新高考高中数学核心知识点全透视专题4.5函数的应用(二)(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题4.5函数的应用(二)(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了5函数的应用，函数与方程，二分法求函数零点步骤的记忆口诀等内容，欢迎下载使用。


一、核心素养
1．结合具体函数考查函数与方程，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
2.利用给出的具体函数模型解决实际问题，凸显数学运算的核心素养．
3．给出具体实际问题，借助所学基本初等函数的特点，建立恰当的函数模型解决实际问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.函数与方程
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
2.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义.
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
三、主干知识梳理
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
3．四种函数模型的性质
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax>xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，lgax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，lgax可能会大于xn，但由于lgax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax＜xn＜ax.
二、真题展示
1. （2023·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
2. （2023·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点01 求函数的零点
【典例1】（2023·上海高一课时练习）已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
【典例2】（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是______.
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
考点02 判断零点所在的区间
【典例3】（2023·嫩江市高级中学高三月考（文））已知函数f(x)＝－lg2x，则f(x)的零点所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(2，3)
C．(3，4)D．(4，＋∞)
【典例4】（2023·山东省莱州一中高二月考）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【总结提升】
1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.
2.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．
考点03 函数零点个数的判断
【典例5】（2023·北京市第九中学高三月考）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【典例6】(2023·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【总结提升】
判断函数零点个数的方法：
（1）直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；
（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.
（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
考点04 根据函数零点情况求参数值或范围
【典例7】（2023·全国高一课时练习）已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例8】（2023·湖北省高一期末）若函数的零点为，且，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
【总结提升】
根据函数零点情况求参数值或范围的方法：
（1）直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，解中含有参数，根据解的范围求解；
（2）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；根据图象位置确定参数范围.
（3）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，从而建立不等式.
考点05 用二分法求方程的近似解
【典例9】（2023·全国高一课时练习）用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A．(2，4)B．(2，3)
C．(3，4)D．无法确定
【典例10】（2023·甘肃省武威十八中高二期中（文））华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.
A．3B．4C．6D．7
【总结提升】
1.运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．,
2.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
3.二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来说了算．
考点06 函数模型的增长差异
【典例11】下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
【典例12】已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.
【总结提升】 三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝lgax增长越快，一般来说，ax＞lgax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
考点07 函数模型及其应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
【典例13】（2023·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
【典例14】（2023·东北育才学校高三其他（文））人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比( )
A．100B．1000C．D．
【典例15】（2023·上海高二课时练习）有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．
【总结提升】
1.解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
2．在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．
1.（2023·河北省鹿泉区第一中学高二月考）下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
A．B．C．D．
2.（2023·北京大峪中学高二期中）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（ ）
A．1．2B．1．3C．1．4D．1．5
3. （2023·绥德中学高一月考）一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
4.（2023·天津高三二模）已知函数若函数 的零点个数为2，则（ ）
A．或B．
C．或D．
5．（2023·石嘴山市第三中学高二月考（文））“”是“函数在区间上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·北京市第一六一中学高三月考）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A．B．C．2D．4
7.（2023·四川省宜宾市第四中学校高二月考（文））光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）
8.（2023·江西省宜丰中学高二月考（文））已知函数，则函数的零点的个数是________.
9．（2023·安徽省枞阳县浮山中学高二开学考试（理））已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为__________.
10.（湖南高考真题）已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________．
条件
结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b)< 0
函数
性质
y＝ax
(a＞1)
y＝lgax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
y＝kx＋b
(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而不同
直线上升
x
2x
x2
2x＋7
lg2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.322
6
64
36
19
2.585
7
128
49
21
2.807
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.170
10
1 024
100
27
3.322
专题4.5函数的应用（二）（精讲精析篇）
一、核心素养
1．结合具体函数考查函数与方程，凸显数学运算、直观想象的核心素养.
2.利用给出的具体函数模型解决实际问题，凸显数学运算的核心素养．
3．给出具体实际问题，借助所学基本初等函数的特点，建立恰当的函数模型解决实际问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.函数与方程
(1)结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
(2)根据具体函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解.
2.函数模型及其应用
(1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义.
(2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
三、主干知识梳理
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2。函数零点的判定定理
3．四种函数模型的性质
4．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax>xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝lgax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，lgax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，lgax可能会大于xn，但由于lgax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝lgax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝lgax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有lgax＜xn＜ax.
二、真题展示
1. （2023·海南高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
答案：B
分析：
根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】
因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
2. （2023·天津高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】
注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.

