高考数学大题精做专题02三角函数的图象问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学大题精做专题02三角函数的图象问题(原卷版+解析)，共35页。
专题02 三角函数的图象问题
【典例1】【2020届浙江省宁波市高三上学期期末数学试题】
已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；
（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值.
【思路引导】
（1）由题意得，再由，进而可得解析式；
（2）由是偶函数，得，从而，经过平移得，再表示出，利用余弦型函数即可得最值.
【典例2】【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】
已知函数
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．
【思路引导】
利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．
（1）由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；
（2）由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．
【典例3】【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷)】
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【典例4】【福建省莆田第一中2019-2020期中考试数学试题】
函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；
(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.
【思路引导】
(Ⅰ) 由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.
【典例5】【宁夏回族自治区银川市第二中学2019-2020学年高三上学期统练】
函数f（x）＝6cs2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形
（1）求ω的值及函数f（x）的表达式；
（2）若f（x0），且x0∈（），求f（x0+1）的值
【思路引导】
（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f（x）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f（x）的值域．
（2）由，知 x0∈（，），由f（），可求得即sin（），利用两角和的正弦公式即可求得f（+1）．
【典例6】【云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学】
已知向量,,且．
(1)求的单调递增区间；
(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和．
【思路引导】
化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则,得出的思路引导式,再求在内的实数解即可．
【典例7】【山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
（1）若为偶函数，，求的取值范围.
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
【思路引导】
（1）化简得到，得到，根据偶函数得到，化简得到，代入数据得到答案.
（2）计算，根据单调性得到，计算得到答案.
【典例8】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模】
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）写出函数的解析式；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数的取值范围；
（3）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.
【思路引导】
（1）利用三角函数的图象变换，即可求得函数的解析式；
（2）令，则恒成立，再根据二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）由题意可得的图象与在上有2019个交点，分类讨论，即可求得和的值.
【针对训练】
1. 已知函数的部分图像如图所示，分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，为图像与轴的交点,且四边形为矩形.
(1)求点的坐标并求解析式；
(2)将的图像向右平移个单位长度后,得到函数图像,已知:求的值.
2. 【安徽省五校2019-2020学年高三联考数学试题】
把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.
（1）求解析式；
（2）求的值.
3. 已知函数的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
4. 下图为函数的部分图象，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式；
（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图象，求的解析式及单调增区间，对称中心.
5. 【2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷)】
设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
6. 【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学】
已知向量，，且函数.
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.
7. 【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
8. 【河南省南阳市第一中学2019届高三考试数学】
已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若
（1）求函数的解析式，
（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.
9. 【2020年湖北省荆门市两校高三9月月考数学】
已知函数 (其中)，若点是函数图象的一个对称中心．
(1)求的解析式，并求的最小正周期；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，用 “五点作图法”作出函数在区间上的图象．
10. 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高三上学期第一次调研考试】设函数．
若为函数的图象的一条对称轴，当时，求函数的最小值；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知，求的单调递减区间．
类型
对应典例
由图象求三角函数的解析式
典例1
三角函数的图象变换问题
典例2
五点作图法求函数的三角函数的解析式
典例3
根据函数性质画出三角函数的图象
典例4
平面几何图形与三角函数的图象相结合问题
典例5
三角函数的图象与平面向量相结合问题
典例6
与三角函数图象相关的不等关系
典例7
与三角函数图象的交点问题
典例8
0
0
5
0
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第一篇 三角函数与解三角形
专题02 三角函数的图象问题
【典例1】【2020届浙江省宁波市高三上学期期末数学试题】
已知函数图象上相邻两个最高点的距离为.
（1）若的图象过，且部分图象如图所示，求函数的解析式；
（2）若函数是偶函数，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，求函数在上的最大值与最小值.
【思路引导】
（1）由题意得，再由，进而可得解析式；
（2）由是偶函数，得，从而，经过平移得，再表示出，利用余弦型函数即可得最值.
