高考数学大题精做专题06离散型随机变量的期望与方差(第四篇)(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题06离散型随机变量的期望与方差(第四篇)(原卷版+解析)
专题06 离散型随机变量的期望与方差
【典例1】【2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学】
为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？
(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
参考数据：
【思路引导】
（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得的观测值.结合所给的参考数据即可判断.
（2）设5人中男生有表人,女生人,则.根据题意可知分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值.
【典例2】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：
（1）前三局比赛甲队领先的概率；
（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望. (用分数表示)
【思路引导】
（1）分为甲队胜三局和甲队胜二局两种情况，概率相加得到答案.
（2）本场比赛的局数为有3,4,5三种情况，分别计算概率得到分布列，最后计算得到答案.
【典例3】【2020届安徽省安庆市上学期高三期末数学】
某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
【思路引导】
（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
【典例4】【云南省昆明市2019届高三复习教学质量检测】
某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为.
（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；
（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？
【思路引导】
（1）依题意，得到的所有可能值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；
（2）由（1）可知当时，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵树苗最终成活的概率；②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，求得，要使，即可求解.
【典例5】【江西省新八校2019届高三第二次联考】
某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【思路引导】
（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.
【针对训练】
1. 【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】
小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，年月日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为、、、，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测.现用、、、表示某网友对实际名次为、、、的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）.
2. 【2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末】
某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.
（1）求；
（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.
3. 为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
4. 【湖北省十堰市2019年高三年级四月调研考试理】
某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？
5. 【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】
2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.
（1）在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？
（2）求比赛局数的分布列及数学期望.
6. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测数学】
追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
7. 【2020届重庆市高三上学期期末测试卷理科数学】
某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B，C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.
（1）若引种树苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；
（2）已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
8. 【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学】
10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
9. 【四川省高中2019届毕业班第二次诊断性考】
今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差．
类型
对应典例
以古典概型为背景的期望和方差
典例1
以事件的独立性为背景的的期望和方差
典例2
离散型随机变量的期望的应用
典例3
两个随机变量之间的期望和方差的关系
典例4
离散型随机变量的期望的方案判断问题
典例5
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
手机店





