第12讲 角平分线的性-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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一、角的平分线的性质
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
二、角的平分线的逆定理
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
三、角的平分线的尺规作图
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【考点剖析】
题型一：角平分线性质定理
例1.（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，且平分．求证：是的平分线．

【变式1】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，中，，平分，，，求的面积．

【变式2】（2023春·湖南常德·八年级统考期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点到边的距离是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（湖南省郴州市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）如图，在中，，平分，于点E．如果，那么______．

【变式4】（2023春·广东深圳·七年级统考期末）把两个同样大小的含角的三角尺像如图所示那样放置，其中是AD与BC的交点，若，则点到的距离为______．

【变式5】如图，P为三条角平分线的交点，PH、PN、PM分别垂直于BC、AC、AB，垂足分别为H、N、M．已知的周长为，，则的面积为______．

【变式6】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，在中，平分，，.
(1)求的度数；
(2)若，垂足为，，，求的面积.
题型二：角平分线性质定理及证明
例2．（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在的两边上分别取点，连接．若平分，平分．
(1)求证：平分；
(2)若，且与的面积分别是和，求线段与的长度之和．
【变式1】（2022秋·河南安阳·八年级校考阶段练习）如图，点E是的中点，，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
【变式2】（2022秋·北京朝阳·八年级校考期中）如图，在中，，，于点E，平分，点F在上，．求证：．
【变式3】如图，△ABC的两条高BE、CD相交于点O，BD＝CE．
(1)求证：BE＝CD；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
题型三：角平分线的判定定理
例3.如图，，是的中点，平分，求证：平分．

【变式1】（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，，点E是的中点，平分．

(1)求证：是的平分线；
(2)已知，，求四边形的面积．
【变式2】如图，在和中，，（），，直线，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)用表示的大小；
(3)求证：平分．
【变式3】如图，已知，，是的角平分线，且交于点P．

(1)______．
(2)求证：点P在的平分线上．
(3)求证：．
【变式4】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第一中学校考期末）已知O是四边形内一点，且，，．

(1)如图1，连接，交点为G，连接，求证：
①；
②平分；
(2)如图2，若，E是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上．
题型四：尺规作图—作角平分线
例4．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知，利用尺规，在边上求作一点，使得.（保留作图痕迹，不写作法）

【变式1】（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，中，，为边上的高．

(1)尺规作图，在边上求作点，使得点到边的距离等于（保留作图痕迹，不写做法）：
(2)连接（为所求作的点）交于点，若，求的度数．
【变式2】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．

请写出平分的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式3】（2023春·重庆九龙坡·七年级校考期末）如图，已知在中，，于点．

（1）尺规作图：作的平分线交于点，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）的条件下，求证：．
__________
又__________
__________
__________
平分
__________
．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如图，，点C是内一点，于点D，于点E．且，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
2．（陕西省榆林市高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．若，则点D到的距离是（ ）

A．B．C．D．
3．（2023春·河南焦作·七年级校考期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则的长不可能是（ ）

A．B．3C．4D．6
4．（2023·福建·统考中考真题）阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且B．且
C．且D．且
5．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）如图，分别平分于点D，，的面积为12，则的周长为（ ）

A．4B．6C．24D．12
6．（2023春·湖南永州·八年级统考期末）点在的平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，在中，，，，平分，则点D到的距离等于（ ）

A．B．C．2D．1
8．（2023春·湖南娄底·八年级统考期末）如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，现决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）

A．三角形三个内角的角平分线的交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点
9．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，平分，于点E，，F是射线上的任意一点，则的长度不可能是（ ）

A．4B．5C．D．6
10．（2023春·河南开封·七年级统考期末）如图，在中，，平分，于，则下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．（2023春·河南平顶山·七年级统考期末）如图，在中，．以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，作射线交边于点，若，的面积为，则线段的长为________．

12．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．

13．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且．若，，则AE的长为________．

14．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则_________．

15．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知，如图，中，在和边上分别截取，，使，分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点E，作射线，点P，D分别是射线，上一点，过点P作，垂足为点C，连接，若，，则的面积是______．

16．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在锐角中，，、为的角平分线．且、交于点，连接．有下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是__________ ．

三、解答题
17．（2023春·重庆江北·七年级统考期末）完成下面的解答过程，并填上适当的理由．
已知：如图，，平分，平分．
求证：．

解： ∵（已知）
∴（ ① ）．
∵平分，平分，
∴，．
∴___②___（ ③ ）．
∴（ ④ ）．
18．（2023春·山东泰安·七年级统考期末）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．求证：

(1)；
(2)平分．
19．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，在中，平分，平分，于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的面积．
20．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，平分，，如果，，求的长度及的度数．

21．（2023春·广西南宁·七年级南宁十四中校考期末）如图，已知．

(1)尺规作图：作的角平分线交于点G（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为18，求的面积．
22．（2023春·山西太原·七年级统考期末）如图，在中，是它的角平分线，于点于点，且．线段与相等吗？说明理由．
23．（重庆市大渡口区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图，，．

(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作的角平分线，交于点，与的延长线交于点E；（不写做法，保留作图痕迹）
(2)求证：．
证明：∵（已知），
∴（①__________）．
∵平分，
∴②__________（角平分线的定义）．
∴（③__________）．
∵（已知），
∴④__________（⑤__________）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
∴（等量代换）．
24．（2023春·辽宁阜新·七年级校考阶段练习）如图，中，，以顶点B为圆心，任意长为半径画孤，分别交边于点E，F；再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线，交边于点G．
(1)的度数为____________；
(2)若，H是边上一动点，则线段的最小值为____________；
(3)若的面积为4，则的面积为____________；（不必写出解答过程）
25．（2023春·江苏南京·七年级统考期末）中，平分线与相交于点，，垂足为．
(1)如图1，若，则______°；

(2)如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明．

(3)若是钝角三角形，其中．过点作，交直线于点，直接写出，与之间的数量关系．