高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题42离散型随机变量分布列与数字特征【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题42离散型随机变量分布列与数字特征【原卷版+解析】，共45页。

【热点聚焦】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.往往与函数的单调性、二次函数性质、不等式的应用、数列、导数等相结合.
【重点知识回眸】
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
【典型考题解析】
热点一 离散型随机变量分布列的性质
【典例1】(2023·江苏·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）
则等于（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如表所示，则当时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的分布列为（k=1，2，3，4，5），则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（0.5<<0.8）=0.2
C．P（0.1<<0.5）=0.2D．P（=1）=0.3
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
热点二 离散型随机变量分布列的求法
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
【典例5】(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为，且，则随机变量的数学期望______．
【典例6】(2023·浙江·苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
【总结提升】
1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解．
热点三 离散型随机变量的均值与方差
【典例7】(2023·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A．B．
C．D．
【典例8】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
【典例9】【多选题】（2023·全国·高三专题练习（理））已知随机变量的分布列（如下表），则下列说法错误的是（ ）．
A．存在，B．对任意，
C．对任意，D．存在，
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表，则___________.
【规律方法】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
热点四 实际问题中的科学决策
【典例11】（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
【典例12】(2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．
(1)若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
(2)设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．
【总结提升】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
热点五 概率统计综合问题
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.
，
(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进人第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
【典例14】(2023·海南华侨中学高三阶段练习）进入高三时需要检测考试，并且命题是以高二每次月考成绩为参照依据，在整个高二期间共有8次月考，某学生在高二前5次月考的数学成绩如下表：
(1)已知该学生的月考试成绩 y 与月考的次数 x 满足回归直线方程，若进入高三时检测考试看作高二第9次月考考试，试估计该学生的进入高三时检测考试成绩：
(2)把该学生前5次月考的考试成绩写在纸片上，折成纸团放在不透明的箱中充分混合，从纸箱中随机抽出3个纸团上写的月考成绩进行研究，设抽取的纸团上写的成绩等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望.
参考公式：，，
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
A．0B．1C．D．
2．(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
4．（2023·全国·高三专题练习）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
5．（2023·全国·高三专题练习）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）A．>，>B．<，>
C．>，8．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10.(2023·广东广州·三模）若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
12.（2023·全国·高三专题练习）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空题
13．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为___________（精确到小数点后一位）.
14．(2023·浙江·湖州中学高三阶段练习）盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差___________．
15．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________．
16．（2023·全国·高三专题练习）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且，发球次数为X，则的最大值为______；若，则p的取值范围是______．
四、解答题
17．(2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）现有三个白球，十五个红球，且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球．
(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球，求小明取出两个白球的概率；
(2)若甲盒中有三个白球，小明先从甲盒中取出一个球，再从乙盒中取出一个球，最后再从丙盒中取出一个球，如此循环，直至取出一个白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球时取到白球，求的概率分布和数学期望．
18.(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
19．(2023·福建师大附中高三阶段练习）某运动员多次对目标进行射击， 他第一次射击击中目标的概率为．由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若第一次末击中目标，则下一次击中目标的概率为．
(1)记该运动员第次击中目标的概率为，证明：为等比数列，并求出的通项公式；
(2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分的分布列与数学期望．
20．(2023·全国·高三阶段练习（理））某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了50名员工，统计了他们的成绩，全部介于70到95之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
(1)请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）；
(2)从第一组和第五组的员工中，随机抽取4名员工，记这4名员工中来自第五组的员工的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
21．(2023·四川·简阳市阳安中学高三开学考试（理））越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动，某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天均达到10000步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”. 为了解职工的运动情况，选取了该单位120名职工某月的运动数据进行分析，结果如下：
(1)根据上表，判断是否有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系？
(2)从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”'徒步大赛，若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，记抽取的2人中，中年职工的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：
其中
22．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立.设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若.
(1)求出；
(2)依据随机变量的分布，求和；
(3)若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和.
