助船先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【经典例题二 勾股定理之梯子滑落高度问题】
【例2】（2022春·四川凉山·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（ ）米．
A．0.5B．0.4C．0.6D．1
【答案】A
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得：AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC⊥BC，
∴，
∵AB=2.5米，BC=1.5米，
∴AC===2米．
∵Rt△ECD中，CE⊥CD，
∴，
∵AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，
∴EC===1.5米，
∴AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题时注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·全国·八年级期中）如图，一架2.5m长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子的底部将平滑（ ）
A．0.9mB．1.5mC．0.5mD．0.8m
【答案】D
【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4m求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C的长，进而可得出结论．
【详解】∵在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝0.7m，
∴AC＝＝＝2.4m，
∵梯子的顶端下滑了0.4m，
∴A′C＝2m，
∵在Rt△A′B′C中，A′B′＝2.5m，A′C＝2m，
∴B′C＝＝＝1.5m，
∴BB′＝B′C﹣BC＝1.5﹣0.7＝0.8m．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
【变式2】（2022秋·山东枣庄·八年级校考期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移______米．
【答案】
【分析】在直角三角形中，已知,根据勾股定理即可求的长度，根据即可求得的长度，在直角三角形中，已知，即可求得的长度，根据即可求得的长度．
【详解】解；在直角中，已知, ,
则,
,
在直角中，，且为斜边，
,
梯足向外移动了．
故填．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求的长度是解题的关键．
【变式3】（2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习）课堂上同学们正在讨论课本例题：如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，的距离为，若梯子顶端下滑的距离为，则点向外移动的距离为多少？
同学甲：本题可以这样来做
解：在中，，，根据勾股定理得：
，则________，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．
同学乙．我发现在本题答案中，梯子顶端下滑的距离比末端向外移动的距离小，说明在梯子下滑时，梯子顶端下滑的距离一定比末端向外移动的距离小．
同学丙：不一定，我能举个反例，比如，当梯子顶端下滑的距离为时，
在中，，，根据勾股定理得：________，则
，
又在中，，根据勾股定理得：
________，则________．即：，
老师．通过上面的讨论，同学们发现有时大，有时大，那么有没有可能正好的情况存在呢？
同学丁：有．当梯子顶端从处下滑时，末端向外也移动．你认为他的说法正确吗？说明理由．
【答案】，，；，，；丁的说法正确，理由见解析
【分析】在中，根据勾股定理求出的值，从而得到的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可得出的值；再根据同学甲、乙、丁的情况给出的数值分别代入求解即可.
【详解】解：同学甲：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，则．
故答案为：；；.
同学丙：在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则．即.
故答案为：；；.
同学丁：说法正确，理由如下：
在中，，，
根据勾股定理，得，
则，
又在中，，
根据勾股定理，得，
则，即.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.
【经典例题三 勾股定理之蚂蚁行程问题】
【例3】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．
【详解】解：将台阶展开，如图，
因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2，
所以AC2=DC2+AD2=20，
所以AC=，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2021秋·山西太原·八年级校联考阶段练习）如图是一个长为12cm，宽为5cm，高为8cm的长方体，一只蜘蛛从一条侧棱的中点A沿着长方体表面爬行到顶点B去捕捉蚂蚁，此时蜘蛛爬行的最短距离是（ ）
A．13 cmB．15 cmC．21 cmD．25cm
【答案】B
【分析】先将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，连接AB；或将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，连接AB，然后分别在Rt△ABE、Rt△ABC和Rt△ABD中利用勾股定理求得AB的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】
将长方体沿CF、FG、GD剪开，向上翻折，使面FCDG和面BDCE在同一个平面内，如图1：，．
∴在Rt△ABE中，
将长方体沿CD、CF、FG剪开，向右翻折，使面CFGD和面GHBD在同一个平面内，如图2：，
∴在Rt△ABC中，
将长方体沿CD、DB、BE剪开，向上翻折，使面DBEC和面CEMF在同一个平面内，如图3：，
∴在Rt△ABD中，
∵
∴蜘蛛爬行的最短距离是15cm．
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理在最短路径问题中的应用，利用了转化思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形并利用勾股定理的知识求解．
【变式2】（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由出发，在盒子表面上爬到点，已知，，，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．
【答案】
【分析】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的长方形，求出不同长方形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：由题意，
如图所示，
得；
如图所示，
得，
如图3所示，
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10．
故答案为：10.
