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人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题03含参数与新定义的集合问题(原卷版+解析)
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这是一份人教A版高一数学上学期期中期末必考题型归纳及过关测试专题03含参数与新定义的集合问题(原卷版+解析)，共24页。
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．
（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．
(1)若，求和
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．
(1)当时，写出集合A的孪生集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．
例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；
(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
(1)计算：；
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4B．2C．2或4D．1或2
3．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，4）B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]
6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
11．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
12．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
三、填空题
13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;
14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
设集合，，______，求实数的取值范围．
18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
19．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
20．(2023·全国·高一单元测试）集合，．
(1)若，，求实数a的值；
(2)从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
22．(2023·全国·高一单元测试）对于给定的数集．若对于任意，有，且，则称集合为闭集合．
(1)判断集合是否为闭集合并说明理由；
(2)若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合，为闭集合，且，．证明：．
专题03 含参数与新定义的集合问题
【考点预测】
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．
（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【解析】（1）当时，，
若为真命题，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
（2）若为真命题，则，解得或.
（i）若真假，则，可得；
（ii）若假真，则，可得或.
综上所述，实数的取值范围是.
例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．
(1)若，求和
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1），因为，所以，
所以，．
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，
当时，，得
当时，．
解得 ，
所以实数的取值范围是
例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．
(1)当时，写出集合A的孪生集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．
答案：(1)；
(2)128；
(3)不存在，理由见解析.
分析：
⑴根据孪生集的定义写出集合即可；
⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解；
⑶利用反证法来证明.
（1）∵，∴；
（2）设，不妨设，
因为，所以B中元素个数大于等于7，
取，则，此时B中元素共7个，
所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集，
不妨设，则集合A的孪生集，
则，，
则必有，，其4个正实数的乘积；
同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾．
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集．
例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；
(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
【解析】（1）集合B不是“好集”，理由是，，而，
所以B不是“好集”；
有理数集Q是“好集”，理由是，；
对任意，，有，且，时，；
所以有理数集Q是“好集”；
（2）因为集合A是“好集”，所以，
若x、，则，即，
所以，即；
（3）对任意一个“好集”A，任取x、，若x、y中有0和1时，显然，
下面设x、y均不含0，1，由定义得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若x＋y＝0．或x＋y＝1．显然，
若，且，则，所以，所以，
由（2）得，所以，
综上，．
例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
(1)计算：；
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
【解析】（1）.
（2）交换律：，证明如下：
依题意，设，，则，
，
所以.
（3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设，
即，则，
当时，显然有成立，即元素为A中任意元素，
当时，则，解得，
因此当，都有成立时，得，
反之，当时，，设，，
所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，
元素.
例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【解析】（1）当命题为真时有：，解得;
当命题为真时有：，解得：，
又命题和命题有且只有一个为假命题，
当真时，为假，即真真，所以，无解；
当假时，为真，即假假，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为：;
（2）由(1)可知当假假时，.
所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为：。
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，故，
∴①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4B．2C．2或4D．1或2
答案：B
【解析】因为
所以
所以解得：，
或
所以，
所以，
所以解得：或，
且解得：且
所以.
故选：B
3．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
答案：D
【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；
B项中，设，则，，
所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.
故选：D.
4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
答案：C
【解析】对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．
故选：C．
5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，4）B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]
答案：D
【解析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，
∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．
故选：D．
6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，可得，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，且，可得；
综上，a的取值范围为.
故选：C.
7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】若“为真命题，得对于恒成立，
只需，
所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，
故选：A.
8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②，不妨设，
则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，
由，可得或，故②错；
对于③，不妨设中，
由得，
当时，即有，
，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；
对于④，当时，，故只能，，求得，
于是“复活集” 只有一个，为，
当时，由，
即有，
也就是说“复活集”存在的必要条件是，
事实上，矛盾，
当时不存在“复活集”，故④正确.
故选：C
二、多选题
9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
答案：AB
【解析】二次函数的对称轴为，
①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，
且时，即满足题意；
②若时，
如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，
则时，，解得，
此时，，
综上，，
故选：AB．
10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
答案：BCD
【解析】，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
11．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
答案：BCD
【解析】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
12．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
答案：AC
【解析】选项A：，，则.判断正确；
选项B：令，，则，但.判断错误；
选项C： 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；
选项D：令，，则，，此时.判断错误；
故选：AC
三、填空题
13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;
答案：
【解析】集合，因为集合，且，
所以或或，
当时，，当时，，当时，，
故的所有取值构成的集合为.
故答案为：.