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
X
1
2
3
4
5
6
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
－3
－2
0
1
2
P
0.2
0.1
0.2
0.1
0.4
X
0
a
2
P
b
0
1
2
0.4
0.2
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
高二月考第x次
1
2
3
4
5
月考考试成绩y分
85
100
100
105
110
0
1
X
0
a
1
P
0
1
2
－1
0
2
P
a
2a
3a
0
1
2
3
/百万
0
2
百万
0
1
2
X
0
1
2
P
m
n
m
22
23
24
25
26
频数
10
10
15
9
6
运动参与者
运动达人
合计
中年职工
25
40
65
青年职工
35
20
55
合计
60
60
120
专题42 离散型随机变量分布列与数字特征
【热点聚焦】
离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，以解答题为主，以实际问题为背景考查离散型随机变量的分布列求法、均值与方差在实际问题中的应用.考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.往往与函数的单调性、二次函数性质、不等式的应用、数列、导数等相结合.
【重点知识回眸】
（一）离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)随机变量
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．
(2)离散型随机变量
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
随机变量的线性关系：若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.
2. 分布列的两个性质
①，；②.
3．分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．
(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：
若随机变量服从两点分布，即其分布列为
其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．
(2)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．
（二）离散型随机变量分布列与数字特征
1．均值
若离散型随机变量X的分布列为
称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．
若，其中为常数，则也是随机变量，且.
若服从两点分布，则；
2.方差
若离散型随机变量X的分布列为
则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．
若，其中为常数，则也是随机变量，且．
若服从两点分布，则．
3. 六条性质
(1) (为常数)
(2) (为常数)
(3)
(4)如果相互独立，则
(5)
(6)
【典型考题解析】
热点一 离散型随机变量分布列的性质
【典例1】(2023·江苏·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）
则等于（ ）
A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
答案：A
分析：根据分布列，先求得，然后求得正确答案.
【详解】依题意，
所以.
故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若随机变量X的分布列如表所示，则当时，实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据分布列可求出结果.
【详解】由分布列知：，，
∴当时，，即m的取值范围为.
故选：B
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量ξ的分布列为（k=1，2，3，4，5），则下列说法错误的是（ ）
A．B．P（0.5<<0.8）=0.2
C．P（0.1<<0.5）=0.2D．P（=1）=0.3
答案：D
分析：依据随机变量分布列的性质，求得a的值判断选项A；求得P（0.5<<0.8）的值判断选项B；求得P（0.1<<0.5）的值判断选项C；求得P（=1）的值判断选项D.
【详解】由题意可得，则，则，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确，
故选：D.
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的性质的应用
(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；
(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．
2．对于分布列易忽视其性质及，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．
3．确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
4.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
热点二 离散型随机变量分布列的求法
【典例4】（2023·全国·高三专题练习）若离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
分析：根据两点分布的特点，得到，从而解方程可得答案.
【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以，
由，
所以，所以，
故选：D
【典例5】(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）一个袋中共有5个大小形状完全相同的红球、黄球和绿球，其中黄球有1个．每次从袋中拿一个小球，不放回，拿出黄球即停．记拿出的绿球个数为，且，则随机变量的数学期望______．
答案：####1.5
分析：讨论绿球的个数n，结合可得，进而知可能值为，求出对应的概率，即可求期望.
【详解】设绿球共有n个，
当，红球有3个，则，不符合；
当，红球有2个，则，不符合；
当，红球有1个，则，符合；
所以红球有1个，黄球有1个，绿球有3个，
故可能值为，且，
，
，
，
所以.
故答案为：
【典例6】(2023·浙江·苍南中学高三阶段练习）甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.
答案：(1)
(2)分布列见解析，
分析：（1）用对立事件求概率公式进行求解；
（2）求出的可能取值，及对应的概率，从而求出分布列，计算出数学期望.
（1）
由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.
所以乙有机会答题的概率为，
解得；
（2）
X的可能取值为0，10，20，30，40；
所以X的分布列为：
.