解析：由题意得，，所以，.
（1）由于，则，又，
则或（舍去），故.
（2）由于是偶函数，则，
又，所以，，
将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
故
.
因为，，
所以，.
【典例2】【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】
已知函数
（1）求函数的单调增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．
【思路引导】
利用倍角公式降幂后，再由两角差的正弦公式化简．
（1）由相位在正弦函数的增区间内求得的取值范围，可得函数的单调增区间；
（2）由函数的伸缩和平移变换求得的解析式，结合的范围求得相位的范围，进一步求得函数的值域．
【解析】
．
（1）由，，
解得，．
∴函数的单调增区间为，；
（2）将函数的图象向左平移个单位，
得，
再向下平移1个单位后得到函数，
由，得，∴，
则函数的值域为
【典例3】【2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（湖北卷)】
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值．
【解析】
（Ⅰ）根据表中已知数据，解得．数据补全如下表：
且函数表达式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．
因为的对称中心为，．
令，解得，．
由于函数的图象关于点成中心对称，令，
解得，．由可知，当时，取得最小值．
【典例4】【福建省莆田第一中2019-2020期中考试数学试题】
函数的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(Ⅰ)求函数的解析式和当时的单调减区间；
(Ⅱ)的图象向右平行移动个长度单位,再向下平移1个长度单位,得到的图象,用“五点法”作出在内的大致图象.
【思路引导】
(Ⅰ) 由函数的最大值为,可求得的值，由图象相邻两条对称轴之间的距离为可求得周期，从而确定的值，然后利用正弦函数的单调性解不式可得单调减区间，取特殊值即可得结果；(Ⅱ)利用函数图象的平移变换法则，可得到的解析式，列表、描点、作图即可得结果.
【解析】
(Ⅰ)∵函数f(x)的最大值是3,∴A+1=3,即A=2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为,∴最小正周期T=π,
∴ω=2.所以f(x)=2sin(2x-)+1令+2kπ≤2x−≤+2kπ,kZ,
即+kπ≤x≤+kπ,kZ,∵x[0,π],∴f(x)的单调减区间为[,].
(Ⅱ)依题意得g(x)=f(x-)-1=2sin(2x-),
列表得：
描点
连线得g(x)在[0,π]内的大致图象.
【典例5】【宁夏回族自治区银川市第二中学2019-2020学年高三上学期统练】
函数f（x）＝6cs2sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形
（1）求ω的值及函数f（x）的表达式；
（2）若f（x0），且x0∈（），求f（x0+1）的值
【思路引导】
（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据题意求得BC的长，进而求得三角函数的最小正周期，则ω可得．求得f（x）的表达式，根据三角函数的性质求得函数f（x）的值域．
（2）由，知 x0∈（，），由f（），可求得即sin（），利用两角和的正弦公式即可求得f（+1）．
【解析】
（1）函数f（x）＝6cs2sinωx﹣3＝3csωxsinωx＝2sin（ωx），由于△ABC为正三角形，所以三角形的高为，所以BC＝4．
所以函数f（x）的最小正周期为T＝4×2＝8，所以ω，
故得到f（x）＝2．
（2）由于若f（x0），所以，整理得，由于x0∈（）所以，所以，
所以f（x0+1）＝2
【典例6】【云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学】
已知向量,,且．
(1)求的单调递增区间；
(2)先将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位,得到函数的图象,求方程在区间上所有根之和．
【思路引导】
化函数为余弦型函数,再求它的单调增区间；
由三角函数图象平移法则,得出的思路引导式,再求在内的实数解即可．
【解析】函数,
，,，；
的单调增区间为,；
由题意,,
又,得,解得：,,
即或，,
,，或，故所有根之和为．
【典例7】【山东省临沂市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考】
将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
（1）若为偶函数，，求的取值范围.
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
【思路引导】
（1）化简得到，得到，根据偶函数得到，化简得到，代入数据得到答案.