型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4
备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
第四篇 概率与统计】
专题06 离散型随机变量的期望与方差
【典例1】【2020届湖南省娄底市高三上学期期末教学质量检测数学】
为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.
(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？
(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
参考数据：
【思路引导】
（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得的观测值.结合所给的参考数据即可判断.
（2）设5人中男生有表人,女生人,则.根据题意可知分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值.
解：
（1）根据所给条件,制作列联表如下：
所以的观测值,
因为的观测值,
由所给临界值表可知,能够在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；
（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表人,女生代表人,则,根据已知条件可得
；
；
；
,
所以的分布列是：
所以.
【典例2】甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：
（1）前三局比赛甲队领先的概率；
（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望. (用分数表示)
【思路引导】
（1）分为甲队胜三局和甲队胜二局两种情况，概率相加得到答案.
（2）本场比赛的局数为有3,4,5三种情况，分别计算概率得到分布列，最后计算得到答案.
解：（1）设“甲队胜三局”为事件，“甲队胜二局”为事件，
则，，
所以，前三局比赛甲队领先的概率为
（2）甲队胜三局或乙胜三局，
甲队或乙队前三局胜局，第 局获胜
甲队或乙队前四局胜局，第局获胜
的分部列为：
数学期望为
【典例3】【2020届安徽省安庆市上学期高三期末数学】
某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为五个小组（所调查的芯片得分均在内），得到如图所示的频率分布直方图，其中．
（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）．
（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由．
【思路引导】
（1）先求出，再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；（2）先求出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.
解：
（1）依题意，，故．
又因为．所以，
所求平均数为
（万分）
（2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率．
设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600，900，1200，1500，
，
，
故每颗芯片的测试费用的数学期望为
（元），
因为，
所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片．
【典例4】【云南省昆明市2019届高三复习教学质量检测】
某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗、、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为0.8，引种树苗、的自然成活率均为.
（1）任取树苗、、各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；
（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？
【思路引导】
（1）依题意，得到的所有可能值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得数学期望；
（2）由（1）可知当时，取得最大值，①利用概率的加法公式，即可求得一棵树苗最终成活的概率；②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，求得，要使，即可求解.
解：
（1）依题意，的所有可能值为0，1，2，3.
则；
，
即，
，
；
的分布列为：
所以 .
（2）当时，取得最大值.
①一棵树苗最终成活的概率为.
②记为棵树苗的成活棵数，为棵树苗的利润，
则，，，
，要使，则有.
所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元.
【典例5】【江西省新八校2019届高三第二次联考】
某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
（1）若将频率视为概率，从这个水果中有放回地随机抽取个，求恰好有个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）
（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.
方案：不分类卖出，单价为元.
方案：分类卖出，分类后的水果售价如下：
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
（3）用分层抽样的方法从这个水果中抽取个，再从抽取的个水果中随机抽取个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【思路引导】
（1）计算出从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案单价的数学期望，与方案的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的个水果中，精品果个，非精品果个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.
解：
（1）设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则
现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则
恰好抽到个礼品果的概率为：
（2）设方案的单价为，则单价的期望值为：
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案
（3）用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：
则；；；
的分布列如下：
【针对训练】
1. 【2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学】
小明和父母都喜爱《中国好声音》这栏节目，年月日晚在鸟巢进行中国好声音终极决赛，四强选手分别为李荣浩战队的邢晗铭，那英战队的斯丹曼簇，王力宏战队的李芷婷，庾澄庆战队的陈其楠，决赛后四位选手相应的名次为、、、，某网站为提升娱乐性，邀请网友在比赛结束前对选手名次进行预测.现用、、、表示某网友对实际名次为、、、的四位选手名次做出的一种等可能的预测排列，是该网友预测的名次与真实名次的偏离程度的一种描述.
（1）求的分布列及数学期望；
（2）按（1）中的结果，若小明家三人的排序号与真实名次的偏离程度都是，计算出现这种情况的概率（假定小明家每个人排序相互独立）.
【思路引导】
（1）列举出所有的事件，求出对应的的值，利用古典概型的概率公式可计算出在相应取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列，并根据分布列可计算出随机变量的数学期望；
（2）由（1）中分布列的数据可知，然后利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求概率.
解：
（1）以为一个基本事件，如下表所示：
所以，的可能取值集合为.
分布列如下表所示：
因此，；
（2）因为，
将三人评分后都有的概率记作，由上述结果的独立性得.
2. 【2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末】
某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.
（1）求；
（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.
【思路引导】
（1）二级品说明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由独立事件的概率公式可计算出；
（2）的可能取值为200，100，，计算出概率后得分布列，由期望公式可计算期望．
解：
（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，
则，，，，，.
设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，
所以.
（2）的可能取值为200，100，，
