新高考高中数学核心知识点全透视专题8.2平面向量初步(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题8.2平面向量初步(专题训练卷)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了2 平面向量初步，运动，且．等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·威海市教育教学研究中心期末）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
3．（2023·上海·高一课时练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（2023·全国·高一课时练习）若，，，，且，则实数x，y的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2023·四川绵阳·高三月考（文））设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·株洲市九方中学月考）在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则( )
A．是定值，定值为4B．是定值，定值为3
C．是定值，定值为4D．是定值，定值为3
7．（2023·江苏·海安高级中学高二期中）设，是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
8.（2023·江苏如皋·高三月考）如图，已知，，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·广东·广州市禺山高级中学高二月考）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
10.（2023·山东·济宁市兖州区第一中学高二月考）已知四面体ABCD中，M，N分别是棱CD，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
11.（2023·广东茂名·高三月考）在同一平面上，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点（O，P不在直线l上），且，则的值可能是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
12.（2023·河北·唐山一中高二月考）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ ）
A．B．C．D．1
三、填空题
13．(2023·云南·昆明一中高三月考（文））已知向量，向量，与共线，则___________.
14.（2023·福建省福州格致中学高三月考）在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量､表示为___________.
15.（2023·山西·陵川县高级实验中学校高二开学考试）已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围________．
16.（2023·广东深圳·高三月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，且，，求的坐标和M，N两点间的距离.
18．（2023·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．
（1）试证：起点相同的三个向量，，3﹣2的终点在同一条直线上；
（2）求实数k，使得k+与2+k共线．
19.（2023·全国·高一课时练习）如图，，点P在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．
（1）求x的取值范围；
（2）当时，求y的取值范围．
20．（2023·全国）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
21．（2023·全国高二）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
22．（2023·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
专题8.2 平面向量初步（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·威海市教育教学研究中心期末）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
∵向量，，且，
∴ ，解得：，
故选：D.
2．（2023·全国·高二专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与线，则与共线
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
D．零向量是模为0，方向任意的向量
答案：D
分析：
假设为零向量，可判断选项A；
根据向量的特征，可判断选项B；
根据向量共线定理，可判断选项C；
根据零向量的定义，可判断选项D.
【详解】
由于零向量与任意向量共线，所以若为零向量，则与关系不确定，A错；
因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面，B错；
共线向量定理中，当不是零向量时，才存在唯一的实数λ，使=λ，否则λ可能不存在，C错；
根据零向量的定义可知，零向量的模为0，方向是任意的，D显然正确.
故选：D.
3．（2023·上海·高一课时练习）给出如下命题：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量与平行，则与的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：
根据向量的基本概念，对每一个命题进行分析与判断，找出正确的命题即可．
【详解】
对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．
综上，正确的命题是①③．
故选：B．
4．（2023·全国·高一课时练习）若，，，，且，则实数x，y的值分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：C
分析：
先利用向量减法的坐标运算计算，再利用，即得解
【详解】
由题意，，又
故选：C
5．（2023·四川绵阳·高三月考（文））设，为所在平面内两点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
先根据题意，画出图形，然后利用向量的基本定理进行求解.
【详解】
如图所示，
因为，
所以，
所以
故选：D
6．（2023·株洲市九方中学月考）在中，点在线段上，且满足，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则( )
A．是定值，定值为4B．是定值，定值为3
C．是定值，定值为4D．是定值，定值为3
答案：C
【解析】
因为，所以，即，
依题意设，则，
则，又，，
所以，
根据平面向量基本定理可得，消去可得，即.
故选：C
7．（2023·江苏·海安高级中学高二期中）设，是非零向量，则是成立的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
分析：
根据充分条件、必要条件的定义结合平面向量共线定理以及单位向量的定义即可判断.
【详解】
，表示，方向上的单位向量，
由可知，，方向相同，所以成立；
所以充分性成立，
若成立，则，方向相同，即，得不出
所以必要性不成立，
所以是成立的充分不必要条件，
故选：B.
8.（2023·江苏如皋·高三月考）如图，已知，，，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
如图所示，以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系，根据题意得到，解得答案.
【详解】
如图所示：以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系，
则，，，
，即，
解得，故.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·广东·广州市禺山高级中学高二月考）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
答案：AC
分析：
根据向量相等，向量共线的定义逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B不正确；
对于C：由且，则，故C正确；
对于D：与共线，与共线，则与共线，不正确，例如取时，与不一定共线.
故选：AC.
10.（2023·山东·济宁市兖州区第一中学高二月考）已知四面体ABCD中，M，N分别是棱CD，BC的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：BD
分析：
选项AC的结果为,所以选项AC错误；选项BD的结果为,所以该选项正确.
