新高考高中数学核心知识点全透视专题4.4对数与对数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.4对数与对数函数(专题训练卷)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了4 对数与对数函数，5B．1， 已知lgab＝lgba．求证，设实数且，函数．等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2023·山东高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国高一课时练习）计算lg2·lg3·lg5＝（ ）
A．8B．6
C．－8D．－6
3.已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（ ）
A.B.
C. D.
4．（2023·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·河南高三月考（理））已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
8．（2023·天津高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2023·广东荔湾·广雅中学高三月考）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则.
B．若，则
C．若且，则.
D．若，则
10．（2023·广州市培正中学高二开学考试）下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·湖南湘潭·高三一模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·福建高三月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程有个不相等的实数解，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）已知，，则________．
14．（2023·全国高一课时练习），，的大小关系是________.
15．（2023·无锡市第一中学高三月考）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________.
16．（2023·浙江高三月考）已知函数（且）且，①若，则________，②若函数的值域是，则实数的取值范围是_____________．
四、解答题
17. （2023·全国高一课时练习）已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
18．（2023·如皋市第一中学高一月考）（1）计算化简：
（2）；
（3）；
19．（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．
（1）解关于的不等式；
（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．
20．（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，
（1）求实数的值；
（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
21．（2023·全国高一课时练习）设同时满足条件和对任意，都有成立.
（1）求的解析式；
（2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求.
22.（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．
（1）解关于的不等式；
（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．
专题4.4 对数与对数函数（专题训练卷）
一、单选题
1．（2023·山东高考真题）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：
根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】
由题知：，解得且.
所以函数定义域为.
故选：B
2．（2023·全国高一课时练习）计算lg2·lg3·lg5＝（ ）
A．8B．6
C．－8D．－6
答案：C
分析：
利用对数运算公式，换底公式，化简求值.
【详解】
原式
.
故选：C
3.已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（ ）
A.B.
C. D.
答案：B
【解析】
，
，即，
，
与互为反函数，图象关于对称.
故选B.
4．（2023·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：
根据对数不等式的运算得出，结合选项并根据充分条件和必要条件的定义，即可判断得出答案.
【详解】
解：依题意，解得：，
观察可知，A是必要不充分条件，B是充要条件，
C是充分不必要条件，D是既不充分也不必要条件.
故选：C.
5．（2023·河南高三月考（理））已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是，则根据指数函数的性质，列式求实数的取值范围.
【详解】
时，，时，，
若要使得存在最小值，只需要，即.
故选：D.
6．（2023·全国高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：
对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即.
故选：C.
7．（2023·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（）
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
答案：C
分析：
根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】
由，当时，，
则.
故选：C.
8．（2023·天津高考真题）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
分析：
由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解.
【详解】
设，则函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数，排除AC；
当时， ，所以，排除D.
故选：B.
二、多选题
9．（2023·广东荔湾·广雅中学高三月考）已知，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则.
B．若，则
C．若且，则.
D．若，则
答案：ABD
分析：
根据均值不等式最值公式对选项一一判断即可．
【详解】
对A，，当时等号成立，故正确；
对B，因为，所以，则，故正确；
对C，且
则，故错；
对D，因为，所以，故正确．
故选：ABD
10．（2023·广州市培正中学高二开学考试）下列说法正确的有（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
分析：
根据指对幂函数的单调性对选项一一判断即可．
【详解】
对A，函数在上单调增，则正确；
对B，正确；
对C，由于在上是增函数，所以，正确；
对D，函数在上单调增，则，则D错．
故选：ABC．
11．（2023·湖南湘潭·高三一模）若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
分析：
对于A，有，所以A正确；
对于B，分析得，所以B不正确；
对于C，分析得到，所以C正确；
对于D，作差法得到 ，所以D正确.
【详解】
由已知，有，．
对于A，有，所以A正确；
对于B，因为，且，，，所以，得，所以B不正确；
对于C，因为，且，，，所以，所以C正确；
对于D，因为，而，
因为，所以，故，所以D正确.
故选：ACD．
12．（2023·福建高三月考）已知函数（且）在上单调递减，且关于的方程有个不相等的实数解，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
答案：AB
分析：
利用函数是减函数，根据二次函数和对数的图象和性质判断出的范围，利用与函数的图象有个交点，数形结合即可求解．
【详解】
因为是上单调递减函数，
所以即，所以，
作出函数与的图象，如图：
由图知：方程在上只有一解，
因为方程有个不相等的实数解，
则在只有一解，
所以，可得
所以实数的取值范围为，故选项AB正确；
故选：AB.