【解答】本题考查了勾股定理的应用，根据题意将长方体盒子展开为平面图形，根据勾股定理求出最短路程进行比较是解题关键．
【变式3】（2022春·广西百色·八年级统考期中）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】25cm
【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．
【详解】解：如图，将台阶展开，
由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．
所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，
即AB＝25（cm），
答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm．
【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．
【经典例题四 勾股定理之旗杆高度问题】
【例4】（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A 处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离 AB＝2.4 米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为 1.8 米的市民 CD 正对门缓慢走到离门 0.8 米的地方时（即 BC＝0.8 米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离 AD 等于（ ）
A．1.0 米B．1.2 米C．1.25 米D．1.5 米
【答案】A
【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理解得AD的长即可．
【详解】解：过点D作于点E，
中
（米）
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，作出正确的辅助线是解题关键．
【变式2】（2020秋·八年级单元测试）如图所示，地面上竖立了一根木杆，顶端与地面上有绳索相连．在木杆的8米高处有两只猴子，一只猴子爬下木杆走到离木杆16米的处．另一只爬到杆顶后沿绳索滑至处，两只猴子所经过的路程相等，则这根木杆高__________米．
【答案】12
【分析】阅读题目信息可得两只猴子所经过的距离相等是指BD+AD=BC+AC=24，设BD=x，根据勾股定理列方程求解.
【详解】设BD=x米，根据题意可得BD+AD=BC+AC，x+AD=8+16，
∴AD=24-x，
在RtΔACD中，由勾股定理得，，
∴
解得，x=4
∴DC=x+8=4+8=12米，
即这根木杆高12米.
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，通过图形找到等量关系列方程是解答此题的关键.
【变式3】（2022秋·江苏·八年级专题练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度，他们进行了如下操作：
①测得的长为15米（注：）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度．
(2)过点D作，垂足为H，求的长度．
【答案】(1)风筝的高度为21.7米
(2)的长度为9米
【分析】（1）在中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在在中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在中，由勾股定理，得：
（米），
所以（米），
答：风筝的高度为21.7米．
（2）由等积法知：，
解得：（米）．
在中，（米），
答：的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
【经典例题五 勾股定理之台阶上地毯长度问题】
【例5】（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（ ）
A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元
【答案】C
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】
利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米、5米，
∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，
∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·广东茂名·八年级校考期中）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ）
A．5mB．6mC．7mD．8m
【答案】C
【详解】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长．
由于，
所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．
故选C
【变式2】（2021秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要____________元钱．
【答案】612
【分析】先由勾股定理求出BC的长为12m，再用(AC+BC)乘以2乘以18即可得到答案．
【详解】如图，∵∠C=90，AB=13m，AC=5m，
∴BC==12m，
∴（元）．
故填：612.
【点睛】此题考查勾股定理、平移的性质，题中求出地毯的总长度是解题的关键，地毯的长度由平移可等于楼梯的垂直高度和水平距离的和，进而求得地毯的面积．
【变式3】（2021春·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
【答案】612元.
