人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题12指对幂比较大小(原卷版+解析)

这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题12指对幂比较大小(原卷版+解析)，共19页。

指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
【典型例题】
例1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）当时，，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
例2．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
例3．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例4．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例5．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
例6．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）已知，，，则的大小顺序为（ ）
A． B．C． D．
例7．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）令，，，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·四川·遂宁中学高一期中）设则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
5．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·浙江·宁波中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·天津·高一期中）设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一期中）设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）已知，则 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
11．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
12．(2023·全国·高一单元测试）已知大于1的三个实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．(2023·江西·景德镇一中高一期中）若，则的大小关系为______.
14．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高一期中）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）
15．(2023·甘肃·高台县第一中学高一期中）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．
16．(2023·河北邢台·高一阶段练习）设均为正数，且，，.则的大小关系为______________．
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
18．(2023·全国·高一课时练习）分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
19．(2023·全国·高一专题练习）设函数，，且，判断与的大小关系.
20．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若，成立，求实数m的取值范围；
(3)时，判断并证明与的大小关系．
21．(2023·全国·高一课时练习）设x>0且x≠1，比较1+lgx3与2lgx2的大小.
22．(2023·湖南·高一课时练习）比较，，的大小：
(1)已知，，，；
(2)已知，，．
专题12 指对幂比较大小
【考点预测】
指、对、幂大小比较的常用方法：
（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
（3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
（4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.
【典型例题】
例1．(2023·黑龙江·哈师大附中高一期中）当时，，，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】依题意，所以，
，所以，
，
，，
所以.
故选：C
例2．(2023·北京·北二外附属中学高一期中）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，即.
，即.
，即.
所以.
故选 ：D
例3．(2023·山西省运城中学校高一期中）已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为函数为R上单调增函数，故，而，
由于是定义在上的增函数，故，
即.
故选：A.
例4．(2023·广东·深圳市龙岗区龙城高级中学高一期中）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】，，
，，
，，
.
故选：A.
例5．(2023·江苏省上冈高级中学高一期中）已知，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】是上的单调增函数，故，故；
又是上的单调减函数，故，即；
又是上的单调增函数，故，即；
综上所述：.
故选：A.
例6．(2023·江苏·海安高级中学高一期中）已知，，，则的大小顺序为（ ）
A． B．C． D．
答案：B
【解析】由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
由题意可知，，
因为在上是单调递增，且，
所以，即，
所以.
故选: B.
例7．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）已知均为不等于1的正实数，且，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】且、、均为不等于的正实数，
则与同号，与同号，从而、、同号.
①若、、，则、、均为负数，
，可得，，可得，此时；
②若、、，则、、均为正数，
，可得，，可得，此时.
综上所述，.
故选：D.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·北京二中高一阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】，，，
，
故选：B.
2．(2023·河南·郑州外国语学校高一期中）令，，，则三个数的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，.
故选：D.
3．(2023·四川·遂宁中学高一期中）设则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】因为
且函数在上单调递减，所以，即
又函数在上单调递增，所以，即
综上，.
故选：A.
4．(2023·浙江省杭州学军中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
答案：D
【解析】，
在上递增，所以，即.
在上递减，所以，
所以.
故选：D
5．(2023·宁夏·银川二中高一期中）已知，，，则它们的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
，在上单调递减，
，
，，
，
故选：A.
6．(2023·浙江·宁波中学高一期中）设，则a，b，c的大小关系（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因在上单调递增，则,得.
因在上单调递减，则，得.则.
故选：A
7．(2023·浙江·慈溪市浒山中学高一期中）16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则a，b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】∵，所以，
又∵，即，
因此，.
故选：C.
8．(2023·天津·高一期中）设，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为单调递增，所以，
因为单调递减，所以，，
即，
因为，所以，即，
综上：.
故选：A
二、多选题
9．(2023·河南·郑州市回民高级中学高一期中）设偶函数在上单调递增，则下列大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BC
【解析】因为函数是偶函数，则恒成立，所以，
又函数在上单调递增，所以在上单调递减，则，
所以且，
所以，.
