第10讲 三角形全等的判定“角边角与角角边”-人教版初中七年级（七升八）数学暑假衔接（教师版+学生版）讲义

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一、全等三角形判定——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.

二、全等三角形判定——“角角边”
1.全等三角形判定——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
【考点剖析】
题型一：用“角边角”直接证明三角形全等
例1.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在 AC 边上，∠1＝∠2，AE和BD 相交于点O．
求证：△AEC≌△BED；
【详解】∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠AEC=∠BED．
在△AEC和△BED中，

∴△AEC≌△BED（ASA）．
【变式1】如图，AB＝AD，∠1＝∠2，DA平分∠BDE．求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B，
∵DA平分∠BDE．
∴∠ADE＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠B，
在△ABC和△ADE中，
∠ADE=∠BAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【变式2】如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC＝CD，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）
A．角角角B．角边角C．边角边D．角角边
【分析】已知两角对应相等，且有一公共边，利用全等三角形的判定定理进行推理即可．
【解答】解：在△ABC与△ADC中，
∠1=∠2AC=AC∠3=∠4，
则△ABC≌△ADC（ASA）．
∴BC＝CD．
故选：B．
【变式3】（2022•长安区一模）已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠DEFBC=EF∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
题型二：用“角边角”间接证明三角形全等
例2.如图，已知AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠D．求证：AF＝DE．
【详解】证明：∵AB//CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（ASA），
∴AF＝DE．
【变式1】已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．
【答案与解析】
证明：∵AD∥CB
∴∠A＝∠C
在△ADF与△CBE中

∴△ADF≌△CBE （ASA）
∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF
故得：AE＝CF
【变式2】如图，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求证：BD＝CE.
【详解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD.
又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，
∴△ABD≌△ACE(ASA).
∴BD＝CE.
【变式3】如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．（DE≠CD）
（1）线段 的长度就是A、B两点间的距离
（2）请说明（1）成立的理由．
【解答】解：（1）线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
（2）∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE（ASA）
∴AB＝DE．
【变式4】如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.
【答案与解析】
证明： ∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠C
∵BF平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠CBF
∵∠ABC＝2∠ADG
∴∠CBF＝∠ADG
在△DAE与△BCF中
∴△DAE≌△BCF（ASA）
∴DE＝BF
【变式5】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
【答案】
证明：∵MQ和NR是△MPN的高，
∴∠MQN＝∠MRN＝90°，
又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4
∴∠1＝∠2
在△MPQ和△NHQ中，

∴△MPQ≌△NHQ（ASA）
∴PM＝HN
【变式6】如图，已知，平分，且于点D，则________．
【答案】12
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵平分，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴，．
∴．
即．
∵，
∴．
故答案为：12．
【变式7】（2022秋•苏州期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
题型三：用“角角边”直接证明三角形全等
例3.如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．
【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，
∴AD＝AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠ACB，
∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠B，
在△ADE与△CAB中，
∠DAE=∠ACB∠AED=∠BAD=AC，
∴△ADE≌△CAB（AAS）．
【变式】（2022秋•泗阳县期中）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离．
【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm），
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
题型四：用“角角边”间接证明三角形全等
例4、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．
【答案与解析】
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°
∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD
在△BAC和△EAD中

∴△BAC≌△EAD（AAS）
∴AC ＝AD
【变式】已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B 分别作、
，垂足为E、F，求证：.
【答案与解析】
证明：∵ ，
∴
∴
∵
∴
∴
在和中