【总结提升】
1.解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路
(1)明确随机变量可能取哪些值．
(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．
(3)根据分布列和期望、方差公式求解．
热点三 离散型随机变量的均值与方差
【典例7】(2023·浙江·高三开学考试）互不相等的正实数是的任意顺序排列，设随机变量满足：则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
分析：根据题意，分或， 或， 或，得到X，Y的分布列求解.
【详解】解：因为随机变量满足：
所以当或时，；
当或时，；
当或时，；
所以X，Y的分布列为：
所以，
，
所以，
故选：C
【典例8】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
答案：ABC
分析：根据离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的计算公式，独立重复事件的概率公式进行计算求解，最值问题可结合函数的性质求解.
【详解】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
【典例9】【多选题】（2023·全国·高三专题练习（理））已知随机变量的分布列（如下表），则下列说法错误的是（ ）．
A．存在，B．对任意，
C．对任意，D．存在，
答案：ABD
分析：根据题意得到，且，利用期望与方差的公式，以及基本不等式的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由随机变量的分布列，可得，其中，
因为期望，则，
当且仅当时等号成立，即，故A，B错误；
又由方差
，
因为，可得，所以，
所以，即，所以C成立；
又因为，所以D错误．
故选：ABD.
【典例10】（2023·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表，则___________.
答案：20
分析：由概率和为1求出a，先求出和，进而求出.
【详解】由，所以，，
故答案为：20
【规律方法】
均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．
热点四 实际问题中的科学决策
【典例11】（2023·北京·高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为.设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
答案：（1）①次；②分布列见解析；期望为；（2）．
分析：
（1）①由题设条件还原情境，即可得解；
②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；
（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.
【详解】
（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；
所以总检测次数为20次；
②由题意，可以取20，30，
，，
则的分布列:
所以；
（2）由题意，可以取25，30，
两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，
则.
【典例12】(2023·江苏·金陵中学高三阶段练习）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．
(1)若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
(2)设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．
答案：(1)
(2)当时，采取10合1检测法更适宜；理由见解析
分析：（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；
（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.
（1）
现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；
所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.
（2）
当感染者在同一组时，，，
此时，，
当感染者不在同一组时，，，
此时，，
所以，
，
由题意，
综上：时，采取10合1检测法更适宜．
【总结提升】
1.解决与生产实际相关的概率问题时首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．
2.均值与方差在决策中的应用注意点
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
= 1 \* GB3 ①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
= 2 \* GB3 ②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度，进而进行决策.
热点五 概率统计综合问题
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）某种疾病可分为，两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患型疾病的人数占男性患者的，女性患型疾病的人数占女性患者的.
，
(1)若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为‘所患疾病的类型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2个周期接种疫苗，每人每个周期接种3次，每次接种费用为元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为，如果一个周期内至少2次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进人第二个周期.若，试验人数为1000人，试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
答案：(1)男性患者至少有12人
(2)
分析：（1）设男性患者有人，则女性患者有人，即可得到列联表，计算出卡方，从而得到不等式，求出的取值范围，即可得解；
（2）设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，，求出所对应的概率，即可求出数学期望，再由，试验人数为人，求出总费用的期望值；
（1）
解：设男性患者有人，则女性患者有人，列联表如下：
假设：患者所患疾病类型与性别之间无关联，
根据列联表中的数据，经计算得到，
要使在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得，
因为，，所以的最小整数值为，
因此，男性患者至少有人.
（2）
解：设该试验每人的接种费用为元，则的可能取值为，.
则，
，
所以，
因为，试验人数为人，
所以估计该试验用于接种疫苗的总费用为，
即元.
【典例14】(2023·海南华侨中学高三阶段练习）进入高三时需要检测考试，并且命题是以高二每次月考成绩为参照依据，在整个高二期间共有8次月考，某学生在高二前5次月考的数学成绩如下表：
(1)已知该学生的月考试成绩 y 与月考的次数 x 满足回归直线方程，若进入高三时检测考试看作高二第9次月考考试，试估计该学生的进入高三时检测考试成绩：
(2)把该学生前5次月考的考试成绩写在纸片上，折成纸团放在不透明的箱中充分混合，从纸箱中随机抽出3个纸团上写的月考成绩进行研究，设抽取的纸团上写的成绩等于平均值的个数为，求出的分布列与数学期望.
