2023-2024学年山东省烟台市莱州一中高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省烟台市莱州一中高一（下）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若|AB |=|AD |且BA=CD，则四边形ABCD的形状为
( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
2.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( )
A. a+bB. −a−bC. a−bD. b−a
3.在△ABC中，若点D满足BD=2DC，则AD=( )
A. 13AC+23ABB. 53AB−23ACC. 23AC−13ABD. 23AC+13AB
4.在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2−a2−b22ab>0，则△ABC( )
A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形D. 是锐角或直角三角形
5.已知向量a=(1,2)，b=(−2,−4)，|c|= 5，若(c−b)⋅a=152，则a与c的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.已知函数fx为R上的偶函数，且对任意x1,x2∈0,+∞，均有x1−x2fx1−fx2<0成立，若a=f 2，b=flg213，c=fe13，则a，b，c的大小关系为
( )
A. b7.已知非零向量m，n满足4|m|=3|n|，cs=13.若n⊥(tm+n)，则实数t的值为( )
A. 4B. -4C. 94D. -94
8.定义行列式abcd=ad−bc.若函数f(x)= 3212sinxcsx−12在[−π6,m)上恰有3个零点，则m的取值范围是( )
A. (13π6,7π2)B. (13π6,7π2]C. (17π6,23π6]D. (17π6,23π6)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.非零向量m与n是相反向量，下列正确的是( )
A. m=nB. m=−nC. |m|=|n|D. 方向相反
10.设向量a=(2,0)，b=(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A. |a|=|b|B. a⋅b=2C. a//bD. (a−b)⊥b
11.在△ABC中，下列式于与sinAa的值相等的是( )
A. sinA+sinBa+bB. sinBsinAC. sinCcD. csinC
12.下列说法正确的是( )
A. 若x，y>0，满足x+y=2，则2x+2y的最大值为4
B. 若x<12，则函数y=2x+12x−1的最小值为3
C. 若x，y>0，满足x+y+xy=3，则x+y的最小值为2
D. 函数y=1sin2x+4cs2x的最小值为9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.如图所示，在矩形ABCD中，AB= 2,BC=2，点E在边CD上，且DE=2EC，则AE⋅BE的值是______．
14.已知a，b，c分别为△ABC的三边，且3a2+3b2−3c2+2ab=0，则tan C= ．
15.已知α为锐角且满足1+ 3tan80°=1csα，则α= ______．
16.已知非零向量a=2b+2c，|b|=|c|=1，若a与b的夹角为π3，则|a|= ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
如图所示，四边形OADB是以OA=a,OB=b为边的平行四边形，BM=13BC，CN=13CD，试用a，b表示OM,ON,MN．
18.(本小题12分)
已知|a|=3，b=(1,2)，且a//b，求a的坐标．
已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标．
19.(本小题12分)
在△ABC中，已知c= 6，A=45°，a=2，解这个三角形．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数的解析式．
(2)求函数的单调递增区间．
(3)当x∈[0,π2]时，求f(x)的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−m3x−1为奇函数．
(1)求实数m的值及函数f(x)的值域；
(2)若不等式a⋅f(x)−f(2x)>0对任意x>0都成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinAa= 3csCc．
(1)求角C的大小；
(2)如果a+b=6，CA⋅CB=4，求c的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的相等与平行四边形以及菱形的判定问题，属于基础题．
由向量相等，得出四边形ABCD是平行四边形；由模长相等，得出平行四边形ABCD是菱形．
【解答】解：四边形ABCD中，
∵BA=CD，
∴BA/​/CD，且BA=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又|AB|=|AD|，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：AB=CB−CA=−BC−CA=−a−b=−(a+b)=−a−b，
故选：B．
利用减法的三角形法则可得答案．
本题考查向量的减法及其几何意义，属基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目．
根据平面向量的线性表示与运算性质，进行计算即可．
【解答】
解：如图所示，
△ABC中，BD=2DC，
∴BD=23BC=23(AC−AB)，
∴AD=AB+BD
=AB+23(AC−AB)
=13AB+23AC．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：∵c2=a2+b2−2abcsC，且c2−a2−b 22ab>0
∴csC=a2+b2−c 22ab<0．
则△ABC是钝角三角形．
故选：C．
通过余弦定理，求得csC的值，然后判断三角形形状．
本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用．一般是通过已知条件，通过求角的余弦值是解题的最佳方案．
5.【答案】C
【解析】解：由a=(1,2),b=(−2,−4)，得a⋅b=−10，
所以(c−b)⋅a=c⋅a−b⋅a=c⋅a+10=152，
所以c⋅a=−52，
设a与c的夹角为θ，则csθ=a⋅c|a||c|=−52 5× 5=−12，
又因为θ∈[0,π]，
所以θ=π3．
故选：C．
展开(c−b)⋅a=152，可得c⋅a，再利用夹角公式求解即可．
本题考査了平面向量的数量积与夹角的运算问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
【解答】
解：由题意得，偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，
b=f(lg213)=f(−lg23)=f(lg23)， 26=8，(e13)6=e2，而8>e2，
故 2>e13，
又lg23=1+lg232>1+lg2 2=32> 2，
所以lg23> 2>e13>0，
又f(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以f(lg23)所以b故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】若n⊥(tm+n)，则n⋅(tm+n)=0，进而可得实数t的值．
本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题
【解答】解：∵4|m|=3|n|，cs=13，n⊥(tm+n)，
∴n⋅(tm+n)=tm⋅n+n2=t|m|⋅|n|⋅13+|n|2=(t4+1)|n|2=0，
解得：t=−4，
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：函数f(x)= 3212sinxcsx−12= 32csx−12sinx−12=cs(x+π6)−12，
x∈[−π6,m)时，x+π6∈[0,π6+m)，
因为f(x)在[−π6,m)上恰有3个零点，
所以2π+π3<π6+m≤2π+5π3，解得13π6所以m的取值范围是(13π6,7π2].