∴≌（）
∴
【总结升华】要证，只需证含有这两个线段的≌.同角的余角相等是找角等的好方法.
题型五：“边角边”与“角角边”综合应用
例5．如图，，、分别平分、，与交于点O．
（1）求的度数；
（2）说明的理由．
【答案】（1）120°；（2）见解析
【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∴∠AOB=180°-60°=120°；
（2）在AB上截取AE=AC，
∵∠CAO=∠EAO，AO=AO，
∴△AOC≌△AOE（SAS），
∴∠C=∠AEO，
∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°，
∴∠AEO+∠D=180°，
∵∠AEO+∠BEO=180°，
∴∠BEO=∠D，
又∠EBO=∠DBO，BO=BO，
∴△OBE≌△OBD（AAS），
∴BD=BE，又AC=AE，
∴AC+BD=AE+BE=AB．
【变式】如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，DE、AD、BE又怎样的关系？并加以证明．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）DE=AD-BE，证明见解析．
【详解】解：（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DC+CE=DE，
∴AD+BE=DE．
（2）成立．
证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=EC-CD=AD-BE．
题型六：尺规作图——利用角边角或角角边做三角形
例6、已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形
已知：∠α，∠β和线段c，如图4－4－21所示．
图4－4－21
求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.
作法：(1)作∠DAF＝∠α；
图4－4－22
图4－4－23
(2)在射线AF上截取线段AB＝c；
图4－4－24
(3)以B为顶点，以BA为一边，在AB的同侧作∠ABE＝∠β，BE交AD于点C.△ABC就是所求作的三角形．
[点析] 我们这样作出的三角形是唯一的，依据是两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．
例7.已知：角α，β和线段a，如图4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.
图4－4－29
[解析] 本题所给条件是两角及其中一角的对边，可利用三角形内角和定理求出∠C，再利用两角夹边作图．
解： 如图4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作线段BC＝a；(3)分别以B，C为顶点，以BC为一边作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射线BM，CN交于点A.△ABC就是所求作的三角形．
图4－4－30
【变式】（2022春·陕西·七年级陕西师大附中校考期中）尺规作图
已知：，和线段a，求作，使，，．
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
【详解】解：如图，△ABC即为所求．
．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定可进行求解
【详解】解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在用尺规作图得到过程中，先作，再作，从而得到，其中运用的三角形全等的判定方法是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得，，再加上公共边，根据，即可判断．
【详解】解：∵得， ，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，平分，点是射线上一点，于点，点是射线上的一个动点，连接，若，则的长度不可能是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点P作于H，证明得到，由垂线段最短可知，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作于H，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由垂线段最短可知，
∵，
∴，
∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，实数比较大小，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
4．（2023春·陕西咸阳·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线相交于点P，作于点E，若，则点P到与的距离之和为（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】如图所示，过点P作与F，延长交于G，先证明，由角平分线的定义得到，进而证明得到，同理可得，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作与F，延长交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴点P到与的距离之和为8，
故选C．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线间的距离等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．（2023春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，，点是的中点，平分，且，则点到线段的最小距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点M作于E，证明，得到，再根据线段中点的定义得到，根据垂线段最短可知点到线段的最小距离为4．
【详解】解：如图所示，过点M作于E，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴点到线段的最小距离为4，
故选：C．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，垂线段最短等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点E在外部，点D在的边上，交于F，若，，则（ ）．

A． B．C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到，，然后根据证明．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
故选：D．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
7．（2023·浙江·八年级假期作业）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（ ）

A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去
【答案】B
【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．
【详解】解：①、③、④块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，
只有第②块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．
8．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．13
【答案】A
【分析】先证明，可得 ，，而，再由等面积法可得答案．
【详解】解：∵的两条高AD和BF相交于点E，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，而，
由等面积法可得：
，
解得：；
故选A
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明是解本题的关键．
9．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B，然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴判定的理由是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．
10．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，已知是的平分线，，若，则的面积（ ）

A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】延长交于点C，根据题意，易证，因为和同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出．
【详解】如图所示，延长，交于点D，
，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴,
∴，
∵和同底等高，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．
二、填空题
11．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，D在上，E在上，且，补充一个条件______后，可用“”判断．

【答案】或
【分析】由于两个三角形已经具备，，故要找边的条件，只要不是这两对角的夹边即可．
【详解】解：∵，，
∴若用“”判断，可补充的条件是或；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的条件是解题的关键．
12．（2023春·广东揭阳·七年级期末）如图，在中，，AD平分，则的根据是______．

【答案】
【分析】由、平分、可得出两个三角形对应的两个角及其夹边相等，于是可以利用判定这两个三角形全等．
【详解】∵，
∴．
∵平分，
∴．
在与中，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，解题的关键是找到两个三角形对应的边角相等．
13．（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）如图，，且，连接，于点，于点．若，，，则的长为________．
【答案】9
【分析】只要证明，可得，，推出即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
14．（2023春·山东枣庄·七年级统考期末）如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为______米．
【答案】16
【分析】根据已知条件可得，从而得到，从而得解．
【详解】∵，
∴°，
∵，
∴，
∴．
又∵米，
∴，
即之间的距离为16米．
【点睛】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
15．（2023·广东茂名·统考一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加一个条件，使，这个条件可以是______．（只需写一种情况）