，
，
，
则的分布列为
所以.
3. 为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
【思路引导】
（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.
解：
（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，
.
所以，随机变量的分布列为
.
.
4. 【湖北省十堰市2019年高三年级四月调研考试理】
某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．
（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；
（2）已知该厂现有名维修工人．
（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；
（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？
【思路引导】
（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；
（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；
（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．
解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．
∴该工厂正常运行的概率为：．
（2）（i）的可能取值有，，
，．
∴的分布列为：
∴ ．
（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，
工厂所获利润为万元，
因为，
∴该厂不应该再招聘名维修工人．
5. 【2020年陕西省高三教学质量检测卷（一)】
2019年在印度尼西亚日惹举办的亚洲乒乓球锦标赛男子团体决赛中，中国队与韩国队相遇，中国队男子选手A，B，C，D，E依次出场比赛，在以往对战韩国选手的比赛中他们五人获胜的概率分别是0.8，0.8，0.8，0.75，0.7，并且比赛胜负相互独立.赛会釆用5局3胜制，先赢3局者获得胜利.
（1）在决赛中，中国队以3∶1获胜的概率是多少？
（2）求比赛局数的分布列及数学期望.
【思路引导】
（1）首先要确定中国队以3∶1获胜需要满足的条件，即前3局比赛中至少要胜2场，且第4局必胜，再利用独立事件的概率计算公式即可求解；（2）首先要确定比赛结果的各种情况（包含中国胜和韩国胜），在3∶1，3∶2这两种情况中要先确定哪局比赛输了再计算出相应的概率，从而得到比赛局数的分布列和数学期望.
解：（1）若中国队以3∶1获胜，则前三局中赢两局输局，第四局比赛胜利，设中国队以3∶1获胜为事件A，
则.
（2）设比赛局数为X，则X的取值分别为3，4，5，
则，
，
，
则X的的分布列为
.
6. 【安徽省阜阳市2019-2020学年高三教学质量统测数学】
追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.
【思路引导】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，，，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.
解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则
.
（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，
，
，
，
所以（元），
故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.
7. 【2020届重庆市高三上学期期末测试卷理科数学】
某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植.工作小组根据市场前景重点考察了A，B，C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75.
（1）若引种树苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；
（2）已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
【思路引导】
（1）分别求出两颗成活一颗不成活的概率和三颗均成活的概率，相加即可求解；
（2）X的可能取值为：100，150，300，350.分别求出，，，，写出分布列，按照期望公式，即可求解.
解：（1）设事件D为：引种三种树苗，至少自然成活2棵；
则；
（2）X的可能取值为：100，150，300，350.
则有：，
，
，
，
所以其分布列如下
.
8. 【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学】
10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
【思路引导】
（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，分别求出的值，根据相互独立事件的公式求出，最后利用对立事件概率公式求出抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率；
（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，故的所有可能取值为：0，1，2，分别求出的值，写出随机变量的分布列，并根据数学期望计算公式求出；
（III）根据方差的性质和变量的关系即可求出方差的值.
解：（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，
依题意，有，，且事件、相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，
则
即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为
（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，
故的所有可能取值为：0，1，2
且，，
所以随机变量的分布列为：
故
（III）.
9. 【四川省高中2019届毕业班第二次诊断性考】
今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量（单位：吨），以分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中的值和年平均销售量的众数和中位数；
（2）在年平均销售量为的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在，的农贸市场中应各抽取多少家？
（3）在（2）的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有家在组，求随机变量的分布列与期望和方差．
【思路引导】
频率和为1，列方程即可求得，由图可直接求出众数，再由中位数定义列方程即可求出中位数．
（2）求出各段的人数即可求得四个段内的人数总和，即可求得抽取比例，对应的抽取人数即可计算．
（3）对分类计算对应的概率，即可列出分布列，由分布列列式求期望与方差
解：由频率和为1，列方程: ，
得 ，直方图中的值为 ；
年平均销售量的众数是，
，
年平均销售量的中位数在内，设中位数为，
则 ，
解得，即中位数为224；
年平均销售量在的农贸市场有 （家），
同理可求年平均销售量，，的农贸市场有15、10、5家，所以抽取比例为，
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家，
从年平均销售量在的农贸市场中应抽取家；
即年平均销售量在，，的农贸市场中应各抽取3、2、1家；
由知，从，，的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家；
所以的可能取值分别为0，1，2，3；
则，，，，
的分布列为：
数学期望为，
方差为．
类型
对应典例
以古典概型为背景的期望和方差
典例1
以事件的独立性为背景的的期望和方差
典例2
离散型随机变量的期望的应用
典例3
两个随机变量之间的期望和方差的关系
典例4
离散型随机变量的期望的方案判断问题
典例5
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
男生
女生
总计
喜欢阅读古典文学
64
36
100
不喜欢阅读古典文学
56
44
100
总计
120
80
200
1
2
3
4
5
0
1
2
3
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数
10
30
40
20
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
售价(元/kg）
16
18
22
24
200
100
-50
X
31
44
P


X
3
4
5
P
0.520
0.312
0.168
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
X
100
150
300
350
P
0.05
0.04
0.75
0.16
手机店





型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4

0
1
2





0
1
2
3