【详解】本题考查的是勾股定理的应用
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积．
如图，
由题意得，，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
所以铺完这个楼道至少需要元．
【经典例题六 勾股定理之是否受台风影响问题】
【例6】（2022秋·八年级课时练习）M 城气象中心测得台风中心在 M 城正北方向 240km 的 P 处，以每小时 45km 的速度向南偏东 30°的 PB 方向移动，距台风中心 150km 的范围内是受台风影响的区域，则 M 城 受台风影响的时间为（ ）小时．
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km
在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，
∴ME=PM=120km，
∴EF=EH==90（km），
∴FH=180km，
∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·重庆·八年级校联考期末）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过( )小时它就会进入台风影响区
A．10B．7C．6D．12
【变式2】（2021秋·河南濮阳·九年级校考阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为______秒．
【答案】32
【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．
【详解】解：如图，过点作，
米，
米米，
在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响，
米，
由勾股定理得米，米，
即米，
36千米/时10米/秒，
处受噪音影响的时间为：秒，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
【变式3】（2022秋·四川达州·八年级校考期中）如图，，是两条公路相交成，沿公路方向离点米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心、长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．
(1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离（保留根号）；(直角三角形中锐角所对的直角边等于斜边的一半)．
(2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间．
【答案】(1)40米
(2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒
【分析】（1）过点A作于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；
（2）当米时，则卡车在段对学校A有影响，利用勾股定理求出的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，从而求出时间．
【详解】（1）解：过点A作于H，
∵，米，
∴米，
∴对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离为40米；
（2）解：如图，当米时，则卡车在CD段对学校A有影响，
由（1）知米，
∴（米），
∵，
∴（米），
∵重型运输卡车行驶的速度为18千米/小时，即米/秒，
∴（秒），
∴卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．
【经典例题七 勾股定理之折叠问题】
【例7】（2022秋·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，等腰直角三角形纸片中，，把纸片沿对折后，点A恰好落在上的点D处，点，，则下列结论：；；与的周长相等．正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】在等腰中，可得，即，由折叠可得，，即，则有，可判断正确；根据，，可得，，即正确；根据的周长为：，由折叠可得，，则有的周长为：，可得正确，即问题得解．
【详解】在等腰中，∠C=90°，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
∴，故正确；
∵，，
∴，，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∵的周长为：，
由折叠可得，，
∴的周长为：，
∴与的周长相等，故正确；
即正确的有三个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．还考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，三角形纸片中，点是边上一点，连接，把沿着直线翻折，得到，交于点，连接交于点，若，的面积为，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用折叠和中线的性质，得到的面积，利用勾股定理求出，利用三角形的面积公式求出，进而求出，再利用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵
∴为的中线，
∴，
∵翻折，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查勾股定理与折叠问题．熟练掌握折叠的性质以及三角形的中线平分面积，以及勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2021秋·河南郑州·八年级校考期中）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝10，D是BC的中点，E是AC上的一个动点，将三角形纸片ABC沿DE折叠，连接AC′.当△AEC′是直角三角形时，CE的长为____________．
【答案】或5
【分析】分两种情形，当∠AC'E=90°或∠AEC'=90°时，分别画出图形来解答．
【详解】解：当∠AC'E=90°时，
∵将△CDE沿DE折叠到△C′DE，
∴∠EC'D=∠C=90°，
∴∠AC'E+∠EC'D=180°，