考点01 求函数的零点
【典例1】（2023·上海高一课时练习）已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________．
答案：2或0
【解析】
f(x－1)＝(x－1)2－1，
令f(x－1)＝0即(x－1)2＝1，
∴x－1＝1或x－1＝－1，
∴x＝2或0.
【典例2】（2023·安徽省滁州中学高三月考（文））定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是______.
答案：12
分析：
由以及为奇函数可得，是以4为周期的周期函数，因此考虑的一个周期，例如，通过单调性、对称性和正负分析可知方程在一个周期内有且仅有两个实数根，当时，方程的两实数根之和为2，结合周期性即得解
【详解】
由知函数的图象关于直线对称，
下面证明是一个周期函数，
由是R上的奇函数
，
所以是以4为周期的周期函数.
考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，
在上是减函数，在上是增函数.
对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数根.
在和上，
则方程在和上没有实数根.
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根.
当时，方程的两实数根之和为2，
当时，方程的所有四个实数根之和为.
故答案为：12
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
考点02 判断零点所在的区间
【典例3】（2023·嫩江市高级中学高三月考（文））已知函数f(x)＝－lg2x，则f(x)的零点所在的区间是（ ）
A．(0，1)B．(2，3)
C．(3，4)D．(4，＋∞)
答案：C
分析：
先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案.
【详解】
由在上单调递减，在上单调递减
所以函数在上单调递减
又
根据函数f(x) 在上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.
故选：C
【典例4】（2023·山东省莱州一中高二月考）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
，，
，，
，由.
故选：C
【总结提升】
1.判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.
2.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断．
考点03 函数零点个数的判断
【典例5】（2023·北京市第九中学高三月考）函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
分析：
通过令，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
【详解】
解：函数，令，得即
在同一坐标系中作出与的图象，
由图可得零点的个数为2．
故选：B
【典例6】(2023·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：A
【解析】
当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时,,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.
【总结提升】
判断函数零点个数的方法：
（1）直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；
（2）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
（3）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；将函数f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差，根据f(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数就是函数y＝h(x)和y＝g(x)的图象的交点个数.
（4）性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
考点04 根据函数零点情况求参数值或范围
【典例7】（2023·全国高一课时练习）已知函数，若方程恰有三个根，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
由题意得，函数与函数有三个不同的交点，结合图象可得出结果.
【详解】
解：由题意可得，直线与函数至多有一个交点，
而直线与函数至多两个交点，
函数与函数有三个不同的交点，
则只需要满足直线与函数有一个交点
直线与函数有两个交点即可，
如图所示，与函数的图象交点为，，
故有.
而当时，直线和射线无交点，
故实数的取值范围是.
故选：A.
【典例8】（2023·湖北省高一期末）若函数的零点为，且，，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
因为函数在单调递增，
因为，，
，
所以，所以.
故选：C.
【总结提升】
根据函数零点情况求参数值或范围的方法：
（1）直接法：即直接求零点，令f(x)＝0，解中含有参数，根据解的范围求解；
（2）图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数；根据图象位置确定参数范围.
（3）定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，从而建立不等式.
考点05 用二分法求方程的近似解
【典例9】（2023·全国高一课时练习）用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是（ ）
A．(2，4)B．(2，3)
C．(3，4)D．无法确定
答案：B
分析：
根据零点存在定理确定．
【详解】
解析：因为f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
所以f(3)·f(4)>0，所以x0∈(2，3)．
故选：B．
【典例10】（2023·甘肃省武威十八中高二期中（文））华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等.他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”.“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法.在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者.某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者.现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（ ）次检测.
A．3B．4C．6D．7
答案：B
【解析】
先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本混合检查，为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了4次检测.所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测.
故选：B.
【总结提升】
1.运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．,
2.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
3.二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来说了算．
考点06 函数模型的增长差异
【典例11】下面是f(x)随x的增大而得到的函数值表：
试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长速度快慢有什么不同？
答案：见解析
【解析】(1)随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
(2)由图表可以看出：各函数增长速度快慢不同，其中f(x)＝2x的增长速度最快，而且越来越快；其次为f(x)＝x2，增长的幅度也在变大；而f(x)＝2x＋7增长速度不变；增长速度最慢的是f(x)＝lg2x，而且增长的幅度越来越小．
【典例12】已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，在同一坐标系下作出了它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.
答案：见解析
【解析】列表：
描点、连线，得如图所示图象：
则函数f(x)＝2x对应的图象为C2，函数g(x)＝x3对应的图象为C1.
∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)，
∴1从图象上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．,
【总结提升】 三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝lgax增长越快，一般来说，ax＞lgax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
考点07 函数模型及其应用
(1)用已知的函数模型刻画实际问题；
(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．其基本过程如图所示．
【典例13】（2023·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A．B．
C．D．
答案：D
分析：
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】
由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【典例14】（2023·东北育才学校高三其他（文））人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比( )
A．100B．1000C．D．
答案：B
【解析】
设90dB的声音与60dB的声音强度分别为，
则，即，解得.
由，即，解得.
因此所求强度之比为.
故选：B
【典例15】（2023·上海高二课时练习）有浓度为a%的酒精一满瓶共m升，每次倒出n升，再用水加满，一共倒了10次，则加了10次水后瓶中的酒精浓度是________．
答案：
【解析】
第1次加满水后，瓶中酒精的浓度为，
第2次加满水后，瓶中酒精的浓度为，
依次可得第x次加满水后，瓶中酒精的浓度为．
故加了10次水后瓶中的酒精浓度是 .
【总结提升】
1.解答函数在实际问题中的应用题目，应认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
2．在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重．同时求分段函数的最值时，应在每一段上分别求出各自的最值．然后比较哪一个最大(小)取哪一个．
1.（2023·河北省鹿泉区第一中学高二月考）下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
A．B．C．D．
答案：C
【解析】
能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．
故选C．
2.（2023·北京大峪中学高二期中）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0．1）为（ ）
A．1．2B．1．3C．1．4D．1．5
答案：C
【解析】
由题意，根据表格中的数据，可得，，
可得，所以方程的一个近似根为.
故选：C.
3. （2023·绥德中学高一月考）一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x
答案：B
【解析】
根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意04.（2023·天津高三二模）已知函数若函数 的零点个数为2，则（ ）
A．或B．
C．或D．
答案：D
【解析】
如图，可得的图象.令，当时，不符合题意；当时，得，若，则满足可得；若，因左支已交于一点，则右支必然只能交于一点，当时，因为，所以在上有两个交点，不合题意舍去，当时，则需解得，故选D.
5．（2023·石嘴山市第三中学高二月考（文））“”是“函数在区间上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
若函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点，
则f（﹣1）f（1）≤0，
即（a+3）（﹣a+3）≤0，
故（a+3）（a﹣3）≥0，
解得a≥3或a≤﹣3，
即a＜﹣4是a≥3或a≤﹣3的充分不必要条件，
故“a＜﹣4”是函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点的充分不必要条件，
故选A
6．（2023·北京市第一六一中学高三月考）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（ ）
A．B．C．2D．4
答案：A
分析：
对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】
（1）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则，
因为，所以.
综上，的取值范围是
故选：A
7.（2023·四川省宜宾市第四中学校高二月考（文））光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）
答案：7
【解析】
设至少需块玻璃板，
由题知，
即，
取对数，
即，
即，
，
∴．
8.（2023·江西省宜丰中学高二月考（文））已知函数，则函数的零点的个数是________.
答案：4
【解析】
，
当时，，
令，则，
解得，
当时，，
令得，
作出函数，的图像，
由图像可知，与有两个交点，与有一个交点，
则的零点的个数为4.
故答案为：4
9．（2023·安徽省枞阳县浮山中学高二开学考试（理））已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为__________.
答案：3
【解析】
的零点问题可以转化成与的交点,而函数的零点问题可以看成与的交点,结合反函数的求解得出与互为反函数,关于对称,绘制函数图像,得到
结合对称可知,,而,所以,而,G点坐标为,所以
10.（湖南高考真题）已知函数若存在实数a，使函数g(x)=f(x)-a有两个零点，则实数m的取值范围是________．
答案：
【解析】
∵有两个零点，
∴有两个零点，即与的图象有两个交点，
由可得，或．
①当时,函数的图象如图所示，此时存在满足题意，故满足题意．
②当时,由于函数在定义域R上单调递增，故不符合题意．
③当时,函数单调递增，故不符合题意．
④时,单调递增，故不符合题意．
⑤当时,函数的图象如图所示,此时存在使得与有两个交点．
综上可得或．
所以实数的取值范围是．条件
结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b)< 0
函数
性质
y＝ax
(a＞1)
y＝lgax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
y＝kx＋b
(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而不同
直线上升
x
2x
x2
2x＋7
lg2x
1
2
1
9
0
2
4
4
11
1
3
8
9
13
1.585
4
16
16
15
2
5
32
25
17
2.322
6
64
36
19
2.585
7
128
49
21
2.807
8
256
64
23
3
9
512
81
25
3.170
10
1 024
100
27
3.322
x
…
－1
0
1
2
3
…
f(x)
…
eq \f(1,2)
1
2
4
8
…
g(x)
…
－1
0
1
8
27
…