新高考高中数学核心知识点全透视专题8.6正弦定理、余弦定理(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题8.6正弦定理、余弦定理(专题训练卷)(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了6 正弦定理、余弦定理等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·河南·高二月考）的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
3．(2023·浙江诸暨·高一期末）中，所对的边分别是，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·高二月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5.（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，，，，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
6．（2023·广东·高三月考）在中，内角所对的边为，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，在线段上，，若的外心在线段上，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江苏扬州·高三月考）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·江苏扬州·高三月考）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（ ）
A．，有一解B．，有两解
C．，有两解D．，无解
10．（2023·辽宁实验中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
11．（2023·重庆·高一期中）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的面积为
12．（2023·广东顺德·一模）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
三、填空题
13．（2023·重庆一中高三月考）甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东方向相距海里的处，乙船正以每小时60海里的速度向北行驶.经测算，若甲船速度是乙船速度的倍，为了尽快追上乙船，甲船应朝北偏东30°方向前进，刚好用1小时可追上乙船，则___________（海里）.
14．（2023·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．
15．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
16.（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．
四、解答题
17．（2023·河北·藁城新冀明中学高一月考）在中，内角所对的边分别为，且 .
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，分别为角的对边，且满足.
（1）求的面积S；
（2）若，求的值.
19．（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.
（1）求的外接圆的半径；
（2）求的面积.
20．（2023·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设方程在上的两个解为和（），求的值；
（3）在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.
21．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
专题8.6 正弦定理、余弦定理（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·河南·高二月考）的内角，，的对边分别为，，，满足，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
利用余弦定理可求，再结合正弦定理即得.
【详解】
因为，不妨设，
则
所以
故选：D
2．（2023·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1B．C．D．3
答案：D
分析：
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
3．(2023·浙江诸暨·高一期末）中，所对的边分别是，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
由正弦定理求解．
【详解】
由正弦定理得．
故选：C．
4．（2023·河南·高二月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
利用正弦定理角化边，代入计算即可得解
【详解】
在中，，
由正弦定理得：，
所以的值是.
故选：A
5.（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，，，，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
答案：B
分析：
利用余弦定理求出的长，再用余弦定理求出，即可判断.
【详解】
解：
将，，代入余弦定理公式得：
角为钝角
是钝角三角形.
故选：B.
6．（2023·广东·高三月考）在中，内角所对的边为，若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
利用正弦定理角化边得到，再利用余弦定理构造方程求得结果.
【详解】
，，
由余弦定理得：，，.
故选：B.
7．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，在线段上，，若的外心在线段上，则（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
延长交外接圆于点，由内角平分线定理得的比值，结合是圆心，由相交弦定理求得长，然后由余弦定理计算．
【详解】
如图，延长交外接圆于点，，平分，
所以，设，则，于是，
又由相交弦定理得，，
在中由余弦定理得．
故选：C．
8．（2023·江苏扬州·高三月考）已知△的内角所对的边分别为若，且△内切圆面积为，则△面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：
根据已知条件及正弦定理可得，由内切圆的面积可得内切圆半径，最后根据及余弦定理，并结合基本不等式求的范围，进而求△面积的最小值.
【详解】
由题设，，而且，
∴，，则，
∴，由题设△内切圆半径，又，
∴，而，即，
∴，可得，当且仅当时等号成立.
∴.
故选：D
二、多选题
9．（2023·江苏扬州·高三月考）不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（ ）
A．，有一解B．，有两解
C．，有两解D．，无解
答案：AD
分析：
应用正弦定理结合各选项的条件求，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由正弦定理，又，故只有一个解，正确；
B：由正弦定理，又，显然只有一个解，错误；
C：由正弦定理，显然无解，错误；
D：由正弦定理，显然无解，正确；
故选：AD
10．（2023·辽宁实验中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则的面积是15D．若，则外接圆半径是
答案：ABD
分析：
先利用已知条件设，进而得到，利用正弦定理可判定选项A；利用向量的数量积公式可判断选项B；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D.
【详解】
依题意，设，
所以，
由正弦定理得：，故选项A正确；
，
故,选项B正确；
若，则，所以，所以，
所以，故的面积是：，故选项C不正确；
若，则，所以，所以，
所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，
故选项D正确.