∴点A、C'、D三点共线，
∵AC=12，BC=10，CD=BC=5
由勾股定理得AD= ，
设CE=C'E=x，则AE=12-x，AC'=13-5=8，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得：
（12-x）2=82+x2，
解得x=，
∴CE=，
当∠AEC'=90°时，
∴∠CEC'=90°，
∴∠CED=45°，
∴CE=CD=5，
∠EAC'不可能为90°，
综上，CE=5或．
故答案为：5或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式3】（2022秋·江苏苏州·八年级苏州高新区第二中学校考阶段练习）操作与实践：已知长方形纸片中，，．
操作一：如图①，任意画一条线段，将纸片沿折叠，使点B落到点的位置，与交于点G．试说明重叠部分为等腰三角形；
操作二：如图②，将纸片沿对角线折叠，使点B落到点的位置，与交于点H．求的面积．
【答案】操作一：见解析；操作二：
【分析】操作一：由翻折的性质可知，由长方形的性质和平行线的性质可知，从而得到，由等角对等边可得；
操作二：首先表示出，然后在中利用勾股定理构建方程求出即可解决问题．
【详解】操作一：由折叠的性质可知，
∵在长方形中，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
操作二：在长方形中，，
同操作一可得，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的应用等知识，利用勾股定理构建出方程是解题的关键．
【经典例题八 勾股定理之动点问题】
【例8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（ ）．
A．5B．3C．D．
【答案】C
【分析】如图，由题意知，，，，可知三点共线，与重合，在中，由勾股定理得，求的值，设，，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，
∵是直角
∴
由题意知，，
∴
∴三点共线
∴与重合
在中，由勾股定理得
设，
在中，由勾股定理得即
解得
∴的长为
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确三点共线，与重合．
【变式训练】
【变式1】（2022秋·浙江·八年级期中）如图，在中，是延长线上一点，是边上一动点， 连接，作与关于对称 (点与点对应)，连接，则长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，当点A在DM的上时AD的值最小，根据勾股定理依次求出AE，CE，AM，DM的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，连接MA，
∵AD≥MD-AM
当点A在DM上时AD的值最小，如图，
∵CM=2，BC=3，
∴BM=BC+CM=5，
由折叠得：DM=BM=5，
∵∠B=60°，
∴∠，
又∵，
∴，
在中中，
∵，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴最小=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，勾股定理，最值问题等知识，两边之差小于第三边，解题的关键是作出辅助线，从整体上把握题意，准确找到图形中数量关系．
【变式2】（2022·贵州遵义·统考一模）如图，在中，，，，P为线段AB上一动点，以线段CP为边作等边三角形PCD，则点P从点A向点B运动的过程中，点D所经过的路径长为______．
【答案】4
【分析】由点P从点A向点B运动可知，画出P点在A点时D点的位置，在B点时D的位置，发现D点的经过的路径长即是D1D2的长；
【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，
∴AB=2AC=2×2=4，
∠BAC=90°-30°=60°，
故当点P位于A点时，点D位于点D1，
∴△CAD1为等边三角形，
∴AD1=AC=2，
∴BD1=AB-AD1=4-2=2，
当点P位于点B时，点D位于点D2，
∴△CBD2是等边三角形，
∴BD2=CB，∠CBD2=60°，
∴∠ABD2=∠ABC+∠CBD2=90°，
∴△D1D2B是直角三角形，
在Rt△ABC中，BC==2，
∴BD2=2，
∴D1D2==4．
【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质和勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键．
【变式3】（2020秋·八年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，若连接，沿翻折，则点A落在点M上．动点P从点C出发沿的路线运动，运动到点B停止．
(1)求的长度；
(2)当线段的中垂线经过点D时，求点P运动路线的长度；
(3)在点P的运动过程中，当为等腰三角形时，点P运动路线的长度为___________（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D；
(3)5或8或或
【分析】（1）证明出四边形为正方形，利用勾股定理即可求解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质来判断，需要分两种情况讨论，当时，即，为等腰三角形，当点与点重合时，，为等腰三角形，根据三线合一知的中垂线，过点D；
（3）连接，根据已知分析可得满足等腰三角形的多种情况：或，然后根据勾股定理进行分析计算．
【详解】（1）解：沿翻折，则点A落在点M上，
，
，，
四边形为正方形，
，
；
（2）解：需要分两种情况讨论，
当时，即，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
当点与点重合时，，
为等腰三角形，
根据三线合一知的中垂线，过点D，
此时点P运动路线的长度为，
综上所述：点P运动路线的长度为或时，的中垂线过点D；
（3）解：根据已知得，，则四边形是平行四边形．
又，根据勾股定理，得．
①作的中垂线交于，则是等腰三角形，此时，，即点P运动路线的长度5；
②当时，是等腰三角形，即点P运动路线的长度8；
③当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
④当点在上，时，，即点P运动路线的长度；
故答案为：5或8或或.
