高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题02常用逻辑用语【原卷版+解析】

这是一份高考数学命题热点聚焦与扩展(通用版)专题02常用逻辑用语【原卷版+解析】，共27页。

【热点聚焦】
常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．
【重点知识回眸】
一、充要条件
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，
A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，
弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．
2.等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．
3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
二、全称量词和存在量词
1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】
1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．
2.命题p且q、p或q、非p的真假判断
3.提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p∨q为真命题，只有p，q都是假命题时，p∨q才是假命题．
(2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p∧q为假命题，只有p，q都是真命题时，p∧q才是真命题．
(3) p： p与p的真假相反．
【典型考题解析】
热点一 充分、必要条件的判定
【典例1】(2023·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不允分也不必要条件
【典例2】(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【典例3】（2023·天津·高考真题（文））设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例4】(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【规律方法】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
热点二 充分条件、必要条件的探求与应用
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
【典例6】(2023·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C．D．
【总结提升】
充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
【总结提升】
利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断
【典例9】（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
【典例10】(2023·浙江·高考真题（理））命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，或，则（ ）
A．：，或B．：，且
C．：，且D．：，或
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 _____.
【总结提升】
1．全称命题与特称命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为（ ）
A．∃x0≤0，使得（x0+1）lnx0≤1
B．∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1
C．∃x0＞0，总有（x0+1）lnx0≤1
D．∃x0≤0，总有（x0+1）lnx0≤1
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，命题P： ，，则（ ）
A．P是假命题，
B．P是假命题，
C．P是真命题，
D．P是真命题，
4．（2023·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2023·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
7．（2023·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．(2023·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10.(2023·山东·高考真题（文））已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023·陕西·西安中学高三期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·全国·高三专题练习）“”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．1D．4
三、填空题
14．(2023·北京·高考真题（理））能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数，”是真命题，则实数m的最小值为__.
16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为__.
17．（2023·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为条件，关于的不等式（）的解集为条件．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若的充分不必要条件是，求实数的取值范围．
p⇒q
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p⇒q，且qp
p是q的充分不必要条件
pq，且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇔q
p是q的充要条件
pq，且qp
p是q的既不充分也不必要条件
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，p(x)
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假
专题02 常用逻辑用语
【热点聚焦】
常用逻辑用语主要从三个方面考查，分别为充分必要条件的判断、充要条件的探求、由充分条件和必要条件探求参数的取值范围以及全称量词与存在量词．由于充要条件知识载体丰富，因此题目往往具有一定综合性．
【重点知识回眸】
一、充要条件
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
提醒：A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA，
A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，
弄清它们区别的关键是分清谁是条件，谁是结论．
2.等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推．
3.充分、必要条件与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
二、全称量词和存在量词
1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
2.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含有一个量词的命题的否定
提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
三、简单的逻辑联结词【新教材地区不含此内容！】
1.命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．
2.命题p且q、p或q、非p的真假判断
3.提醒：“命题的否定”与“否命题”的区别
(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．
(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．
4.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：“有真则真，全假才假”，即p，q中只要有一个真命题，则p∨q为真命题，只有p，q都是假命题时，p∨q才是假命题．
(2)p∧q：“有假则假，全真才真”，即p，q中只要有一个假命题，则p∧q为假命题，只有p，q都是真命题时，p∧q才是真命题．
(3) p： p与p的真假相反．
【典型考题解析】
热点一 充分、必要条件的判定
【典例1】(2023·天津·高考真题） “为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不允分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
依据充分不必要条件的定义去判定“为整数”与“为整数”的逻辑关系即可.
【详解】
由题意，若为整数，则为整数，故充分性成立；
当时，为整数，但不为整数，故必要性不成立；
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
【典例2】(2023·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
【典例3】（2023·天津·高考真题（文））设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】
分析：
求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于，集合关系是，
即推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【典例4】(2023·北京·高考真题（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件
答案：C
【解析】
分析：
根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
故选：C
【规律方法】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
热点二 充分条件、必要条件的探求与应用
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）“不等式在R上恒成立”的充要条件是（ ）
A．B．
C． D．
答案：A
【解析】
分析：
根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.