故选：B．
由题意化函数f(x)为余弦型函数，根据x的取值范围，结合余弦函数的图象与性质，即可求出m的取值范围．
本题利用行列式考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
9.【答案】BCD
【解析】解：∵非零向量m与n是相反向量，
∴m=−n，|m|=|n|，且m与n方向相反，
故选：BCD．
利用相反向量的定义逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了相反向量的定义，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：由a=(2,0)，b=(1,1)，可得|a|=2，|b|= 2，故A错误；
由a⋅b=2×1+0×1=2，可知B正确；
由2×1−1×0≠0，可得a与b不平行，故C错误；
由a−b=(1,−1)，可得1×1+(−1)×1=0，即(a−b)⊥b，故D正确．
故选：BD．
由向量模长公式可判定A；由数量积的坐标运算可判定B；由向量平行的坐标关系可判定C；由数量积的性质可判定D．
本题考查平面向量的坐标运算，考查向量平行及垂直的性质，属基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：由正弦定理可得，asinA=bsinB=csinC=a+bsinA+sinB，
则sinAa=sinBb=sinCc=sinA+sinBa+b．
故选：AC．
根据正弦定理求解即可．
本题考查正弦定理的应用，属于基础题．
12.【答案】CD
【解析】解：A，若x，y>0，x+y=2，则2x+2y⩾2 2x+y=2×2=4，当且仅当x=y=1时等号成立，没有最大值，故A错误；
B，若x<12，即2x−1<0，则函数y=2x−1+12x−1+1≤−2 (2x−1)⋅12x−1+1=−1，当且仅当x=0等号成立，故B错误；
C，若x，y>0，xy=3−(x+y)≤(x+y)24，所以(x+y)2+4(x+y)−12≥0，所以(x+y+6)(x+y−2)≥0，所以x+y≥2，(当且仅当x=y=1时取等)，所以x+y的最小值为2，故C正确；
D，y=1sin2x+4cs2x=(sin2x+cs2x)(1sin2x+4cs2x)=5+cs2xsin2x+4sin2xcs2x≥5+2 cs2xsin2x⋅4sin2xcs2x=9，当且仅当2sin2x=cs2x时等号成立，故D正确．
故选：CD．
2x+2y没有最大值，即可判断A；函数y=2x−1+12x−1+1≤−2 (2x−1)2x−1+1=−1，即可判断B；x+y的最小值为2，即可判断C；y=1sin2x+4cs2x>9，当且仅当2sin2x=cs2x时等号成立，即可判断D．
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
13.【答案】329
【解析】解：AE=AD+DE=AD+23DC
BE=BC+CE=BC−13DC=AD−13DC，
则AE⋅BE=(AD+23DC)⋅(AD−13DC)=AD2−29DC2+13AD⋅DC=4−29×2=329，
故答案为：329．
由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积运算求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积运算，属基础题．
14.【答案】−2 2
【解析】【分析】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、余弦定理的应用，属于中档题．
△ABC中，由余弦定理求得csC的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinC的值，可得tan C的值．
【解答】解：△ABC中，∵3a2+3b2−3c2+2ab=0，∴csC=a2+b2−c22ab=−23ab2ab=−13，
∴sinC= 1−cs2C=2 23，
故tanC=sinCcsC=−2 2．
故答案为：−2 2．
15.【答案】40°
【解析】解：由1+ 3tan80°=1csα，得 3cs80°sin80°+sin80°sin80∘=2(12sin80°+ 32cs80°)sin80°
=2sin(80°+60°)2sin40∘cs40∘=2sin140°2sin40∘cs40∘=sin40°sin40∘cs40∘=1cs40∘=1csα，
则csα=cs40°，
∵α是锐角，∴α=40°．
故答案为：40°．
利用辅助角公式以及三角函数的倍角公式进行转化求解即可．
本题主要考查三角函数的化简和求解，利用辅助角公式以及倍角公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
16.【答案】2
【解析】解：a⋅b=(2b+2c)⋅b=2b2+2b⋅c=2+2b⋅c．
a−2=4b2+4c2+8b⋅c=8+8b⋅c，
∴a2=4a⋅b，∴|a|2=4|a|×1×cs60°=2|a|，
∵a为非零向量，∴|a|=2．
故答案为：2．
分别计算a⋅b与a2即可得出a2=4a⋅b，代入数量积的定义式列方程解出|a|.