故选：BC
10．(2023·浙江省杭州第二中学高一期末）已知，则 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案：BC
【解析】因为为单调递增函数，所以，又因为，所以
故选：BC
11．(2023·全国·高一课时练习）已知，，，若，则的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
【解析】分别作出三个函数的图象，如图：
当时，有 ，故B有可能；
当时，如图中x轴上方的虚线所表示，此时有，故A有可能；
当时，如图中x轴下方的虚线所表示，此时有，故C有可能；
除此三种情况，时，没有其它情况，故D不可能，
故选：ABC
12．(2023·全国·高一单元测试）已知大于1的三个实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A．B．C．D．
答案：ABC
【解析】三个实数，，都大于1，
，，，
，即，
，
对于A选项：若，则，，能满足题意；
对于B选项：若，则，，，，能满足题意；
对于C选项：若，则，，，，能满足题意；
对于D选项：若，则，，，，，不满足题意；
故选：ABC.
三、填空题
13．(2023·江西·景德镇一中高一期中）若，则的大小关系为______.
答案：
【解析】由指对幂函数的性质知：，
所以.
故答案为：
14．(2023·吉林·长春吉大附中实验学校高一期中）已知，则的大小关系是__________．（用“<”号联结）
答案：
【解析】，所以，
，所以，
，所以，
，所以，所以.
故答案为：
15．(2023·甘肃·高台县第一中学高一期中）设x，y，z为正数，且，则x，y，z的大小关系为___________．
答案：
【解析】因为x，y，z为正数，可设，
则，
因为，所以，
所以，即．
故答案为：．
16．(2023·河北邢台·高一阶段练习）设均为正数，且，，
.则的大小关系为______________．
答案：
【解析】分别是函数的交点，函数的交点，
函数的交点，做出三函数图像，由图像可知
四、解答题
17．(2023·江苏·高一单元测试）设均为正数，且.
(1)试求之间的关系.
(2)求使成立，且与最近的正整数（即求与p的差的绝对值最小的整数）.
(3)比较，，的大小.
【解析】（1）设，由、、均为正数得.
故取以为底的对数，可得.
∴，，.
，
∴、、之间的关系为.
（2）.
由，得，从而.
而，.
由知，
∴.
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而，，，，∴.
又∵，
而，，，，∴.
故有.
18．(2023·全国·高一课时练习）分别比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，；
(3)与．
【解析】（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以．
（2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以．
（3）方法一：函数和的图象如图所示．
当时，的图象在的图象的上方，所以．
方法二：因为，，又，所以．
19．(2023·全国·高一专题练习）设函数，，且，判断与的大小关系.
【解析】若，则，则，，
因为，所以，所以，这与已知相矛盾，故；
若，则，则，，，
因为，所以，所以，这与已知相矛盾，故，
所以，，
又由已知，得，得.
20．(2023·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．
(1)求函数的解析式；
(2)若，成立，求实数m的取值范围；
(3)时，判断并证明与的大小关系．
【解析】（1）当时，，
当时，
当时，
综上所述：
（2）若，成立，即，成立
当时，，
当时，
当时，
，即
（3），
，
又，即
21．(2023·全国·高一课时练习）设x>0且x≠1，比较1+lgx3与2lgx2的大小.
【解析】
(1) 当，即0(2) 当.
(3) 当，， 此时，在时取等号.
(4) 当，即时，，此时.
综上，当0＜x＜1或x＞时，1＋lgx3＞2lgx2；当1＜x＜时，1＋lgx3＜2lgx2；当x＝时，1＋lgx3＝2lgx2.
22．(2023·湖南·高一课时练习）比较，，的大小：
(1)已知，，，；
(2)已知，，．
【解析】(1)∵，
，即，
，
，∴0＜，
∴，
∴c＜0＜a＜b，
；
(2)，
，
，
又，
，
，
，
即a＞b＞c﹒