高考数学大题精做专题06立体几何中折叠问题(第三篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题06立体几何中折叠问题(第三篇)(原卷版+解析)，共22页。
专题06 立体几何中折叠问题
【典例1】【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学2020届月考】
如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图）.为中点.

（1）求证:平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【典例2】【福建省罗源市第一中学2020届月考】
如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2.

图1 图2
(1)求证:平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【典例3】【河南南阳一中2020届月考】
如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【典例4】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】
如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【针对训练】
1. 【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2019届高三下学期联考】
在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．
2．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】
已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.
（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；
（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.
3．【新疆石河子二中2020届月考】
如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
4．【广东中山市2020届高三期末考试】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明：BE⊥平面D1AE；
(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．【2020届重庆八中高三月考】
如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
6．【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】
已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.

图一
图二
类型
对应典例
折叠问题中的点线面位置关系
典例1
折叠问题中的体积
典例2
折叠问题中的线面角
典例3
折叠问题中的二面角
典例4
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第三篇 立体几何
专题06 立体几何中折叠问题
【典例1】【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第四中学2020届月考】
如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面（如图）.为中点.

（1）求证:平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【思路引导】
（1）证明，再根据面面垂直的性质得出平面；
（2）分别计算和梯形的面积，即可得出棱锥的体积；
（3）过点C作交于点，过点作交于点，连接，可证平面平面，故平面，根据计算的值.
【详解】
（1）证明：因为为中点，，
所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
（2）在直角三角形中，易求,则．
所以四棱锥的体积为
．
（3） 过点C作交于点，则．
过点作交于点，连接,则．
又因为，平面平面,
所以平面．
同理平面．
又因为，
所以平面平面．
因为平面 ，
所以平面．
所以在上存在点，使得平面，且.
【典例2】【福建省罗源市第一中学2020届月考】
如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将 分别沿折起，使两点重合于点,如图2.