参考公式：，，
答案：(1)该学生的进入高三时检测考试成绩为133分；
(2)分布列见解析，.
分析：（1）根据最小二乘法可得线性回归直线，根据方程进而预测即得；
（2）由题可知可取0,1,2，根据古典概型概率公式计算概率，可得分布列，然后利用期望公式即得.
（1）
由题可得，
，
，
，
∴，
，
所以，
当时，，即该学生的进入高三时检测考试成绩为133分；
（2）
由题可知可取0,1,2，则
，
，
，
所以的分布列为：
∴.
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
A．0B．1C．D．
答案：D
分析：根据分布列利用期望与方差的公式计算即可得解.
【详解】解：，
则.
故选：D.
2．(2023·福建·莆田锦江中学高三阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由题意确定，求出期望，继而根据方差的公式求得答案。
【详解】由题意可知，，
则，
故，
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
答案：C
分析：先求得参数k的值，进而求得的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得的值
【详解】，，，解得，
，
.
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是
则当a在（0，1）内增大时，（ ）
A．E（X）不变B．E（X）减小C．V（X）先增大后减小D．V（X）先减小后增大
答案：D
分析：根据分布列写出和关于的函数式，由函数性质可得结论．
【详解】，∴E（X）增大；
，
∵0＜a＜1，∴V（X）先减小后增大．
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c（），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
分析：根据期望公式可得，利用基本不等式求乘积的最大值即可.
【详解】解：由题意，比赛一局得分的数学期望为，故，
又，故，解得，当且仅当，即时等号成立.
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值．
【详解】解：由题意可得，，
则，
当，有最大值为．
故选：A．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）A．>，>B．<，>
C．>，答案：A
分析：通过计算期望和方差来求得正确答案.
【详解】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：
则下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
分析：利用期望和方差的计算公式及其方差的性质分别求解即可.
【详解】由题意，得，则，
所以，，
所以，，
所以，，
即最大，
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设离散型随机变量的概率分布列为
则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：由分布列中的概率逐一判断即可.
【详解】由概率分布列可得，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误．
故选：AC
10.(2023·广东广州·三模）若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
答案：ABD
分析：由两点分布性质可知，根据数学期望和方差计算公式可判断AB的正误；根据均值和方差的性质可判断CD的正误.
【详解】解：随机变量服从两点分布且，，
对于A，，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD.
11．(2023·江苏·苏州市第六中学校三模）已知投资两种项目获得的收益分别为，分布列如下表，则（ ）
A．B．
C．投资两种项目的收益期望一样多D．投资项目的风险比项目高
答案：ACD
分析：根据分布列的性质求出、，再根据期望、方差公式计算可得；
【详解】解：依题意可得，所以，
，所以，所以，故A正确；
所以，则，故B错误；
，所以，故C正确；
因为
，
即，所以投资项目的风险比项目高，故D正确；
故选：ACD
12.（2023·全国·高三专题练习）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是（ ）A．B．
C．D．
答案：BCD
分析：由分布列的性质得，，，根据随机变量的期望、方差公式，以及基本不等式逐一判断可得选项.
【详解】解：由分布列的性质得，，，
当，时，，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为m，n均为正数，所以，即，当且仅当时，等号成立，故选项C正确；
由，得.又，所以，故选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）某路口在最近一个月内发生重大交通事故数服从如下分布：，则该路口一个月内发生重大交通事故的平均数为___________（精确到小数点后一位）.
答案：1.2
分析：根据分布列计算期望即可得到结论.
【详解】由服从分布得
，
即该路口一个月内发生重大交通事故的平均数约为1.2.
故答案为：1.2.
14．(2023·浙江·湖州中学高三阶段练习）盒中有个球，其中个红球，个黄球，个蓝球，从盒中随机取球，每次取个，取后不放回，直到蓝球全部被取出为止，在这一过程中取球次数为，则的方差___________．
答案：
分析：分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用方差的定义可求得的值.
【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、，
，，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，，
因此，.