【点睛】此题主要考查梯形的性质及等腰梯形的判定的理解及应用、勾股定理，解题的关键是注意分类讨论数学方法的运用．
【培优检测】
1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，，点在内部，且，若、分别为边、上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．8
【答案】B
【分析】作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，根据对称性可知， ，，从而的周长，根据两点之间线段最短，得到周长的最小值为， 在中，根据勾股定理求，从而确定答案．
【详解】解：作关于对称点，作关于对称点，连接交于，交于，如图所示：
根据对称性可知， ，，
的周长，
根据两点之间线段最短，周长的最小值为，
在中，，，根据勾股定理得，
故选：B．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称-最短周长问题、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握利用对称性解决最短周长问题是解决问题的关键．
2．（2023春·八年级单元测试）1．如图，在中，，，，是的平分线，交于点，则的面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点D作，先由等腰直角三角形性质求出，再证明，设，则，所以，解得： ，即，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点D作，
∵在中，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∴，解得： ，
∴的面积，
故选：A．
【点睛】本题考查角平分线的性质，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）已知，一轮船以16海里时的速度从港口A出发向北偏东方向航行，另一轮船以8海里时的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，则离开港口1小时后，两船相距（ ）
A．海里B．海里C．16海里D．24海里
【答案】B
【分析】根据方位角可知两船所走的方向夹角，再根据路程速度时间，得到，，最后利用勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【详解】解：由题意可知，，
离开港口1小时后，两艘船分别行驶了16海里和8海里，
即，，
由勾股定理得：，
故两船相距海里，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理，方位角问题，熟练运用勾股定理进行计算是解题关键，基础知识，比较简单．
4．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
∴，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
5．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（ ）
A．49尺B．49.5尺C．50尺D．50.5尺
【答案】D
【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可
【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺，
在中，
∵，
∴，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．
6．（2022秋·山东淄博·七年级统考期中）如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】设，根据平行线性质和轴对称性质得到，再根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题．
【详解】解：设，则，
∵，
∴；
∵与关于直线轴对称，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，根据勾股定理列出方程是解题的关键是．
7．（2021秋·山东济南·八年级统考期中）如图，三级台阶的每一级的长、宽、高分别为．点A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）dm．
A．12B．10C．17D．25
【答案】C
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得．
故选 C．
【点睛】本题主要考查了平面展开最短路径问题，掌握两点间线段最短是解答本题的关键．
8．（2022秋·八年级课时练习）如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（ ）
A．2B．C．6D．8
【答案】D
【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由 ，可求b＝4，即可求解．
【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，
∴ABa，ACb，BCc，
∵∠BAC＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴2a2+2b2＝2c2，
∴a2+b2＝c2，
∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，
∴BG＝GH＝a，
∵，
∴（a+c）（c﹣a）＝16，
∴c2﹣a2＝32，
∴b2＝32，
∴b＝4，
∴ACb＝8，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．
9．（2022春·甘肃庆阳·八年级校考期中）如图，一个梯子长2.5米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为0.7米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为0.8米，求梯子顶端下落了_________米．
【答案】0.4
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AC=2.4米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=2米，进而得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=0.7米，
故AC=（米），
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=0.8+0.7=1.5（米），
故EC=（米），
故AE=ACCE=2.42=0.4（米）．
答：梯子下滑了0.4米．
故答案为：0.4；
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
10．（2020秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，这棵树有的高是______________ ．
【答案】15米
【分析】根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算．
【详解】设BD=米，则AD=（）米，CD=（）米，
∵，
∴，
解得．
即树的高度是10+5=15米．
故答案为：15米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．
11．（2022秋·山东济南·八年级济南市章丘区第四中学校考阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝____秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？
【答案】6或7或12或14
【分析】当OP=OD时，可得P1点；当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，再运用勾股定理可分别求解.
【详解】解：当OP=OD时，可得P1点，此时由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，则t=秒；
当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，当P点运动到P2位置时，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+ DM22=DP22，即42+ DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3，
故，当P点运动到P2位置时，t=秒；当P点运动到P3位置时，t=秒；当P点运动到P4位置时，t=秒；
故答案为6或7或12或14.
【点睛】本题有些难度，难点在于一共有4种情况，也可采取画圆法确定P点可能的位置，即以O点为圆心、5为半径画圆，或者以D点为圆心、5为半径画圆，从而确定P点可能位置.