【详解】
如图所示，
A. ,所以该选项错误；
B. ,所以该选项正确；
C. ,所以该选项错误；
D. ,所以该选项正确.
故选：BD
11.（2023·广东茂名·高三月考）在同一平面上，A，B是直线l上两点，O，P是位于直线l同侧的两点（O，P不在直线l上），且，则的值可能是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
答案：AB
分析：
利用平面向量基本定理结合选项分析即可得出结果.
【详解】
∵当且仅当点在直线上时，则．而当，两点在的异侧时，才会有．因为，在直线同侧，所以C，D错误；当时，，此时，所以B正确．当在关于点对称的直线上时，，所以A正确．
故选：AB．
12.（2023·河北·唐山一中高二月考）如图，圆О是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，（，），则可以取值为（ ）
A．B．C．D．1
答案：CD
分析：
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到最大值即可.
【详解】
根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为1；
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

可得到点的坐标为：，，，，，
，，，
∵
∴，
∴，，
∴，，
，
，
故选项CD满足.
故选：CD.
三、填空题
13．(2023·云南·昆明一中高三月考（文））已知向量，向量，与共线，则___________.
答案：
分析：
根据向量的运算，求得，结合，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，向量，可得，
因为，即，解得.
故答案为：.
14.（2023·福建省福州格致中学高三月考）在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量､表示为___________.
答案：
分析：
根据三角形重心的性质可知，，再根据向量减法即可求出．
【详解】
在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，
所以，
．
故答案为：．
15.（2023·山西·陵川县高级实验中学校高二开学考试）已知点，()，试求当点在第三象限时，的取值范围________．
答案：
分析：
设，由坐标运算可用表示，结合点在第三象限可得的不等式组，解不等式组可得．
【详解】
设，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，解得，
∵点在第三象限，
∴，解得，
故答案为：.
16.（2023·广东深圳·高三月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
答案：
分析：
先利用条件找到，则，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】
，，又，
∴，
∴，
又、、三点共线，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．
故答案为：
四、解答题
17．（2023·全国·高一课时练习）已知，，，且，，求的坐标和M，N两点间的距离.
答案：，.
分析：
设，由，求得M的坐标，同理求得N的坐标，进而得到，.
【详解】
因为，，，
所以，.
设，则.
因为，
所以，解得.
所以.
同理可得.
所以，.
18．（2023·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．
（1）试证：起点相同的三个向量，，3﹣2的终点在同一条直线上；
（2）求实数k，使得k+与2+k共线．
答案：（1）证明见解析 ；（2） k＝±．
分析：
（1）利用向量共线定理，平面向量的基本定理即可证明；
（2）设与共线，由共线定理列方程求出的值．
【详解】
解：（1）证明：设，
，
两个非零向量与不共线，
，
解得，；
，
起点相同的三个向量，，的终点在同一条直线上；
（2）设与共线，
则存在，使，
，
解得，
即时，与共线．
19.（2023·全国·高一课时练习）如图，，点P在由射线，线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且．
（1）求x的取值范围；
（2）当时，求y的取值范围．
答案：（1） ；（2） ．
分析：
作出图形，进而结合平面向量基本定理得到答案.
【详解】
（1）如图，作交于E，则．
由P点的位置容易知道，．
因此，，即x的取值范围是．
（2）当时，，所以此时y的取值范围是．
20．（2023·全国）如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．
（1）用分别表示向量，；
（2）若，求实数t的值．
答案：（1），；（2）．
【解析】
（1）由题意，为的中点，，可得，，．
∵，
∴，
∴
（2）∵，
∴

∵，，共线，
由平面向量共线基本定理可知满足，
解得．
21．（2023·全国高二）如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
（2）过点作直线，分别交线段，于点，.记，，求证：为定值.
答案：(1) .
(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）由，，三点共线，设，由，，三点共线，可设，列出方程组，即可求解的值，得到结论；
（2）由，，三点共线，设，
由（1）可求得，，即可得到为定值.
详解：（1）由，，三点共线，可设 ，
由，，三点共线，可设 ，
∴，解得，，
∴.
（2）∵，，三点共线，设 ，
由（1）知，，∴，，
∴为定值.
22．（2023·上海·高一课时练习）如图，在边长为1的正△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，若＝m，＝n，m，n∈(0，1)．设EF的中点为M，BC的中点为N．
（1）若A，M，N三点共线，求证：m＝n；
（2）若m+n=1，求的最小值．
答案：（1）证明见解析 ；（2） ．
分析：
（1）由向量共线定理及平面向量基本定理即得；
（2）由题可得，再利用模长公式及二次函数的性质即得.
【详解】
（1）由A，M，N三点共线，得∥，设＝λ (λ∈R)，
即，
∴，
所以m＝n．
（2）因为＝m，＝n，EF的中点为M，BC的中点为N ,
∴,
又m＋n＝1，所以，
∴
，
故当m＝时，．