（2）计算，根据单调性得到，计算得到答案.
【解析】（1）
∴
又为偶函数，则，∵，∴
∴
∵，∴
又，∴的取值范围为.
（2）∵，∴
∵，∴，
∵在上是单调函数，∴∴.
【典例8】【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019-2020学年高三上学期一模】
将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
（1）写出函数的解析式；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数的取值范围；
（3）求实数和正整数，使得在上恰有个零点.
【思路引导】
（1）利用三角函数的图象变换，即可求得函数的解析式；
（2）令，则恒成立，再根据二次函数的图象与性质，即可求解；
（3）由题意可得的图象与在上有2019个交点，分类讨论，即可求得和的值.
【解析】
（1）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，再向左平移个单位长度后得到函数的图象，
故函数的解析式为.
（2）若对于任意，则，所以，
又由恒成立，
令，则恒成立，
则，解得.
（3）因为在上恰有个零点，
故函数的图象与在上有2019个交点，
当时，，
①当或时，函数的图象与在上无交点；
②当或时，函数的图象与在上仅有一个交点，
此时要使得函数的图象与在上有2019个交点，则；
③当或时，函数的图象与在上2个交点，
此时要使得函数的图象与在上的交点个数，不能是2019个；
④当时，函数的图象与在上3个交点，
此时要使得函数的图象与在上有2019个交点，则；
综上可得，当或时，；当时，.
【针对训练】
1. 已知函数的部分图像如图所示，分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，为图像与轴的交点,且四边形为矩形.
(1)求点的坐标并求解析式；
(2)将的图像向右平移个单位长度后,得到函数图像,已知:求的值.
【思路引导】
（1）先设函数的最小正周期为，得到，，根据四边形为矩形，得到，求出，得出，从而可求出结果；
（2）先由题意得到，求出，得到，再由，根据两角和的正弦公式，即可求出结果.
【解析】
（1）设函数的最小正周期为，
由题意可得：，，
因为四边形为矩形，所以，因此，
即，解得，由得；
所以，；
（2）由（1），将的图像向右平移个单位长度后，
得到，
因为，所以，即；
又，所以，因此，
所以
2. 【安徽省五校2019-2020学年高三联考数学试题】
把正弦函数函数图象沿轴向左平移个单位，向上平移个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来，所得曲线是.点是直线与函数的图象自左至右的某三个相邻交点，且.
（1）求解析式；
（2）求的值.
【思路引导】
（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出；
（2）根据函数性质，求出三点横坐标之间关系，代入函数即可求解.
【解析】
（1）由题意可得， ，
∵，且，∴..
（2）设，，则，
即则
解得，则，∵∴.
3. 已知函数的一系列对应值如下表：
（1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式；
（2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时，方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围.
【解析】 (1)绘制函数图象如图所示：
设的最小正周期为，得．由得．
又解得,
令，即，，
据此可得：，又，令可得．
所以函数的解析式为．
(2)因为函数的周期为，又，所以．
令，因为，所以．
在上有两个不同的解的条件是，
所以方程在时恰好有两个不同的解的条件是，
即实数的取值范围是．
4. 下图为函数的部分图象，、是它与轴的两个交点，、分别为它的最高点和最低点，是线段的中点，且为等腰直角三角形.
（1）求的解析式；
（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位长度得到的图象，求的解析式及单调增区间，对称中心.
【思路引导】
（1）由点的坐标可得出的值，再根据为等腰直角三角形，可得出点、的坐标，从而求出、的值，由此可得出函数的解析式；
（2）根据三角函数变换规律求出函数，然后利用余弦函数的单调性和对称性可求出函数的单调增区间和对称中心的坐标.
【解析】
（1）由已知点为线段的中点，则，
又为等腰直角三角形，且，，则点，则，
，解得，.
将点的坐标代入函数的解析式得，.
，，，解得，
因此，；
（2）将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数的图象，再向左平移个单位长度，得到函数，
由，得.