本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
17.【答案】解：∵BM=13BC，BC=CA，∴BM=16BA，
∴BM=16BA=16(OA−OB)=16(a−b).
∴OM=OB+BM=b+16(a−b)=16a+56b．
∵CN=13CD，CD=OC，
∴ON=OC+CN=23OD=23(OA+OB)=23a+23b．
∴MN=ON−OM=23a+23b−16a−56b=12a−16b．
【解析】利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设a=(x,y)，
|a|=3，b=(1,2)，且a//b，
则2x=yx2+y2=9，解得x=3 55y=6 55或x=−3 55y=−6 55；
故a=(3 55,6 55)或a=(−3 55,−6 55)；
(2)设a=(m,n)，
则4m+2n=0m2+n2=1，解得m= 55n=−2 55或m=− 55n=2 55，
故a=( 55,−2 55)或a=(− 55,2 55)
【解析】(1)根据已知条件，结合向量共线的性质，以及向量模公式，即可求解；
(2)根据已知条件，结合向量垂直的性质，以及向量模公式，即可求解．
本题主要考查向量垂直、共线的性质，属于基础题．
19.【答案】解：∵asinA=csinC，
∴sinC=csinAa= 6×sin45°2= 32，
∵C∈(0°,180°)，∴C=60°或C=120°．
当C=60°时，B=75°，b=csinBsinC= 6sin75°sin60°= 3+1；
当C=120°时，B=15°，b=csinBsinC= 6sin15°sin120°= 3−1．
∴b= 3+1，B=75°，C=60°或b= 3，B=15°，C=120°．
【解析】利用正弦定理可求得C=60°或C=120°，分类讨论，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．．
20.【答案】解：(1)由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知，
A=2，T=2×(11π12−5π12)=π，
所以2πω=π，解得ω=2；
由函数图象过点(5π12,0)，
得2sin(5π6+φ)=0，
则5π6+φ=kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π6)；
(2)由函数f(x)的解析式，令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z；
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z；
所以f(x)的单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k∈Z；
(3)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，
则(2x+π6)∈[π6,7π6]，
所以sin(2x+π6)∈[−12,1]，
则f(x)=2sin(2x+π6)的取值范围是[−1,2]．
【解析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
(1)由函数f(x)的图象求得A、T和ω、φ的值，即可写出函数的解析式；
(2)由三角函数的图象与性质，即可求f(x)的单调递增区间；
(3)根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0,π2]时f(x)的取值范围即可．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=3x−m3x−1的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
所以由函数f(x)为奇函数可得：f(−x)=−f(x)，
即3−x−m3−x−1=−3x−m3x−1，即(m+1)(3x−1)=0，所以m=−1．
所以f(x)=3x−m3x−1=3x−1+1−m3x−1=1+1−m3x−1=1+23x−1，
因为3x>0，且3x≠1，所以3x−1>−1，且3x−1≠0，13x−1<−1或13x−1>0，
所以23x−1<−2或23x−1>0，
所以1+23x−1<−1或1+23x−1>1，
所以函数f(x)的值域为(1,+∞)∪(−∞,−1)．
(2)因为不等式a⋅f(x)−f(2x)>0对任意x>0都成立，
所以a(1+23x−1)−(1+232x−1)>0对任意x>0都成立，
所以a>1+232x−11+23x−1对任意x>0都成立，
即a>32x+1(3x+1)2=11+23x+13x对任意x>0都成立，
而3x+13x≥2，当且仅当3x=13x，即x=0时等号成立，
因为x>0，所以3x+13x>2，
所以0<23x+13x<1，所以1<1+23x+13x<2，
所以12<11+23x+13x<1，
所以a≥1．
故实数a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)利用函数f(x)的为奇函数即可求出m的值，再利用指数函数的性质即可求出函数f(x)的值域；
(2)将已知不等式转化为a>32x+1(3x+1)2=11+23x+13x对任意x>0都成立，求出函数y=11+23x+13x的最大值即可得出a的取值范围．
本题考查函数的奇偶性、不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为asinA=csinC，sinAa= 3csCc，
所以sinC= 3csC，即tanC= 3，
由C∈(0,π)，得到C=π3；
(2)由(1)得：csC=csπ3=12
则CA⋅CB=|CA|⋅|CB|csC=12ab，又CA⋅CB=4，所以ab=8，
又因为a+b=−6，根据余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−3ab=12，
由c>0，解得c=2 3．
【解析】(1)根据正弦定理得到一个关系式，然后与已知条件联立即可求出tanC的值，根据C的范围和特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
(2)由(1)中C的度数，求出csC的值，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简CA⋅CB=4，即可求出ab的值，利用余弦定理得到一个关系式，再由a+b的值和求出的ab代入关系式即可求出c的值．
此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理及平面向量的数量积的运算法则化简求值，是一道综合题．