12．（2022秋·八年级课时练习）将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值__，h的最大值__．
【答案】 11cm 12cm
【分析】根据筷子的摆放方式得到：当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，利用勾股定理计算即可．
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
此时，在杯子内的长度==13（cm），
故h=24﹣13=11（cm）．
故h的取值范围是11≤h≤12cm．
故答案为：11cm；12cm．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意、掌握勾股定理的计算公式是解题的关键．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2021春·四川成都·八年级校考期中）在等腰直角三角形中，，，是边上一点，且，是边上一点，将沿翻折，使点落在线段的点上，则_________．
【答案】##
【分析】过F点作于M点，易得，根据折叠的性质有：，，，即有，，再证明，即在中，可得，，即有，，在中，，可得，在中，，可得，问题随之得解．
【详解】过F点作于M点，如图，
∵在等腰直角三角形中，，，
∴，
∵，
∴，
根据折叠的性质有：，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质性质，含角的直角三角形的性质等知识，掌握折叠的性质，并求出，是解答本题的关键．
15．（2021秋·广东佛山·八年级统考阶段练习）如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？
【答案】7米
【分析】设BC=xm，则CD=（x+8）m，利用勾股定理分别表示出、，∵AB=ED，∴，求出x的值即可完成.
【详解】解：根据题意，AC=24m，AE=4m，BD=8m，则EC=20m
设BC=xm，则CD=（x+8）m
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∵AB=ED
∴
解得：
滑动前梯子底端与墙的距离CB是7米.
【点睛】本题考查勾股定理的应用，难度较低，灵活运用勾股定理是解题关键.
16．（2022春·四川泸州·八年级统考阶段练习）如图，四边形为某街心公园的平面图，经测量米，米，且．
（1）求的度数；
（2）若为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的100米（包含100米），求被监控到的道路长度为多少？
【答案】（1）135°；（2）被监控到的道路长度为米.
【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，则∠CAD=90°，即可得到答案；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，由轴对称的性质，得到DF=DA=100，则只要求出AF的长度，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴，∠CAB=45°，
∵，
在△ACD中，有
，
∴△ACD是直角三角形，
∴∠CAD=90°，
∴；
（2）过点D作DE⊥AB，然后作点A关于DE的对称点F，连接DF，如图：
由轴对称的性质，得DF=DA=100，AE=EF，
由（1）知，∠BAD=135°，
∴∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，
在Rt△ADE中，有，
解得：，
∴；
∴被监控到的道路长度为米.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用轴对称的性质和勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算.
17．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，直线，垂足为O，直线l分别与射线、相交于点A、B，且，，连接．
(1)求线段的长；
(2)若点C为直线l上的一个动点，求点O到点C的距离的最小值；
(3)如图2，将沿直线l折叠，点O落在点D处，，垂足为点E，求的长；
(4)若点F为直线或上的一个动点，使得以A、B、F为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的所有点F的个数为______个．
【答案】(1)
(2)点O到点C的距离的最小值为
(3)
(4)8
【分析】（1）根据勾股定理直接求解即可；
（2）过点O作于点C，此时最小，根据等积法求出即可；
（3）连接，交于点C，根据对称性求出：，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得到x的值，最后根据勾股定理求出结果即可；
（4）分类进行讨论得出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
（2）解：过点O作于点C，此时最小，如图所示：
∵，
∴，
即点O到点C的距离的最小值为．
（3）解：连接，交于点C，如图所示：
∵点O与点D关于对称，
∴垂直平分，
即，，
∴，
∴，
根据折叠可知，，
设，则，
在中，，
在中，
∴，
解得：，
∴．
（4）解：当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
当，点F在上时，如图所示：
综上分析可知，满足条件的所有点F的个数为8个．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，轴对称的性质，解题的关键是注意进行分类讨论．
