资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩25页未读，
继续阅读
所属成套资源：【暑假提升】人教版初中七年级（七升八）数学暑假自学讲义
成套系列资料，整套一键下载
第02讲 三角形的高、中线、角平分线与稳定性人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义
展开
这是一份第02讲 三角形的高、中线、角平分线与稳定性人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义，文件包含第02讲三角形的高中线角平分线与稳定性教师版-七升八数学暑假衔接人教版docx、第02讲三角形的高中线角平分线与稳定性学生版-七升八数学暑假衔接人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共41页， 欢迎下载使用。
一、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
二、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【考点剖析】
题型一、三角形的高
例1．如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段ADB．线段ACC．线段CDD．线段BC
【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．
【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．
（1）在△BOC中，OB边上的高是 ，OC边上的高是 ，BC边上的高是 ．
（2）在△AOC中，OA边上的高是 ，OC边上的高是 ，AC边上的高是 ．
（3）在△AOB中，OA边上的高是 ，OB边上的高是 ，AB边上的高是 ．
题型二、三角形的中线
例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是 ．
例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
题型三、三角形的三条重要线段
例7．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．
例8．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④
题型四：三角形面积
例9．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
【变式1】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为________．
【变式2】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
题型五：重心
例10．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的（ ）
A．三条内角角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．无法确定
【变式】（2022秋·八年级单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点______．（从中选择）
题型六、三角形的稳定性
例11. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?
【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点D．三角形的三条高交于同一点
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，若是的中线，，则（ ）
A．12B．10C．16D．8
3．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东东莞·八年级校联考期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上答案均正确
5．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）三角形三条（ ）的交点叫做三角形的重心
A．高B．角平分线C．外角角平分线D．中线
7．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
二、填空题
8．（2023秋·湖南株洲·八年级校考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ___．
9．（2023秋·八年级课时练习）如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高．
10．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为_____________．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．
12．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
13．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ____．
14．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在中，已知点分别为的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为 _______
15．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为_____________．
三、解答题
16．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，的面积为3，求四边形的面积．
17．（2023秋·八年级课时练习）在锐角中，，，、分别是的边、上的高，且，求的长．
18．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，，，求：
(1)的面积；
(2)的长；
(3)和的周长的差．
19．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空
(1)画出中，边上的高；
(2)画出中，边上的高；
(3)直接写出的面积是______.
20．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知．
(1)画出的中线和角平分线；
(2)画出的高，．
21．（2023秋·八年级单元测试）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点与点重合，点、分别是、的对应点．
(1)请画出平移后的，并画出边上的中线；
(2)若连接、，则这两条线段之间的关系是___________；
(3)的面积为___________；
22．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）画出图中钝角的三条高．（要标出垂足，注明字母，不写画法）
23．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知．
(1)画出的三条高（不写画法）；
(2)在（1）的条件下，若，，，则______．线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
一、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
二、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【考点剖析】
题型一、三角形的高
例1．如图，△ABC中AB边上的高是（ ）
A．线段ADB．线段ACC．线段CDD．线段BC
【变式1】小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．
【变式2】如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
例2．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长．
例3．如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．
（1）在△BOC中，OB边上的高是 ，OC边上的高是 ，BC边上的高是 ．
（2）在△AOC中，OA边上的高是 ，OC边上的高是 ，AC边上的高是 ．
（3）在△AOB中，OA边上的高是 ，OB边上的高是 ，AB边上的高是 ．
题型二、三角形的中线
例4．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是 ．
【变式1】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是 ．
例5.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
例6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
题型三、三角形的三条重要线段
例7．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF．
例8．在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（ ）
A．AP≤AQB．AQ≤ARC．AP＞ARD．AP＞AQ
【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②∠AFG＝∠AGF；
③∠FAG＝2∠ACF；
④AF＝FB．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④
题型四：三角形面积
例9．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
【变式1】如图所示，在△ABC中，D、E分别为BC、AD的中点，且，则为________．
【变式2】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
（1）猜想：△ABD与△ADC的面积有何关系？并简要说明理由；
（2）在△BED中作BD边上的高；
（3）若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
题型五：重心
例10．（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）在正方形网格中的位置如图所示，点，，，均在格点上，则点是的（ ）
A．三条内角角平分线的交点B．三条中线的交点
C．三条高的交点D．无法确定
【变式】（2022秋·八年级单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点______．（从中选择）
题型六、三角形的稳定性
例11. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?
