2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷（含答案）

这是一份2024年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学五模试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家.若零上8℃记作+8℃，则零下5℃可记作( )
A. 5℃B. 0℃C. −5℃D. −10℃
2.如图，AB/​/CD，AD⊥AC，若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 36°
B. 46°
C. 54°
D. 126°
3.下列计算正确的是( )
A. 20= 2B. 2 3+3 3=5 6
C. 8=4 2D. 3(2 3−2)=6−2 3
4.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE=2，S△ABD= 5，则CE=( )
A. 5−1
B. 3−1
C. 1
D. 32
6.若直线l1经过(0,4)，l2经过点(2,6)，且l1与l2关于y轴对称，则l1与l2的交点坐标是( )
A. (3,2)B. (2,3)C. (0,4)D. (4,0)
7.如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC.若AB=8，CD=2，则CE的长为( )
A. 8
B. 2 13
C. 3 13
D. 2 15
8.若抛物线y=x2−2x+m−1(m是常数)的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m≥1C. 1≤m<2D. m≤2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.比较大小：3 ______ 10.(填“>”、“<”或“=”)
10.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度.
11.如图，点P是▱ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF/​/BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD.若AE=2，PF=8，∠ABC=60°，则图中阴影部分面积为______．
12.如图，将腰长为4的等腰Rt△ABC放置在平面直角坐标系中，斜边AB在y轴上，直角边BC的中点D在x轴正半轴上，则过点C的反比例函数的解析式为______．
13.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=4 3，∠B=60°，∠D=120°，当四边形ABCD面积最大时，作AE平分该四边形ABCD面积交BC于点E，则此时线段BE的长为______．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
计算：3−27+| 12−4|−2cs30°．
15.(本小题5分)
求满足不等式x+1≥6(x−1)−8的正整数解．
16.(本小题5分)
解方程：x+1x−1−4x2−1=1．
17.(本小题5分)
已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°.请利用尺规作图的方法在边BC上取一点D，使得S△ABD=2S△ACD.(保留作图痕迹，不用写作法)
18.(本小题5分)
在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF．
求证：△ABC是等腰三角形．
19.(本小题5分)
某公司今年10月份的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，问该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是多少．
20.(本小题5分)
小亮、小明两人都握有分别标记为A、B、C、D的四张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人每次各出一张牌，规定A胜B，B胜C，C胜D，D胜A，其他情况均无法分出胜负．
(1)若小亮出“A”牌，则小亮获胜的概率为______；
(2)求小亮、小明各出一次牌就能分出胜负的概率．
21.(本小题6分)
小清和小华练习射箭，第一局12支箭射完后，两人的成绩依次统计如下(单位：环)：
成绩统计表
分析数据如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中：a= ______，b= ______，请根据折线统计图判断小清和小华本次射击成绩方差的大小关系是S12 ______S22(填“>”“<”或“=”)；
(2)求小清成绩的平均数(结果保留一位小数)；
(3)你认为小清和小华相比，谁的射击成绩整体表现更好？并说明理由．
22.(本小题7分)
为了吸引游客，某市动物园推出了甲、乙两种购票方式.设某人一年内去动物园的次数为x，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示：
甲：按照次数收费，门票每人每次20元；
乙：购买一张动物园年卡后，门票每人每次按一定折扣优惠．
(1)分别求出选择甲、乙两种购票方式时，y关于x的函数表达式；
(2)洋洋准备利用暑假多次去动物园完成“生物多样性”课题实践活动，请问他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．
23.(本小题7分)
为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A.B点在A点的南偏东25°方向3 2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．
24.(本小题8分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E，过点D作DF/​/BC，交AB的延长线于点F，连接BD．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AC=4，AF=6，求BC的长．
25.(本小题8分)
