新高考高中数学核心知识点全透视专题9.2复数(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题9.2复数(专题训练卷)(原卷版+解析)，共15页。试卷主要包含了2 复数等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·全国高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·北京高考真题（文））已知复数z=2+i，则（ ）
A．B．C．3D．5
3．（2023·全国高考真题（文））设，则=（ ）
A．2B．C．D．1
4．（2023·全国·高三月考）已知复数在复平面内对应点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·四川·成都七中高三期中（文））复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2023·浙江·高三期中）已知复数z满足，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为D．复数z是方程的一个虚根
8．（2023·山东枣庄·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、多选题
9．（2023·福建·高三月考）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．的值可能为D．
10．（2023·江苏·无锡市第一中学高三月考）若复数z满足，则（ ）
A．|z|=2B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=
11．（2023·湖南·长郡中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则为实数
B．若，则
C．复数的共轭复数为
D．关于复数的方程（）有实数根，则
12．（2023·江苏如皋·高三月考）是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A．已知复数满足，则
B．“”的充要条件是“”
C．若复数，则不可能是纯虚数
D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
三、填空题
13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
14．（2023·上海市复兴高级中学高三期中）若，，其中为虚数单位，且，则实数___________.
15．（2023·山西省新绛中学校高三月考（文））已知，则的最大值为_______.
16．（2023·上海中学高一期末）已知，则的取值范围是__________．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
18．（2023·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知为实数，设复数.
（1）当为虚数时，求的值；
（2）当对应的点在直线上，求的值.
19．（2023·河南·高三月考（文））已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
20．（2023·河南·高三月考（理））已知复数，的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范围.
21．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以､为邻边的平行四边形的面积.
22．（2023·福建·仙游一中高一月考）已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
专题9.2 复数（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·全国高考真题（文））若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
．故选D．
2．（2023·北京高考真题（文））已知复数z=2+i，则（ ）
A．B．C．3D．5
答案：D
【解析】
∵ 故选D.
3．（2023·全国高考真题（文））设，则=（ ）
A．2B．C．D．1
答案：C
【解析】
因为，所以，所以，故选C．
4．（2023·全国·高三月考）已知复数在复平面内对应点的坐标是，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
由点的坐标写出，然后计算后可得．
【详解】
由条件知复数．所以虚部为，
故选：D．
5．（2023·四川·成都七中高三期中（文））复数（其中为虚数单位）的虚部为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
根据复数除法的运算法则，求出复数，然后由虚部的定义即可求解.
【详解】
解：因为复数，
所以复数的虚部为，
故选：A.
6．（2023·福建省漳州第一中学高一期中）若（为虚数单位），则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
分析：
根据充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】
当时，，
当时，可以取，此时，
所以是的充分不必要条件.
故选：A
7．（2023·浙江·高三期中）已知复数z满足，（i为虚数单位），则（ ）
A．B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为D．复数z是方程的一个虚根
答案：D
分析：
根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式、共轭复数的定义、复数虚部的定义、配方法进行逐一判断即可.
【详解】
解析：，所以，故A错误；，故B错误；复数z的虚部为－1，故C错误；因为，所以的根为，D正确．
故选：D
8．（2023·山东枣庄·高一期中）瑞士著名数学家欧拉发现公式（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：D
分析：
由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可.
【详解】
∵
，
∴表示的复数在复平面内对应的点，位于第三象限.
故选：D.
二、多选题
9．（2023·福建·高三月考）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为B．
C．的值可能为D．
答案：BCD
分析：
由复数相等的定义求出的关系，并求得的可能值，然后判断各选项.
【详解】
因为.
所以，，
即，，则.解得或，
故A错误，B，C，D均正确.
故选：BCD.
10．（2023·江苏·无锡市第一中学高三月考）若复数z满足，则（ ）
A．|z|=2B．是纯虚数
C．复数z在复平面内对应的点在第三象限D．若复数z在复平面内对应的点在角α的终边上，则sinα=
答案：AB
分析：
先求出复数，根据复数模、纯虚数、几何意义及三角函数定义，即可作出判断．
【详解】
由题意，，A选项正确；
，B选项正确；
在复平面内对应点为，对应点在第一象限，C选项错误；
，D选项错误.
故选：AB.