【答案】或或或（答案不唯一）
【分析】先证明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．
【详解】解∶或或或，理由是∶
∵，
∴，
∵，
∴即，
当时，有，则，
当时，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为∶或或或．
【点睛】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解题的关键．
16．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．

【答案】两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，即可得到答案．
【详解】解：在和中，
，
，
判定理由是两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等，
故答案为：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
17．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且．若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则____（填“”，“”或“”号）；
②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是_________________．

【答案】 =
【分析】①求出，，根据证，推出，即可得出结果；②求出，由证，推出，即可得出结果．
【详解】解：①，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
②与应满足，
在中，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积计算、三角形的外角性质等知识；解题的关键是判断出．
18．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，在等腰中，，，为的角平分线，过点作交的延长线与点，若，则的长为______．

【答案】4
【分析】延长与的延长线相交于点，利用证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点，

，，
，
在和中，
，
，
，
是的平分线，
．
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，理解题意、灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题
19．（2023春·江苏苏州·七年级统考期末）已知：如图，在中，，过点C作，垂足为D．在射线上截取，过点E作，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）首先根据垂直判定，得到，再利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是找准条件，证明三角形全等．
20．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图，A，C，D三点共线，和落在的同侧，，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】证明，得出，，即可证明结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法证明．
21．（2022秋·八年级课时练习）已知和线段a（下图），用直尺和圆规作，使．
【答案】见解析
【分析】先作出线段，再根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作即可得到答案．
【详解】解：作法如下图．
1．作一条线段．
2．分别以A，B为顶点，在的同侧作，与相交于点C．
就是所求作的三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，请根据“ASA”作出，使．
【答案】见解析
【分析】先作，再在上截取，在上截取，从而得到．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
23．（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，已知，，，试说明：．

【答案】见解析
【分析】利用ASA定理证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
24．（2020秋·广东广州·八年级海珠外国语实验中学校考阶段练习）如图，已知：，，．求证：．

【答案】见解析
【分析】先求出，再利用“角边角”证明和全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
25．（2023春·福建宁德·七年级校考阶段练习）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）由，得，而，，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得的长度．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的长度是4．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键．
26．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，连接，，且．

(1)求证：；
(2)若，，试求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明；
（2）根据全等三角形的性质可得，即可求得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）由（1）结论可得，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．

(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到，证明，得到，即可得解．
【详解】（1）解：因为，
所以，
即．
在和中，
，
所以．
（2）因为，
所以，．
在和中，
，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
28．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，线段是的中线，分别过点、作所在直线的垂线，垂足分别为、．

(1)请问与全等吗？说明理由；
(2)若的面积为10，的面积为6，求的面积．
【答案】(1)，见解析
(2)22
【分析】（1）利用证明三角形全等即可．
（2）根据中线性质，得到，结合计算即可．
【详解】（1），理由如下：
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴．
（2）∵，，，
∴，，
∵
∴和是等底同高的三角形
∴
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，中线的性质，三角形面积的计算，熟练掌握三角形全等的判定和性质，中线的性质是解题的关键．
29．（2019·七年级单元测试）（1）求证：等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）
（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若，求证：AD平分.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证为定长,即可完成证明；
（2）（面积法）过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.因为，所以，因此，得到.进而，得到，因此，即AD平分.
【详解】（1） 已知：等边如图三角形ABC，P为三角形ABC内任意一点，PD⊥AB, PF⊥AC, PE⊥BC,
求证：PD+PE+PF为定值.
证明：如图：过点A作，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.
∵，
∴
又∵BC=AB=AC
∴AG=PE+PF+PD,即定长.
∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.
（2）
过点A作交BD延长线于点E，再过点A作交CD延长线于点F.
∵，
∴，
又∵AD=AD
∴，
∴
∴，
∴，
∴，即AD平分.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定，其中做出辅助线是解答本题的关键．