2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省烟台一中高一（下）月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足z(1+i)=1−i(i是虚数单位)，则z的共轭复数z=( )
A. −iB. − 2iC. iD. 2i
2.为了估计某高中的在校学生人数，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为45的样本，其中高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人.若高二年级有300人，则这所学校共约有高中学生( )
A. 1350人B. 675人C. 900人D. 450人
3.如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的( )
A. 四分位数B. 中位数C. 众数D. 均值
4.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. 12B. 13C. 14D. 16
5.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生的概率是( )
A. 245B. 215C. 715D. 13
6.△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=c= 6+ 2，且A=75°，则b为( )
A. 2B. 4+2 3C. 4−2 3D. 6− 2
7.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α/​/平面A1BD，平面α∩平面ABCD=l，则直线l与直线CD1所成的角为( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
8.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上(含边界)一动点，满足A1P⊥EF，则线段A1P长度的取值范围是( )
A. [1, 52]B. [ 52,32]C. [1, 3]D. [ 2, 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若平面α，β垂直同一个平面，则α/​/β
B. 若l⊥α且m/​/α，则l⊥m
C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线
D. 若l/​/m，且α/​/β，则l与α所成的角和m与β所成的角相等
10.一个盒子里装有2个白球、2个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出1个.设事件A={第一次取出白球}，事件B={第二次取出黑球}，事件C={两次至少取出1个白球}，事件D={两次至少取出1个黑球}，事件E={两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是( )
A. A与B相互独立B. A与C互斥C. C与D互斥D. C与E互为对立
11.如图，把等腰Rt△ABC沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面.下面四个结论中正确的是( )．
A. BD⊥平面ACD
B. △ABC为等边三角形
C. 平面ADC⊥平面ABC
D. 点D在平面ABC内的射影为△ABC的外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z1=a+i，z2=3−4i，其中i为虚数单位，若z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．
13.已知平面向量α，β，|α|=1，|β|=2，α⊥(α−2β)，则|2α+β|的值是 ．
14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6 cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O.E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．
(1)求这组数据的平均数M；
(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
16.(本小题15分)
如图，多面体ABCDE中，BE/​/CD，BE⊥BC，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．
(1)若N是线段AE的中点，求证：MN/​/平面ACD；
(2)若BE=1，BC=2，CD=3，求证：DE⊥平面AME．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，设向量a=(csα,sinα)，b=(−sinβ,csβ)，c=(−12, 32)．
(1)若|a+b|=|c|，求sin(α−β)的值；
(2)设α=5π6，0