2024年河南师大附中中考数学四模试卷（含答案）

这是一份2024年河南师大附中中考数学四模试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，最小的数是( )
A. 0B. 3C. − 3D. −1
2.某几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的俯视图可能是( )
A. B. C. D.
3.华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为( )
A. 0.28×10−7B. 2.8×10−9C. 2.8×10−8D. 2.8×10−10
4.下面式子计算正确的是( )
A. (−2a)(−a)2=2a3B. 4a2÷2a2=2a2
C. −(−a2)3=a6D. (a−b)(−a+b)=b2−a2
5.如图，已知平行线a，b，一个直角三角板的直角顶点在直线a上，另一个顶点在直线b上，若∠1=70°，则∠2的大小为( )
A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°
6.不等式8−4x5D. m0)的图象经过点B、C．
(1)求反比例函数的关系式和点C的坐标；
(2)求▱ABCD的面积．
19.(本小题9分)
学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品，已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本．
(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半，如何购买使得所需费用最少？最少费用是多少？
20.(本小题9分)
阅读材料：尺规作图是起源于古希腊的数学课题，是指用没有刻度的直尺和圆规作图.无刻度直尺在作图时只可用来画直线、射线或线段.请根据以上材料按要求进行作图．
(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，请用无刻度直尺与圆规在BC边上作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切.(保留作图痕迹，不需说明作图步骤)
(2)如图2，在正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D是网格中的四个格点，且∠ACB=90°．
作图：请在图2中仅用无刻度直尺作出一点O，使得⊙O过点C且与AB相切于点D(保留作图痕迹，不需说明作图步骤)
21.(本小题9分)
(1)小明发现：两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
①小亮通过举例验证：(2+1)2+(2−1)2=10为偶数.请你把10的一半表示为两个正整数的平方和；
②设“小明发现”中的两个已知正整数为m，n，请你说明“小明发现”中的结论一定正确．
(2)小颖受到小明和小亮的启发，通过观察下列两个两位数的积(两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10)：91×99，92×98，⋯，98×92，99×91.设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为90+x(x为小于10的正整数)，她发现了y与x的关系式.请你求出该关系式．
22.(本小题10分)
嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A(6,1)处发球，羽毛球(看成点)的运动路线为抛物线C1的一部分.当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点B(0,c)处将球击回.在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界.与球网的距离均为7m(注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规)．
(1)求抛物线C1的解析式和c的值(不必写x的取值范围)；
(2)当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：y=−15x2+85+c的一部分．
①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？
②嘉嘉在球场上C(d,0)处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度125m，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围．
23.(本小题10分)
综合与实践数学活动课上，张老师找来若干张等宽的矩形纸条，让学生们进行折纸探究．
(1)希望小组将如图(1)所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为BE．
埴空：图(1)中四边形ABA1E的形状是______．
(2)智慧小组准备了一张如图(2)所示的长、宽之比为( 2+1)： 2的矩形纸片ABCD，用希望小组的方法折叠纸片.得到四边形ABA1E，接着沿过点C的直线折叠纸片，使点D落在EA1上的点M处，折痕为CF．