故答案为：.
15．(2023·江苏省木渎高级中学模拟预测）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是_________；的取值范围是___________．
答案： ； ；
分析：结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【详解】随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
故
因为，故，故.
而，
令，因为，
故，此时，
故答案为：，.
16．（2023·全国·高三专题练习）某学校进行排球测试的规则是：每名学生最多发4次球，一旦发球成功，则停止发球，否则直发到4次为止．设学生一次发球成功的概率为p，且，发球次数为X，则的最大值为______；若，则p的取值范围是______．
答案：
分析：依题意所有取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到，构造函数利用导数求出的最大值，再得到，利用导数研究函数的单调性，即可求出不等式的解集；
【详解】解：由题意所有取值为，，，，
所以，，，，
令，，
则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
又，即，
令，，则，
所以在上单调递减，又，所以当时，
所以当时．
故答案为：；．
四、解答题
17．(2023·江苏省泰兴中学高三阶段练习）现有三个白球，十五个红球，且甲、乙、丙三个盒子中各装有六个小球．
(1)若甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，且小明从三个盒子中任选两个盒子并各取出一个球，求小明取出两个白球的概率；
(2)若甲盒中有三个白球，小明先从甲盒中取出一个球，再从乙盒中取出一个球，最后再从丙盒中取出一个球，如此循环，直至取出一个白球后停止取球，且每次取球均不放回．若小明在第次取球时取到白球，求的概率分布和数学期望．
答案：(1)；
(2)概率分布见解析，数学期望为.
分析：（1）利用独立事件概率公式即得；
（2）由题可知可取1,4,7,10，分别求概率，进而可得概率分布及期望.
（1）
因为甲、乙、丙三个盒子中各有一个白球，
从一个盒中取出一个球是白球的概率为，
所以小明取出两个白球的概率为；
（2）
由题可知可取1,4,7,10，
则，
，
，
，
所以的概率分布为：
所以.
18.(2023·黑龙江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板记录了过去50天某类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.其中每箱某类水果的进货价为50元，售价为100元，如果当天卖不完，剩下的水果第二天将在售价的基础上打五折进行特价销售，但特价销售需要运营成本每箱30元，根据以往的经验第二天特价水果都能售罄，并且不影响正价水果的销售，以这50天记录的日需求量的频率作为口需求量发生的概率.
(1)如果每天的进货量为24箱，用表示该水果店卖完某类水果所获得的利润，求的平均值；
(2)如果店老板计划每天购进24箱或25箱的某类水果，请以利润的平均值作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
答案：(1)元；
(2)应当购进24箱，理由见解析.
分析：（1）根据数据求当天卖完、当天卖不完剩余1箱、当天卖不完剩余2箱的概率，并求出对应的利润，利用期望公式求的平均值；
（2）同（1）求出每天的进货量为25箱的期望利润值，与（1）所得每天的进货24箱的期望比较大小，即可作出决策.
（1）
由题设，每天的进货量为24箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，
若当天卖完元，
若当天卖不完剩余1箱元，
若当天卖不完剩余2箱元，
所以元.
（2）
由题设，每天的进货量为25箱，当天卖完的概率为，当天卖不完剩余1箱的概率，当天卖不完剩余2箱的概率，当天卖不完剩余3箱的概率，
若当天卖完元，
当天卖不完剩余1箱元，
当天卖不完剩余2箱元，
当天卖不完剩余3箱元，
所以元，显然小于每天的进货量为24箱的期望利润，
所以应当购进24箱.
19．(2023·福建师大附中高三阶段练习）某运动员多次对目标进行射击， 他第一次射击击中目标的概率为．由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若第一次末击中目标，则下一次击中目标的概率为．
(1)记该运动员第次击中目标的概率为，证明：为等比数列，并求出的通项公式；
(2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分的分布列与数学期望．
答案：(1)证明见解析；；
(2)分布列见解析；期望为.
分析：（1）由题意得运动员第次击中目标的概率为，与第次击中目标的概率为的递推关系式，再利用等比数列的定义证明为等比数列，即可得的通项公式；
（2）根据射击2次可得随机变量的取值情况，再计算对应的概率，求得分布列，即可得数学期望.