【详解】
∵不等式在R上恒成立，
∴ ，解得，
又∵，∴，则不等式在R上恒成立，
∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,
故选:A.
【典例6】(2023·上海·高考真题）已知、、为实常数，数列的通项，，则“存在，使得、、成等差数列”的一个必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
存在，使得成等差数列，可得，
化简可得，所以使得成等差数列的必要条件是.
【典例7】【多选题】（2023·全国·高三专题练习）“关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C．D．
答案：BD
【解析】
分析：
求得关于x的不等式 对恒成时a的取值范围，根据必要不充分条件与集合包含之间的关系，即可判断答案.
【详解】
由题意可知，关于x的不等式恒成立，
则，解得 ，
对于选项A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件；
对于选项B，,
故“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件；
对于选项C，,
“”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件；
对于选项D中， , “”是“关于x的不等式对恒成立”必要不充分条件，
故选：BD．
【总结提升】
充分、必要条件的探求方法(与范围有关)
先求使结论成立的充要条件，然后根据“以小推大”的方法确定符合题意的条件．
热点三 利用充分、必要条件求参数的取值范围
【典例8】（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________.
答案：
【解析】
分析：
设不等式的解集为集合，不等式的解集为集合，根据题意可得，根据一元二次不等式的解法分别求出集合，从而可得出答案.
【详解】
解：由，得或，即不等式的解集为或，
由，得，
若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，
若，则不等式的解集为或，
若，不等式的解集为或，
若“”是“”的必要不充分条件，
则，
则当时，不满足条件．
当时则满足，即，得，
当时，则满足，得，得，
综上实数的取值范围.
故答案为：.
【总结提升】
利用充要条件求参数的两个关注点
(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．
热点四 全称命题、特称命题的否定与真假判断
【典例9】（2023·山东·高考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．且B．或
C．，D．，
答案：D
【解析】
分析：
本题可通过、、、、得出结果.
【详解】
A项：因为，所以且是假命题，A错误；
B项：根据、易知B错误；
C项：由余弦函数性质易知，C错误；
D项：恒大于等于，D正确，
故选：D.
【典例10】(2023·浙江·高考真题（理））命题“，使得”的否定形式是
A．，使得B．，使得
C．，使得D．，使得
答案：D
【解析】
的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【典例11】(2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，或，则（ ）
A．：，或B．：，且
C．：，且D．：，或
答案：B
【解析】
分析：
根据命题的否定的定义判断．
【详解】
或命题的否定是且命题，
因此是，且
故选：B.
【典例12】（2023·全国·高考真题（理））已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
分析：
由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.
【详解】
由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
【典例13】（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为 _____.
答案：
【解析】
分析：
根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可
【详解】
命题p：恒成立，若p是真命题，
则：，
命题q：，使得成立，
若命题q为真命题，
则.
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围为：，
即
故答案为：
【总结提升】
1．全称命题与特称命题的否定
(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否结论：对原命题的结论进行否定．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
3．根据全(特)称命题的真假求参数的思路
与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．
【精选精练】
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）已知，若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】
当时，集合，，可得，满足充分性，
若，则或，不满足必要性，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为（ ）
A．∃x0≤0，使得（x0+1）lnx0≤1
B．∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1
C．∃x0＞0，总有（x0+1）lnx0≤1
D．∃x0≤0，总有（x0+1）lnx0≤1
答案：B
【解析】
分析：
根据特称命题的否定是全称命题求解即可
【详解】
因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∀x＞0，总有（x+1）lnx＞1，则¬p为∃x0＞0，使得（x0+1）lnx0≤1.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知，命题P： ，，则（ ）
A．P是假命题，
B．P是假命题，
C．P是真命题，
D．P是真命题，
答案：D
【解析】
分析：
求导分析的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可
【详解】
∵，∴
∴是定义域上的减函数，
∴
∴命题P：，，是真命题；
∴该命题的否定是.