11．（2023·湖南·长郡中学高三月考）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则为实数
B．若，则
C．复数的共轭复数为
D．关于复数的方程（）有实数根，则
答案：ABD
分析：
根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【详解】
设，，则为实数，A选项正确．
设，，则，正确．
，其共轭复数是，C选项错误．
设是方程的实根，
则，，．D选项正确．
故选：ABD．
12．（2023·江苏如皋·高三月考）是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）
A．已知复数满足，则
B．“”的充要条件是“”
C．若复数，则不可能是纯虚数
D．若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限
答案：ACD
分析：
根据复数的除法运算及求模公式可判断A,举反例可判断B,根据纯虚数的概念可判断C，设，根据乘方运算可判断D.
【详解】
对于A，，
所以，A正确；
对于B，当时，满足，但是不满足，B不正确；
对于C, 若复数为纯虚数，则 ，无解，
所以不可能是纯虚数，C正确；
对D，设，或，
所以或，D正确
故选：ACD
三、填空题
13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．
答案：
分析：
利用复数的除法化简可得结果.
【详解】
.
故答案为：.
14．（2023·上海市复兴高级中学高三期中）若，，其中为虚数单位，且，则实数___________.
答案：
分析：
先求解，利用复数的乘法运算计算可得，即，求解即可
【详解】
由题意，，故
故
故，即
故答案为：
15．（2023·山西省新绛中学校高三月考（文））已知，则的最大值为_______.
答案：1
分析：
根据复数的几何含义，求解出z的实部和虚部满足的关系式，再结合复数模的几何含义即可得出结果.
【详解】
设，
即，所以点 在以为圆心，1为半径的圆上
， 表示点到原点的距离，
所以原点与圆上的一点距离的最大值即表示的最大值
所以
故答案为：.
16．（2023·上海中学高一期末）已知，则的取值范围是__________．
答案：
分析：
根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．
【详解】
由题意，
，，所以．
故答案为：．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
答案：(1)；(2)；(3)不存在实数使得为纯虚数.
分析：
(1)由复数z为实数可得其虚部为0，又，由此求m；
(2) 由复数z为虚数可得其虚部不为0，又，由此求m；
(3) 由复数z为纯虚数可得其实部为0，虚部不为0，又，由此求m.
【详解】
(1)当为实数时，有
得
所以，即当时，为实数.
(2)当为虚数时，有且，
所以且且，
即当时，为虚数.
(3)当为纯虚数时，有
所以故不存在实数使得为纯虚数.
18．（2023·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知为实数，设复数.
（1）当为虚数时，求的值；
（2）当对应的点在直线上，求的值.
答案：（1）且；（2）或.
分析：
（1）由已知条件可得出，即可解得的取值范围；
（2）求出复数对应的点的坐标，将点的坐标代入直线方程，可得出关于实数的方程，即可解得的值.
【详解】
（1）当为虚数时，有，即，
解得且；
（2）复数对应的点在直线上，
所以，，即，
解得或，
所以，复数对应的点在直线上时，或.
19．（2023·河南·高三月考（文））已知复数的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，且，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
分析：
(1)利用复数模、共轭复数的意义结合复数乘法运算计算即得；
(2)利用共轭复数的意义及复数相等建立关系，再结合复数的几何意义列式计算即得.
【详解】
(1)依题意，，，则，
于是得，
所以；
(2)由(1)及得：，即，则，
因为在复平面内对应的点在第四象限，于是得，解得，
所以的取值范围为.
20．（2023·河南·高三月考（理））已知复数，的共轭复数为.
（1）若，求：；
（2）若，求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）先利用复数的除法运算化简可得，令，再利用复数的乘法运算计算即可；
（2）利用复数的乘法和模长公式化简不等式可得，求解即可
【详解】
（1），
当时，，则，
.
（2）由，得，
整理，得，
即，解得或，
即的取值范围为.
21．（2023·广东·仲元中学高一期中）已知O为坐标原点，向量､分别对应复数，，且，，若是实数.
（1）求实数a的值；
（2）求以､为邻边的平行四边形的面积.
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
（1）由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
（2）由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以､为邻边的平行四边形的面积
22．（2023·福建·仙游一中高一月考）已知
（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；
（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.
答案：（1）时，取最大值；（2）当时，；当时，.
分析：
（1）求出，即得解；
（2）设，，再对分 和两种情况讨论得解.
【详解】
（1）
所以，当时，即时，取最大值.
（2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难，故可先求出的正切值.
设，则由于
所以.
因为，所以的实部，的虚部.
当时，，所对应的点位于第四象限.
由于，所以.
当时，，所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）.
由于，所以.