求∠MCD的度数．
(3)勤奋小组拿着一张如图(3)所示长为5，宽为2的矩形纸片ABCD，利用希望小组的方法折叠纸片，得到四边形ABA1E，在ED上取一点F(不与点D，E重合)，沿CF折叠△CDF.点D的对应点为M，射线FM交直线BC于点Y．
①FY与CY的数量关系为______．
②当射线FM经过△BA1E的直角边的中点时，直接写出FD的长．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.C
7.B
8.D
9.C
10.B
11.x>2
12.23
13.(150+150 3)米
14.2
15.83或247
16.解：(1)4sin45°+(12)−1+(4+π)0− 8
=4× 22+2+1−2 2
=2 2+2+1−2 2
=3；
(2)(2x+1x+1+x−1)÷x+2x2+2x+1
=2x+1+(x−1)(x+1)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+2)x+1⋅(x+1)2x+2
=x(x+1)
=x2+x．
17.解：(1)360°×(1−24%−32%−4%−8%)=115.2°，
答：圆心角度数为115.2°．
(2)小丽的说法不正确，
从25名同学中选12名同学参赛，说明小丽的成绩只要达到中位数就能参赛．
小丽同学训练前成绩为3.5分，从训练前成绩统计图看，1～3分有4人，3～5分有5人，4+5=950%，
因此成绩的中位数在“7～8”分之间，她很有可能排在前12名，有被录取的可能性．
(3)从平均数看，8分=8分，李敏，张颖平均水平相同．
结合众数看，9分>8分，李敏成绩更好，应该选李敏．
结合中位数看，9分>8分，李敏成绩高分较多，应该选择李敏．
结合方差看，0.0040)的图象经过点B，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数为y=6x，
∵直线y=2x+4与y轴交于点A，与x轴交于点E，
∴A(0,4)，E(−2,0)，
∵B(1,6)
∴点A向上平移2个单位，向右平移1个单位得到B，
设D(m.0)，则C(m+1,2)，
∵反比例函数y=6x(x>0)的图象经过点C，
∴2(m+1)=6，
∴m=2，
∴D(2,0)，C(3,2)，
(2)延长BC交x轴于点F，
设直线BC为y=k′x+b，
把B、C的坐标代入得k′+b=63k′+b=2，
解得k′=−2b=8，
∴直线BC为y=−2x+8，
∴F(4,0)，
∴▱ABCD的面积S=S△BEF−S△AED−S△CDF=12×(4+2)×6−12×(2+2)×4−12×(4−2)×2=8．
19.解：(1)设乙种图书的单价为x元/本，则甲种图书的单价为1.5x元/本，
根据题意得：600x−6001.5x=10，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的根，且符合题意，
∴1.5x=30．
答：甲种图书的单价为30元/本，乙种图书的单价为20元/本．
(2)设购买甲种图书m本，则购买乙种图书(40−m)本，
根据题意得：m≥12(40−m)，
解得：m≥403，
∵m为整数，
∴m≥14．
设购书费用为y元，则y=30m+20(40−m)=10m+800，
∵10>0，
∴y随m的增大而增大，
∴当m=14时，y取最小值，最小值=10×14+800=940．
答：购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少，最少费用为940元．
20.解：(1)图形如图1所示：

(2)图形如图2所示．
21.解：(1)①∵12×10=5，而5=1+4=12+22；
∴把10的一半表示为两个正整数的平方和为12+22；
②根据已知得：(m+n)2+(m−n)2=m2+2mn+n2+m2−2mn+n2=2m2+2n2=2(m2+n2)，
∴(m+n)2+(m−n)2=2(m2+n2).
∴两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，
∵(2m2+2n2)÷2=m2+n2．
∴该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．
∴“发现”中的结论“两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和”正确；
(2)∵一个乘数为90+x(x为小于10的正整数)，
∴另一个乘数为90+(10−x)=100−x．
∵这两个两位数的积为y，
∴y=(90+x)(100−x)=9000−90x+100x−x2=−x2+10x+9000．
答：y与x的关系式是y=−x2+10x+9000(x为小于10的正整数)．
22.解：(1)依题意，嘉嘉发球时，球在(3,2)处达到最高点，
设抛物线C1的解析式为y=a(x−3)2+2，
∵C1经过点A(6,1)，
∴1=a(6−3)2+2，
解得a=−19，
∴抛物线C1的解析式为y=−19(x−3)2+2；
当x=0时，y=1，
∴c=1；
(2)①由(1)得c=1，故抛物线C2的解析式为y=−15x2+85x+1，
当x=3时，y=−15×32+85×3+1=4>1.5
∴球可以过网；
当y=0时，−15x2+85x+1=0，
整理得x2−8x−5=0，
解得x1=4− 21(舍去)，x2=4+ 21，
由题意可得，OQ=3+7=10(m)，
∵4+ 21125，
解得1