18．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，，点为边上一动点，将沿直线折叠，得到，请解决下列问题．
(1)______；当点恰好落在斜边上时，______；
(2)连接，当是以为底边的等腰三角形时，请在图2中画出相应的图形，并求出此时点到直线的距离；
(3)如图3，为边上一点，且，连接，当为直角三角形时，______．（请写出所有满足条件的长）
【答案】(1)，
(2)图见解析，到直线的距离为
(3)或或
【分析】（1）直接根据勾股定理可得的长度，画出点恰好落在斜边上时的图形，然后根据三角形面积的不同表达方式可得的长，则结果可得；
（2）当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，过点作于点，设与交于点，然后根据三角形的面积，折叠的性质以及勾股定理进行解答即可；
（3）分三种情况：当；当；当；画出相应图形分别进行求解即可．
（1）
解：根据勾股定理得：，
当点恰好落在斜边上时，如图：
根据折叠的性质可知，
则，
解得：，
故答案为：，；
（2）
如图，当点与点重合时，是以为底边的等腰三角形，
过点作于点，设与交于点，
将沿直线折叠，得到，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
点到直线的距离为；
（3）
当时，如图：
，
为等腰直角三角形，
；
当时，如图：
，，
在中，，
，
，
解得：；
当时，如图：
过点作于点，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质等知识点，能够根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
19．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，点是等腰直角的直角边上的一点，AE的中垂线分别交，，于点，，，且．
（1）求的度数．
（2）若，求的长．
（3）若平分，则：
①判断线段与的位置关系并证明．
②求出的长．
【答案】（1）；（2）；（3）①，证明见解析；②
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得到AD=DE，AF=EF，继而得到∠DAE=∠DEA，∠FAE=∠FEA，再根据即可得到；
（2）在Rt△BDE中，根据勾股定理可得BD2+BE2=DE2，继而根据AD+BD=AB=2，AD=DE，继而得到关于AD的方程，解方程即可得；
（3）①利用平分，得到，根据为等腰三角形得到，求出，，由推出，得到结论；
②在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD2+BE2=DE2，再根据BD=BE，AD=DE即可得出关于BE的方程，求解即可．
【详解】（1）∵为的中垂线，
∴AD=DE，AF=EF，
∴∠DAE=∠DEA，∠FAE=∠FEA，
∴∠DEF=∠DEA+∠FEA=∠DAE+∠FAE=∠BAC，
∴和为等腰三角形．
又∵为等腰直角三角形，∠B=90°，
∴，
∴；
（2）∵在Rt△BDE中，∠B=90°，
∴BD2+BE2=DE2，
∵AD+BD=AB=2，，AD=DE，
∴（2-AD）2+=AD2，
∴；
（3）①∵平分，∠BAC=45°，
∴，
∵AD=DE，
∴∠AED=∠DAE=22.5°，
∴∠BDE=∠DAE+∠DEA=45°，
∵∠B=90°，
∴∠BED=90°-45°=45°，
又，
∴∠BEF=∠BED+∠DEF=90°，
∴．
②∵在Rt△BDE中，∠B=90°，∠BDE=∠BED=45°，
∴BD=BE，BD2+BE2=DE2，
∴DE=，
∵AD=DE，AD+BD=AB=2，
∴，
∴．
【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，折叠的性质，勾股定理等，综合了三角形的多处知识点，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
20．（2021秋·江苏无锡·八年级校联考期中）如图1，在长方形中，BC=3，动点从出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
【答案】（1）AB的长为3；（2）①；②t的值为或或4.
【分析】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，用角角边证明，可推出AB=BC=3.
（2）①在Rt△中，找出边长利用勾股定理建立方程求解；
②分三种情况讨论：，，，分别作出相应的图形，在中，分别找出边长，利用勾股定理建立方程求解.
【详解】（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，
由折叠的性质可知，，
∵，，
∴
在和中，
∴≌（AAS）
∴
又∵ABCD为矩形，∴AD=BC=3，
∴AB=3
（2）①在Rt△ABC中，
∵点P点的运动时间为t，速度为1，∴BP=t，
，，,
在Rt△中，由勾股定理有，即，解得.
②当，如下图所示，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4，
有折叠性质有，在Rt△中，
，
∴
在Rt△中，，
，即，解得
当∠=90°时，如下图所示，
由折叠可得，
在Rt△中，
在Rt△中，，，
，即，解得
当=90°时，如下图所示，根据折叠易得四边形为正方形，∴PB=AB=4
综上，满足题意的t的值为或或4.
【点睛】本题考查折叠问题里勾股定理的应用，关键是根据折叠的性质找出边长，利用勾股定理建立方程.
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