三、填空题
13．（2023·全国高一课时练习）已知，，则________．
答案：##
分析：
根据指对互化可表示出，由指数幂的运算性质可求得结果.
【详解】
，，，，.
故答案为：.
14．（2023·全国高一课时练习），，的大小关系是________.
答案：
分析：
根据指数函数和对数函数的单调性，比较三个数和的大小关系即可求解.
【详解】
因为单调递增，所以；
因为在上单调递增，所以；
因为在上单调递减，所以；
所以，
故答案为：.
15．（2023·无锡市第一中学高三月考）设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是___________.
答案：
分析：
易得，再根据f（x）是奇函数，求得，然后由求解.
【详解】
因为函数f（x）=，
所以，
又因为f（x）是奇函数，
所以，
又，
所以.
故答案为：-3
16．（2023·浙江高三月考）已知函数（且）且，①若，则________，②若函数的值域是，则实数的取值范围是_____________．
答案：
分析：
先计算的值，再计算的值；先由二次函数的性质计算当时，函数的值域是，可得当时，函数的值域为的子集，经分析可得，只需即可求得的取值范围.
【详解】
当时，，
所以，
所以；
当时，，
当时，取得最大值，
所以当时，函数的值域是，
所以当时，函数的值域为的子集，
当时，在上单调递增，此时，
此时不符合题意，
当时，在上单调递减，
此时，即，所以，
可得，
所以实数的取值范围是：，
故答案为：；.
四、解答题
17. （2023·全国高一课时练习）已知lgab＝lgba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．求证：a＝b或a＝.
答案：证明见解析
分析：
利用指、对数互化得到k＝±1，分类讨论即可证明a＝b或a＝.
【详解】
设lgab＝lgba＝k，则b＝ak，a＝bk，所以，
因为b>0，且b≠1，所以k2＝1，即k＝±1.
当k＝－1时，a＝；
当k＝1时，a＝b.
所以a＝b或a＝，命题得证．
18．（2023·如皋市第一中学高一月考）（1）计算化简：
（2）；
（3）；
答案：（1）；（2）；（3）.
分析：
（1）将根式化成分数指数幂，再根据指数幂的运算性质化简即可求解；
（2）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；
（3）利用对数的运算性质以及换底公式化简即可求解；
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
；
（3）
.
19．（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．
（1）解关于的不等式；
（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．
答案：（1）当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；（2）．
分析：
（1）根据对数函数的性质，分两种情况讨论分别解出来即可；（2）根据方程有实数根列出等式，然后分离常数，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）解：当时，解得，
当时，解得，
故当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：．
（2）注意到方程有解的范围是，
，
令，则，
当t=2等号成立
故所求的取值范围为．
20．（2023·山东高考真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16，
（1）求实数的值；
（2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围．
答案：（1）；（2）．
分析：
（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解；
（2）根据的定义域是，由恒成立求解．
【详解】
（1）当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值16，即，
因此．
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值16，即，
因此．
（2）因为的定义域是，
即恒成立．
则方程的判别式，即，
解得，
又因为或，因此．
代入不等式得，即，
解得，
因此实数的取值范围是．
21．（2023·全国高一课时练习）设同时满足条件和对任意，都有成立.
（1）求的解析式；
（2）设函数的定义域为，且在定义域内.若函数的图象与的图象关于直线对称，求.
答案：（1）；（2）.
分析：
（1）由求出的值，由可求得的值，进而可得的解析式；
（2），根据单调性求出的值域即为的定义域，设点是函数的图象上任意一点，点在函数的图象上，代入解析式，进而可得.
【详解】
（1）由，得，
由，得，
即对任意恒成立，
因为，所以，可得：，
所以.
（2）由题意知，当时，，
因为在上单调递增，所以，
设点是函数的图象上任意一点，它关于直线对称的点为，依题意知点应该在函数的图象上，
即，所以，
即.
22.（2023·安徽相山·淮北一中高二月考）设实数且，函数．
（1）解关于的不等式；
（2）设，如果方程有实根，求的取值范围．
答案：（1）当时，原不等式的解集为：；当时，原不等式的解集为：；（2）．
分析：
（1）根据对数函数的性质，分两种情况讨论分别解出来即可；（2）根据方程有实数根列出等式，然后分离常数，利用基本不等式求解.
【详解】
（1）解：当时，解得，
当时，解得，
故当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：．
（2）注意到方程有解的范围是，
，
令，则，
当t=2等号成立
故所求的取值范围为．