故选：D.
4．（2023·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】
由题意，若，则，故充分性成立；
若，则或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2023·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：A
【解析】
分析：
利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】
若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
6．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
【解析】
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
7．（2023·全国·高考真题（理））等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
【解析】
分析：
当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
8．(2023·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：C
【解析】
分析：
设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2023·浙江·高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】
分析：
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
10.(2023·山东·高考真题（文））已知命题p：，；命题q：若，则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先判断出命题的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假.
【详解】
解：命题，使成立，故命题为真命题；
当，时，成立，但不成立，故命题为假命题；
故命题，，均为假命题，命题为真命题．
故选：B．
11．（2023·陕西·西安中学高三期中）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
12．（2023·全国·高三专题练习）“”成立的一个必要而不充分条件是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
先求解，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可
【详解】
由有，解得，故“”成立的一个必要而不充分条件是“”
故选：D
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）
A．B．C．1D．4
答案：ACD
【解析】
分析：
先解两个不等式，得到是的真子集，解不等式或，即得解.
【详解】
，解得，
即，解得或，
由题意知是的真子集，
所以或，
所以或，
即.
故选：ACD
三、填空题
14．(2023·北京·高考真题（理））能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
答案：y=sinx（答案不唯一）
【解析】
【详解】
分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f（x）>f（0）且（0，2］上是减函数.
详解：令，则f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
又如，令f（x）=sinx，则f（0）=0，f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，但f（x）在［0，2］上不是增函数.
15．（2023·全国·高三专题练习）若“对任意实数，”是真命题，则实数m的最小值为__.
答案：1
【解析】
分析：
对任意实数，恒成立，只需求最大值.
【详解】
解：“对任意实数，”是真命题，
因为，
∴，
∴实数m的最小值为：1.
故答案为：1.
16．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∃xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围为__.
答案：（﹣5，3）
【解析】
分析：
由题意可得：命题“∀xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，由<0求解即可.
【详解】
解：命题“∃xR，使得x2﹣（a+1）x+4≤0”为假命题，
即命题“∀xR，使得x2﹣（a+1）x+4＞0”为真命题，
则判别式＝（a+1）2﹣4×4＜0，
即＝（a+1）2＜16，
则﹣4＜a+1＜4，
即﹣5＜a＜3.
故答案为：（﹣5，3）.
17．（2023·全国·高考真题（理））设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①②③④
答案：①③④
【解析】
分析：
利用两交线直线确定一个平面可判断命题的真假；利用三点共线可判断命题的真假；利用异面直线可判断命题的真假，利用线面垂直的定义可判断命题的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】
对于命题，可设与相交，这两条直线确定的平面为；
若与相交，则交点在平面内，
同理，与的交点也在平面内，
所以，，即，命题为真命题；
对于命题，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题为假命题；
对于命题，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题为假命题；
对于命题，若直线平面，
则垂直于平面内所有直线，
直线平面，直线直线，
命题为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，
为真命题，为假命题，
为真命题，为真命题.
故答案为：①③④.
四、解答题
18．（2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为条件，关于的不等式（）的解集为条件．
(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
(2)若的充分不必要条件是，求实数的取值范围．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）由条件解不等式得，条件解不等式得，根据是的充分不必要条件，可得，再根据包含关系可得答案；
（2）根据的充分不必要条件是，则，解不等式组可得答案.
(1)
条件由，可得，解得，记；
条件由，可得，
因为，所以，所以，记，
若是的充分不必要条件，则，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
(2)
若的充分不必要条件是，则，可得，解得，又，所以实数的取值范围是.
p⇒q
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p⇒q，且qp
p是q的充分不必要条件
pq，且q⇒p
p是q的必要不充分条件
p⇔q
p是q的充要条件
pq，且qp
p是q的既不充分也不必要条件
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，p(x)
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假