令，解得.
因此，函数的单调增区间为，对称中心为.
5. 【2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷)】
设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
试题思路引导：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.
故，，又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，所以，
当，即时，取得最小值.
6. 【重庆南开中学2019-2020学年高三上学期第四次教学质量检测数学】
已知向量，，且函数.
（1）若，且，求的值；
（2）若将函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得图像向左平移个单位，得到的图像，求函数在的值域.
【思路引导】
（1）先根据已知条件求出函数解析式，再根据条件以及角的范围即可求出结论；
（2）先求出的解析式，再根据三角函数的单调性即可求解．
【解析】
（1）由条件可得：；
；
．因为，
，
．
（2）函数的图像上的点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，
得，
再将所得图像向左平移个单位，
得；
当时，．
当时，；当时，，
所以函数在的值域是．
7. 【河南省南阳市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】函数（其中）的部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数的图像.
（1）当时，求的值域
（2）令，若对任意都有恒成立，求的最大值.
【思路引导】
（1）根据图象的最低点求得的值，根据四分之一周期求得的值，根据点求得的值，由此求得函数的解析式，进而根据图象平移变换求得的解析式，并由此求得时的值域.（2）先求得的值域，由此求得的值域.令对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此求得的最大值.
【解析】
（1）根据图象可知
代入得，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数
，设，则，此时，所以值域为.
（2）由（1）可知
对任意都有恒成立
令，
，是关于的二次函数，开口向上
则恒成立,而的最大值，在或时取到最大值
则，，解得
所以，则的最大值为.
8. 【河南省南阳市第一中学2019届高三考试数学】
已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若
（1）求函数的解析式，
（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【思路引导】
（1）设点的横、纵坐标为，根据，在中，建立关于方程组解出，从而解出函数的解析式；
（2）由（1）可得函数，向右平移2个单位后得到函数，则，通过三角变换后，可得，再由定义域可解出函数的值域。
【解析】
解：（1）设点的横、纵坐标为，
在中，，
所以有，解得，
所以得到
故，解得
将点代入函数
得，
因为，
所以得到，
故；
（2）函数向右平移2个单位后,
得到函数，
9. 【2020年湖北省荆门市两校高三9月月考数学】
已知函数 (其中)，若点是函数图象的一个对称中心．
(1)求的解析式，并求的最小正周期；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，用 “五点作图法”作出函数在区间上的图象．
【思路引导】
（1）利用二倍角和辅助角公式化简得；利用对称中心坐标，采用整体对应的方式得到，结合可求得，从而得到函数解析式，再根据求得最小正周期；（2）根据三角函数平移变换和伸缩变换原则得到解析式；列表得到五点作图法所需的点的坐标，依此得到函数图象.
【解析】
（1）
是的一个对称中心，
，
又 ，则最小正周期
（2）由（1）知，向左平移个单位得：
横坐标伸长为原来的倍得：
当时，列表如下：
则在上的图象如下图所示：
10. 【黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019-2020学年高三上学期第一次调研考试】设函数．
若为函数的图象的一条对称轴，当时，求函数的最小值；
将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，已知，求的单调递减区间．
【思路引导】
由题意利用正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，求出当时，函数的最小值．
利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．
【解析】
函数，
若为函数的图象的一条对称轴，
，，
当时，，，
故当时，函数的最小值为．
将函数的图象向左平移个单位得到函数
的图象，
已知，，
，
令，
求得，
可得的单调递减区间为．
类型
对应典例
由图象求三角函数的解析式
典例1
三角函数的图象变换问题
典例2
五点作图法求函数的三角函数的解析式
典例3
根据函数性质画出三角函数的图象
典例4
平面几何图形与三角函数的图象相结合问题
典例5
三角函数的图象与平面向量相结合问题
典例6
与三角函数图象相关的不等关系
典例7
与三角函数图象的交点问题
典例8
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