如图①：是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”，在如图②：所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部(原点O处)，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，在斜坡上的点A处建有垂直于水平面的城墙AB，已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是(50,25)，OC=5m，OD=75m，AD=12m，AB=9m；

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的表达式；
(2)请判断石块能否飞越城墙AB，并说明理由．
26.(本小题10分)
【问题提出】
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题：
(1)如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为______；
【问题探究】
(2)如图2，已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=90°，AB=6，DE=3，EF在直线AC上运动时，求BE+BD的最小值；
【拓展应用】
(3)如图3，是某公园的示意图，AB、AC、BD是三处栅栏，CD是该公园附近的一条道路(宽度不计)，半圆AM及其内部是一个带舞台的广场.已知∠BAC=∠ABD=90°，CD所对的圆心角为120°，AC与CD所在的圆相切于点C，点E、G在AC上，点F、H在BD上，点M在AB上，矩形EFHG是一条河流在该公园内的一段(EF//AB)，其中半圆AM的直径为300m，AB=600m，AC=700 3m，河岸EF离AB的距离为200 3m，河宽EG为200 3m，为方便运输设备，现计划垂直于河岸造桥QS，使得PQ、QS与ST之和最短，求出此时EQ购长.(结果保留根号)
参考答案
1.C
2.A
3.D
4.B
5.A
6.C
7.B
8.C
9.<
10.45
11.8 3
12.y=4x
13.83 3
14.解：3−27+| 12−4|−2cs30°
=−3+4− 12−2× 32
=−3+4−2 3− 3
=1−3 3．
15.解：x+1≥6(x−1)−8，
∴x+1≥6x−6−8，
∴5x≤15，
∴x≤3，
∴满足不等式的正整数解为：1，2，3．
16.解：方程两边乘以(x+1)(x−1)得：(x+1)2−4=(x+1)(x−1)，
解这个方程得：x=1，
检验：当x=1时，(x+1)(x−1)=0，
原方程无解．
17.解：如图：点D即为所求．

18.证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵BD=DC，DE=DF，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
19.解：设该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是x．
根据题意得2500(1+x)2=3600，
解得x1=0.2，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：该公司11月，12月两个月营业额的月均增长率是20%．
20.14
21.8 7 <
22.解：(1)根据题意，得甲种购票方式y甲关于x的函数表达式y甲=20x；
设乙种购票方式y乙关于x的函数表达式y乙=kx+b(k、b为常数，且k≠0)．
将坐标(0,80)和(12,200)代入y乙=kx+b，
得b=8012k+b=200，
解得k=10b=80，
∴y乙=10x+80．
(2)当洋洋去动物园少于8次时，选择甲种购票方式更划算；等于8次时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；多于8次时，选择乙种购票方式更划算．理由如下：
当y甲当y甲=y乙时，即20x=10x+80，解得x=8；
当y甲>y乙时，即20x>10x+80，解得x>8；
∴当洋洋去动物园少于8次时，选择甲种购票方式更划算；等于8次时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；多于8次时，选择乙种购票方式更划算．
23.解：(1)由题意得：∠NAC=80°，∠BAS=25°，
∴∠CAB=180°−∠NAC−∠BAS=75°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°−∠CAB−∠ABC=60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
(2)过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB=3 2km，∠ABC=45°，
∴AD=AB⋅sin45°=3 2× 22=3(km)，
BD=AB⋅cs45°=3 2× 22=3(km)，
在Rt△ADC中，∠ACB=60°，
CD=ADtan60∘=3 3= 3(km)，
∴BC=BD+CD=(3+ 3)km，
∴检查点B和C之间的距离(3+ 3)km．
24.(1)证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
即∠ABC+∠CBD=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ADB=∠C，
∴∠ABC=∠ADB，
∵BC/​/DF，
∴∠CBD=∠FDB，
∴∠ADB+∠FDB=90°，
即∠ADF=90°，
∴AD⊥DF，
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵AB=AC=4，AF=6，
∴BF=AF−AB=2，
∵∠F=∠F，∠FBD=∠FDA=90°，
∴△FBD∽△FDA，
∴BF：DF=DF：AF，
∴DF2=BF×AF=2×6=12，
∴DF=2 3，
∵DF是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，
∴AD⊥DF，
∵DF/​/BC，
∴BC⊥AD，
∴BC=2BE，
∵BE/​/DF，
∴△ABE∽△AFD，
∴BEDF=ABAF，
∴BE2 3=46，
∴BE=4 33，
∴BC=2BE=8 33．
25.解：(1)∵抛物线的顶点坐标是(50,25)，
∴设抛物线的表达式为：y=a(x−50)2+25，
将点C(0,5)代入得：5=a(0−50)2+25，解得：a=−1125，
∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：y=−1125(x−50)2+25．
(2)当x=75时，y=−1125(75−50)2+25=20，
∴当到城墙时，石块高度为20m，BD=AD+AB=12+9=21(m)，
∵20m<21m，
∴石块不能飞越城墙AB．
26.(1) 10
(2)如图所示，连接BE，BD，过点D作DG⊥EF于G，DB′//BC交直线AB于B′，
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC=∠EDF=9°，AB=6，DE=3，
∴∠BAC=∠DEF=45°，DG=DE⋅sin∠DEG=3 22，
∴DE/​/AB，
∴四边形BEDB′是平行四边形，
∴B′D=BE，BB′=DE=3，
∴AB′=3；
∵DG=3 22，即点D到直线AC的距离为定值3 22，
∴点D在与AC平行，且与AC之间的距离为3 22的直线上，
过点D作MN//AC分别交直线AB、BC于M、N，则点D在直线MN上运动，
∴∠BMN=BAC=45°，
∵DE//AM，AE//DM，
∴四边形AEDM是平行四边形，
∴AM=DE=3，
∴B′M=6，BM=9，
如图所示，作点B关于直线MN的对称点B″，连接B″D，B″B′，
∴B″M=BM=9，B″D=BD，∠DMB″=∠DMB=45°，
∴∠B′MB″=90°，
∵BE+BD=B′D+B″D，
∴当B′、D、B″三点共线时，B′D+B″D最小，即此时BE+BD最小，最小值为B″B′，
∴BE+BD的最小值为 B′M2+B″M2= 92+62=3 13；
(3)如图所示，过点M作MR⊥EF于R，则四边形AMRE是矩形，
∴ER=AM=300m，MR=AE=200 3m，
将点P沿着垂直于EF的方向平移到P′，使得PP′=QS=200 3m，
∴四边形P′PQS是平行四边形，
∴PQ=P′S；
如图所示，以ER为直径画圆，圆心设为O，连接ON，OP′，
∴OR=MN，
又∵OR//MN，
∴四边形ONMR是平行四边形，
∴ON=MR=QS=PP′，ON//MR，
∴ON//QS//MR//PP′，
∴四边形ONPP′是平行四边形，
∴OP′=NP=150m；
过点C作CI⊥BD交BD延长线于I，在CI上取一点O′使得∠CO′D=120°，
∵AC与CD所在的圆相切于点C，
∴CD的圆心在射线CI上，
又∵CD所对的圆心角为120°，
∴O′即为CD所在圆圆心，
∵∠ABI=∠BAC=90°，CI⊥BI，
∴四边形ABIC是矩形，
∴CI=AB=600m，
设O′D=O′C=rm，则O′I=(600−r)m，
∵∠IO′D=180°−120°=60°，
∴O′I=O′D⋅cs60°=12rm，
∴12r=600−r，
∴r=400；
如图所示，连接OO′，
∵PQ+QS+ST=P′S+ST+200 3，
∴当P′S+ST最小时，PQ+QS+ST最小，
∵P′S+ST≥P′T≥P′O′−O′T，P′O′≥OO′−OP′，
∴P′S+ST≥OO′−OP′−O′T，
∴当O、P′、S、T、O′五点共线时P′S+ST有最小值，最小值为OO′−OP′−O′T；
过点O作OK⊥CT于K，则四边形OECK是矩形，
∴OK=CE=AC−AE=500 3m，CK=OE=150m，
∴O′K=250m，
∴OO′= O′K2+OK2=250 13m，
∴PQ+QS+ST的最小值为(250 13+200 3−550)米．
设此时OO′与GH交于V，OK与GH交于W，
∵WV//O′K，
∴△OWV∽△OKO′，
∴WVO′K=OWOK，即WV250=200 3500 3，
∴WV=100，
∴GV=250m，
∴EQ=GV=250m．
(1)如如图所示，过点E作ED⊥AC于D，作点A关于BC的对称点A′，连接A′P，A′E，则PA′=PA，A′C=AC=2，故当P、A′、E三点共线时，PA′+PE最小，此时PA+PE最小，最小值为A′E的长，证明AED∽△ABC，求出DE=12BC=1，AD=12AC=1，则CD=1，A′D=3，由勾股定理可得A′E= A′D2+DE2= 10，即PA+PE的最小值为 10，
(2)如图所示，连接BE，BD，过点D作DG⊥EF于G，DB′//BC交直线AB于B′，先得到BAC=∠DEF=45°，DG=DE⋅sin∠DEG=3 22，可证明四边形BEDB′是平行四边形，得到B′D=BE，BB′=DE=3，则AB′=3；再证明点D在与AC平行，且与AC之间的距离为3 22的直线上．过点D作MN//AC分别交直线AB、BC于M、N，则点D在直线MN上运动，证明四边形AEDM是平行四边形，得到AM=DE=3，B′M=6，BM=9，如图所示，作点B关于直线MN的对称点B″，连接B″D，B″B′，则B″M=BM=9，B″D=BD，可得当B′、D、B″三点共线时，B′D+B″D最小，即此时BE+BD最小，最小值为B″B′，即可得到BE+BD的最小值为 B′M2+B″M2= 92+62=3 13；
(3)如图所示，过点M作MR⊥EF于R，则四边形AMRE是矩形，可得ER=AM=300m，MR=AE=200 3m，将点P沿着垂直于EF的方向平移到P′，使得PP′=QS=200 3m，则四边形P′PQS是平行四边形，可得PQ=P′S；如图所示，以ER为直径画圆，圆心设为O，连接ON，OP′，可得四边形ONMR是平行四边形，根据ON=MR=QS=PP′，ON//MR，可证明四边形ONPP′是平行四边形，
因此OP′=NP=150m；过点C作CI⊥BD交BD延长线于I，在CI上取一点O′使得∠CO′D=120°，则O′即为CD所在圆圆心，
证明四边形ABIC是矩形，得到CI=AB=600m，解直角三角形得到r=400；如图所示，连接OO′，可得当P′S+ST最小时，PQ+QS+ST最小，进而推出当O、P′、S、T、O′五点共线时P′S+ST有最小值，最小值为OO′−OP′−O′T；过点O作OK⊥CT于K，则四边形OECK是矩形，则OK=CE=AC−AE=500 3m，CK=OE=150m，O′K=250m，得到OO′= O′K2+OK2=250 13m，则PQ+QS+ST的最小值为(250 13+200 3−550)米．设此时OO′与GH交于V，OK与GH交于W，证明△OWV∽△OKO′，根据WVO′K=OWOK，可得WV=100，则GV=250m，即EQ=GV=250m．编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
小清
6
8
8
9
7
8
7
7
8
9
8
7
小华
9
6
2
6
9
10
4
8
6
8
2
9
平均数
中位数
众数
方差
小清
x−
8
a
S12
小华
6.6
b
6或9
S22