【变式1】如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【变式2】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【过关检测】
一、单选题
1．（2023秋·八年级课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条中线一定交于同一点D．三角形的三条高交于同一点
2．（2023秋·广东汕头·八年级统考期末）如图，若是的中线，，则（ ）
A．12B．10C．16D．8
3．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·广东东莞·八年级校联考期中）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）
A．三角形的中线B．三角形的角平分线C．三角形的高D．以上答案均正确
5．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022秋·内蒙古通辽·八年级校考期中）三角形三条（ ）的交点叫做三角形的重心
A．高B．角平分线C．外角角平分线D．中线
7．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，是的中线，E是的中点，连结，．若的面积是8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
二、填空题
8．（2023秋·湖南株洲·八年级校考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ___．
9．（2023秋·八年级课时练习）如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高．
10．（2023秋·八年级课时练习）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积为_____________．
11．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在中，已知点D，E，F分别为边的中点，且面积等于，则的面积等于______．
12．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，是的中线，G是上的一点，且，连接，若的面积为6，则图中阴影部分的面积是__________．
13．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为 ____．
14．（2023秋·湖南郴州·八年级校联考期末）如图，在中，已知点分别为的中点，若的面积为，则阴影部分的面积为 _______
15．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为_____________．
三、解答题
16．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，的两条中线、相交于点O，已知的面积为14，的面积为3，求四边形的面积．
17．（2023秋·八年级课时练习）在锐角中，，，、分别是的边、上的高，且，求的长．
18．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）如图，已知分别是的高和中线，，，求：
(1)的面积；
(2)的长；
(3)和的周长的差．
19．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，线段的交点称作格点，请按下列要求作图并填空
(1)画出中，边上的高；
(2)画出中，边上的高；
(3)直接写出的面积是______.
20．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知．
(1)画出的中线和角平分线；
(2)画出的高，．
21．（2023秋·八年级单元测试）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点与点重合，点、分别是、的对应点．
(1)请画出平移后的，并画出边上的中线；
(2)若连接、，则这两条线段之间的关系是___________；
(3)的面积为___________；
22．（2023春·安徽淮南·八年级校考期末）画出图中钝角的三条高．（要标出垂足，注明字母，不写画法）
23．（2023秋·八年级单元测试）如图，已知．
(1)画出的三条高（不写画法）；
(2)在（1）的条件下，若，，，则______．线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
相关学案
第19讲 重难点07全等三角形中“倍长中线”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义： 这是一份第19讲 重难点07全等三角形中“倍长中线”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义，文件包含第19讲重难点07全等三角形中“倍长中线”模型教师版-七升八数学暑假衔接人教版docx、第19讲重难点07全等三角形中“倍长中线”模型学生版-七升八数学暑假衔接人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共71页， 欢迎下载使用。
第16讲 重难点04（双）角平分线模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义： 这是一份第16讲 重难点04（双）角平分线模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义，文件包含第16讲重难点04双角平分线模型教师版-七升八数学暑假衔接人教版docx、第16讲重难点04双角平分线模型学生版-七升八数学暑假衔接人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共43页， 欢迎下载使用。
第14讲 重难点02三角形中“飞镖”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义： 这是一份第14讲 重难点02三角形中“飞镖”模型-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义，文件包含第14讲重难点02三角形中“飞镖”模型教师版-七升八数学暑假衔接人教版docx、第14讲重难点02三角形中“飞镖”模型学生版-七升八数学暑假衔接人教版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共53页， 欢迎下载使用。