（1）
解：由题意，当时，，
则，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
．
（2）
解：记为第次射击击中目标，则由题意可得，，，
可取到的值为，且
，
，
，
则的分布列为：
．
20．(2023·全国·高三阶段练习（理））某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了50名员工，统计了他们的成绩，全部介于70到95之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组，第二组，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图
(1)请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）；
(2)从第一组和第五组的员工中，随机抽取4名员工，记这4名员工中来自第五组的员工的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.
答案：(1)，
(2)分布列答案见解析，数学期望：
分析：（1）根据计算公式直接代入数据即可算出平均数，利用频率分布直方图中位数两边的面积相等，列式可解得中位数；
（2）求出X的所有可能取值，由古典概型的概率公式可得概率，分布列，根据期望公式求解即可.
（1）
样本数据的平均数
第一二组的频率为
第一二三组的频率为
所以中位数一定落在第三组，设中位数为，则
解得
（2）
据题意，第一组有人，第五组有人，
随机变量的可能取值为
所以的分布列是
所以的数学期望
21．(2023·四川·简阳市阳安中学高三开学考试（理））越来越多的人喜欢运动健身，其中徒步也是一项备受喜欢的运动，某单位为了鼓励更多的职工参与徒步运动，对一个月内每天均达到10000步及以上的职工授予“运动达人”称号，其余的职工称为“运动参与者”. 为了解职工的运动情况，选取了该单位120名职工某月的运动数据进行分析，结果如下：
(1)根据上表，判断是否有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系？
(2)从具有“运动达人”称号的职工中按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人参加某地区“万步有约”'徒步大赛，若从选取的6人中随机抽取2人作为代表参加开幕式，记抽取的2人中，中年职工的人数为，求的分布列和数学期望.
附表及公式：
其中
答案：(1)有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系.
(2)分布列见解析，
分析：（1）计算根据独立性检验思想求解判断即可；
（2）由题知抽取6人中，中年职工有4人，青年职工有2人，再根据超几何分布求解即可.
（1）
解：根据列联表，结合独立性检验思想，计算
所以，有的把握认为获得“运动达人”称号与年龄段有关系.
（2）
解：获得“运动达人”的中年职工有40人，青年职工有20人，
所以，按年龄段采用分层抽样的方法抽取6人中，中年职工有4人，青年职工有2人，
由题知，的可能取值为，
所以，，
所以，分布列如下表：
所以，
22．(2023·上海嘉定·高三阶段练习）一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立.设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若.
(1)求出；
(2)依据随机变量的分布，求和；
(3)若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和.
答案：(1);
(2)；
(3)。
分析：（1）由题意利用相互独立事件的概率公式求出所对应的概率即可；
（2）利用的分布列直接计算期望和方差即可；
（3）利用期望和方差的性质计算即可.
（1）
因为，
所以，
，
.
（2）
由（1）得的分布列为：
所以，
.
（3）
由题意可得，且均服从两点分布，
所以，
，
所以，
因为相互独立，所以.
0
1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
X
1
2
3
4
5
6
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
－3
－2
0
1
2
P
0.2
0.1
0.2
0.1
0.4
X
0
10
20
30
40
P
X
2
3
P

Y
2
3
P

X
0
a
2
P
b
0
1
2
0.4
0.2
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
型病
型病
合计
男
女
合计
高二月考第x次
1
2
3
4
5
月考考试成绩y分
85
100
100
105
110
0
1
2
0
1
X
0
a
1
P
0
1
2
－1
0
2
P
a
2a
3a
0
1
2
3
/百万
0
2
百万
0
1
2
X
0
1
2
P
m
n
m
2
3
1
4
7
10
22
23
24
25
26
频数
10
10
15
9
6
0
2
4
1
2
3
4
运动参与者
运动达人
合计
中年职工
25
40
65
青年职工
35
20
55
合计
60
60
120
0
1
2
0.72
0.26
0.02