故选：ABD
11．（2023·重庆·高一期中）如图，的三个内角，，对应的三条边分别是，，，为钝角，，，，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的面积为
答案：BCD
分析：
由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，再计算的面积从而得解．
【详解】
解：由，得：，
又角为钝角，解得：，
因为，，
由余弦定理，得：，
解得，可知为等腰三角形，即，
所以，
解得，故A错误，
可得，
在中，，得，可得，故B正确，
，可得，可得，故C正确，
所以的面积为，故D正确．
故选：BCD．
12．（2023·广东顺德·一模）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为，其中，，下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．D．角的最小值为
答案：ABC
分析：
利用余弦定理结合三角形的面积公式可判断A选项的正误；利用基本不等式结合三角形的面积公式可判断B选项的正误；利用余弦定理可判断C选项的正误；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项的正误.
【详解】
对于A，由余弦定理可得，得，
故，A对；
对于B，由基本不等式可得，即，
当且仅当时，等号成立，
由余弦定理可得，
则，B对；
对于C，，则，
由余弦定理可得，，
所以，，整理可得，
则，C对；
对于D，由余弦定理可得，
当且仅当时，等号成立，
因为且函数在上单调递减，故，D错.
故选：ABC.
三、填空题
13．（2023·重庆一中高三月考）甲船在处观察乙船，乙船在它的北偏东方向相距海里的处，乙船正以每小时60海里的速度向北行驶.经测算，若甲船速度是乙船速度的倍，为了尽快追上乙船，甲船应朝北偏东30°方向前进，刚好用1小时可追上乙船，则___________（海里）.
答案：60
分析：
根据题意可利用余弦定理求解.
【详解】
如图，设甲船在处追上乙船，
由题可得，
则由余弦定理可得，.
故答案为：60.
14．（2023·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．
答案：
分析：
由题设∠ADC，则可得四边形ABCD面积，再利用三角函数的性质可得最大值.
【详解】
如图连接AC，设∠ADC，由，，，
可知，
∴四边形ABCD面积：
，其中，当时，.
故答案为：.
15．（2023·浙江·高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
答案：
分析：
由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】
由题意作出图形，如图，
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
16.（2023·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））点为所在平面内一点，，，若的面积为，则的最小值是________．
答案：
分析：
在中，根据题意化简得到，根据的面积为，求得，再根据，得到，设，结合点与点连线的斜率， 利用直线与半圆相切，即可求解.
【详解】
在中，设角对的三边分别为，
由，
又由，可得且，解得，
因为的面积为，所以，可得，
由，可得
，
设，其中
因为表示点与点连线的斜率，
如图所示，当过点与半圆相切时，此时斜率最大，
在直角中，，可得，
所以斜率的最大值为，
所以的最大值为，所以，所以，
即的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·河北·藁城新冀明中学高一月考）在中，内角所对的边分别为，且 .
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，结合即可求得的大小；
（2）利用余弦定理结合已知条件列方程，解方程求得的值，再利用三角形的面积公式即可求解.
（1）
在中，由正弦定理可得，所以，
因为，所以，可得：，
又因为，所以．
（2）
在中，由余弦定理得：，
因为，所以，可得，
所以，即，解得：，
所以.
18．(2023·浙江诸暨·高一期末）在中，分别为角的对边，且满足.
（1）求的面积S；
（2）若，求的值.
答案：
（1）2
（2）
分析：
（1）先由，求得，再根据向量数量积公式，求出，然后根据三角形面积公式即可求解；
（2）由，结合余弦定理即可求出的值.
（1）
∵，
∴
∵
∴，即
∴
（2）
由余弦定理可得.
∵
∴
∴.
19．（2023·河南焦作·高二期中（理））在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，.
（1）求的外接圆的半径；
（2）求的面积.
答案：
（1）
（2）
分析：
（1）利用正弦定理边角关系及三角形内角的性质可得，结合已知求得，再由正弦定理即可求半径.
（2）由正弦定理求a，再由三角形面积公式求的面积.
（1）
由题设及正弦定理，有，
∴，而，故，
又，即.
（2）
由题设知：，则，
∴.
20．（2023·上海·曹杨二中高三期中）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）设方程在上的两个解为和（），求的值；
（3）在中，角､､的对边分别为､､.若，，且，求的面积.
答案：
（1）最大值，最小值
（2）
（3）
分析：
（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；
（2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；
（3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求.
（1）
由题意知，又，
故当且仅当时，取最大值；当且仅当时，取最小值.
（2）
令，化简得，
解得或．
由于，故，．
于是．
令，则，
因此．
（3）
由题意知，
由于，解得．
在△中，由正弦定理知，
故，，
代入题目条件得
在△中，由余弦定理知，
将上式代入得，
解得，
因此△的面积．
21．（2023·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）；（2）存在，且.
分析：
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
22．（2023·全国·高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
答案：（1）证明见解析；（2）.
分析：
（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.
【详解】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.