图1 图2
(1)求证:平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【思路引导】
（1）设正方形的边长为，由，可得，结合，利用线面垂直的判定定理，即可得到平面.
（2）建立空间直角坐标系，过点作，垂足为，求出向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,
, ,
,,即
由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,
平面,平面,.
又平面,平面,且,平面
（2）由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，, ,从而
,,,
,,.
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，.设直线与平面所成角为,
则, .直线与平面所成角的正弦值为.
【典例3】【河南南阳一中2020届月考】
如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．
（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
【思路引导】
（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．
再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．
（Ⅱ）由题意根据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到 ，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.
【详解】
（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；
所以折叠后，，, 又，平面，
所以平面
因为四边形为菱形，所以．
又点为线段的中点，所以．
所以四边形为平行四边形．
所以．
又平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（Ⅱ）图1中，由已知得，，
所以图2中，，又
所以，所以
又平面，所以
又，平面，
所以平面，
所以．
所以三棱锥的体积为．
【典例4】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试】
如图， 中，，，分别为，边的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【思路引导】
（1）由，分别为，边的中点，可得，由已知结合线面垂直的判定可得平面，从而得到平面；（2）取的中点，连接，由已知证明平面，过作交于，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【详解】
（1）因为分别为，边的中点，
所以，
因为，
所以，，
又因为，
所以平面，
所以平面．
（2）取的中点，连接，
由（1）知平面，平面，
所以平面平面，
因为，
所以，
又因为平面，平面平面，
所以平面，
过作交于，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，．
，，
设平面的法向量为，
则即
则，
易知为平面的一个法向量，
，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【针对训练】
1. 【湖南省湖南师范大学附属中学、岳阳市第一中等六校2019届高三下学期联考】
在中，，．已知，分别是，的中点．将沿折起，使到的位置且二面角的大小是．连接，，如图：
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的大小．
【思路引导】
（Ⅰ）法一：由．设的中点为，连接．
设的中点为，连接，．而即为二面角的平面角．
，推导出．由，，从而平面．由，得平面，从而，即．进而平面．推导出四边形为平行四边形．从而，平面，由此能证明平面平面．
法二：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面．
（Ⅱ）以为原点，在平面中过. 作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成二面角大小．
【详解】
（Ⅰ）证法一：是的中点，．
设的中点为，连接．设的中点为，连接，．
由题意得，，
即为二面角的平面角．，
为的中点．，为等边三角形，．
，，，平面．
，平面，，即．
，平面．
，分别为，的中点．，
四边形为平行四边形．，平面，
又平面．平面平面．
法二：如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，
设．则，，，，．
设平面的法向量为，，，
，令，则，
设平面的法向量为，
，，
，取，得．
，平面平面．
解：（Ⅱ）如图，以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，
设．则，，，，．
平面的法向量
设平面的法向量为，
，，
，取，得．
设平面与平面所成的二面角的平面角为，
由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角．
平面与平面所成二面角大小为．
2．【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】
已知长方形中，，，现将长方形沿对角线折起，使，得到一个四面体，如图所示.
（1）试问：在折叠的过程中，异面直线与能否垂直？若能垂直，求出相应的的值；若不垂直，请说明理由；
（2）当四面体体积最大时，求二面角的余弦值.
【思路引导】
（1）若AB⊥CD，得AB⊥面ACD，由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,解得a2=1，成立;（2）四面体A﹣BCD体积最大时面ABD⊥面BCD，以A为原点，在平面ACD中过O作BD的垂线为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
【详解】
(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D，
所以AB⊥面ACD⇒AB⊥AC.
由于AB=1, AD=BC= ,AC=,
由于AB⊥AC.,所以AB2＋a2＝BC,
所以12＋a2＝()2⇒a＝1,
所以在折叠的过程中，异面直线AB与CD可以垂直,此时的值为1
(2)要使四面体A－BCD体积最大，因为△BCD面积为定值，
所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，此时面ABD⊥面BCD.
过A作AO⊥BD于O，则AO⊥面BCD，
以O为原点建立空间直角坐标系 (如图)，
则易知,
显然，面BCD的法向量为 ,
设面ACD的法向量为＝(x，y，z),
因为
所以，令y＝，得＝(1，，2)，
故二面角A－CD－B的余弦值即为.
3．【新疆石河子二中2020届月考】
如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．
【思路引导】
(1)首先根据题的条件，可以得到=90，即，再结合已知条件BA⊥AD，利用线面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；
(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积.
详解：（1）由已知可得，=90°，．
又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．
又AB平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC．
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．
又，所以．
作QE⊥AC，垂足为E，则 ．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥的体积为
．
4．【广东中山市2020届高三期末考试】
如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明：BE⊥平面D1AE；
(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【思路引导】
（1）先计算得BE⊥AE，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平几知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果.
【详解】
(1)证明连接BE，
∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝BC＝2，
∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，
又平面D1AE⊥平面ABCE，
平面D1AE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，
∴BE⊥平面D1AE.
(2)解AM＝AB，取D1E的中点L，连接AL，FL，
∵FL∥EC，EC∥AB，∴FL∥AB且FL＝AB，
∴FL∥AM，FL=AM
∴AMFL为平行四边形，∴MF∥AL，
因为MF不在平面AD1E上， AL⊂平面AD1E，所以MF∥平面AD1E.
故线段AB上存在满足题意的点M，且＝.
5．【2020届重庆八中高三月考】
如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，．沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积．
【思路引导】
（1）证明：∵点，分别是边，的中点，
∴∥.
∵菱形的对角线互相垂直，
∴.
∴.
∴，.分
∵平面，平面，，
∴平面.
∴平面.
（2）解：设，连接，
∵，
∴△为等边三角形.
∴，，，.
在R t△中，，
在△中，，
∴.
∵，，平面，平面，
∴平面.
梯形的面积为，
∴四棱锥的体积.
6．【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】
已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：
（I）证明：平面平面；
（Ⅱ）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值.

图一
图二
【思路引导】
(1)设AC的中点为O,证明PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.
【详解】
（Ⅰ）设的中点为，连接，.
由题意，得，
，.
因为在中，，为的中点，
所以，
因为在中，，，，
，所以.
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，平面，
所以是直线与平面所成的角，
且，
所以当最短时，即是的中点时，最大.
由平面，，所以，，于是以
，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，.
设平面的法向量为，则
由得：.
令，得，，即.
设平面的法向量为，
由得：，
令，得，，即.
.
由图可知，二面角的余弦值为.
类型
对应典例
折叠问题中的点线面位置关系
典例1
折叠问题中的体积
典例2
折叠问题中的线面角
典例3
折叠问题中的二面角
典例4