14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
答案：
【解析】因为为假命题，所以为真命题，即，
又因为集合，集合，
所以当时，，即，此时满足；
当时，或，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
答案：
【解析】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
答案：（或）
【解析】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的．
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．
综上，或．
故答案为：（或）
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
设集合，，______，求实数的取值范围．
【解析】且，，
若选①，由，得，
当集合时，关于x的方程没有实数根，
∴，解得；
当集合时，
若集合B中只存一个元素，则，解得，
此时，符合题意；
若集合B中有两个元素，则，
∴，此方程组无解，
综上可知，实数的取值范围为；
若选②，由，得，
同理可得实数的取值范围为；
若选③，由，得，
同理可得实数的取值范围为
18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意得，.
当时，，
∴；
（2）选择①.
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时， ，此时，不满足，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
选择②.
当时，，满足；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，.
综上，实数a的取值范围为.
选择③.
当时，，，∴，满足题意；
当时，，，要使，则，解得；
当时，，，此时，，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
19．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，集合，
又，
所以；
（2）方案一 选择条件①．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
方案二 选择条件②．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意．
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
20．(2023·全国·高一单元测试）集合，．
(1)若，，求实数a的值；
(2)从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
所以，得或．
当时，，不满足，故舍去；
当时，，满足题意．
故实数a的值为1．
（2）方案一 选择条件①．
由，得，
所以，解得．
故实数a的取值范围是．
方案二 选择条件②．
由，得，
所以，解得．
故实数a的取值范围是．
方案三 选择条件③．
由，得，
所以解得．
故实数a的取值范围是．
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
【解析】解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）
22．(2023·全国·高一单元测试）对于给定的数集．若对于任意，有，且，则称集合为闭集合．
(1)判断集合是否为闭集合并说明理由；
(2)若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合，为闭集合，且，．证明：．
【解析】（1）因为，但，所以集合不是闭集合，
任取，设，，，
则且，所以，
同理且，所以，
所以集合为闭集合.
（2）若集合，为闭集合，则不一定为闭集合，
令，，由闭集合的定义可知，为闭集合，
但，，但，所以不一定为闭集合.
（3）集合，为闭集合，则，，
若，则由，存在且，故，
同理，因为，存在且，故，
因为，所以或，
若，则为闭集合；，与矛盾，
若，则为闭集合，，与矛盾，
综上所述：存在，使得，
所以.
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．
（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．
(1)若，求和
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．
(1)当时，写出集合A的孪生集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．
例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；
(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
(1)计算：；
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4B．2C．2或4D．1或2
3．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，4）B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]
6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
11．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
12．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
三、填空题
13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;
14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
设集合，，______，求实数的取值范围．
18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
19．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
20．(2023·全国·高一单元测试）集合，．
(1)若，，求实数a的值；
(2)从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
22．(2023·全国·高一单元测试）对于给定的数集．若对于任意，有，且，则称集合为闭集合．
(1)判断集合是否为闭集合并说明理由；
(2)若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合，为闭集合，且，．证明：．
专题03 含参数与新定义的集合问题
【考点预测】
一．解决与集合有关的创新题的对策：
（1）分析含义，合理转化，准确提取信息是解决此类问题的前提．剥去新定义、新法则的外表，利用我们所学集合的性质将陌生的集合转化为我们所熟悉的集合，陌生的运算转化为我们熟悉的运算，是解决这类问题的突破口，也是解决此类问题的关键．
（2）根据新定义（新运算、新法则）的要求，“照章办事”，逐条分析、验证和运算，其中要注意应用集合的有关性质．
（3）对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错淏选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
二．解决与集合有关的参数问题的对策
（1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析．
（2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到．
（3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性．
（4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值．
（5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答．
【典型例题】
例1．(2023·宁夏·银川三沙源上游学校高一阶段练习）已知，命题，不等式恒成立；命题，成立.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题、有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.
【解析】（1）当时，，
若为真命题，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
（2）若为真命题，则，解得或.
（i）若真假，则，可得；
（ii）若假真，则，可得或.
综上所述，实数的取值范围是.
例2．(2023·湖北·黄梅国际育才高级中学高一阶段练习）设集合，集合．
(1)若，求和
(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【解析】（1），因为，所以，
所以，．
（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，
当时，，得
当时，．
解得 ，
所以实数的取值范围是
例3．(2023·河南省叶县高级中学高一阶段练习）设A是正实数集的非空子集，称集合为集合A的孪生集．
(1)当时，写出集合A的孪生集B；
(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其孪生集B的子集个数的最小值；
(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集，并说明理由．
答案：(1)；
(2)128；
(3)不存在，理由见解析.
分析：
⑴根据孪生集的定义写出集合即可；
⑵设，且，根据孪生集的定义即可求解；
⑶利用反证法来证明.
（1）∵，∴；
（2）设，不妨设，
因为，所以B中元素个数大于等于7，
取，则，此时B中元素共7个，
所以孪生集B中元素个数的最小值为7，B的子集个数的最小值为；
（3）不存在，理由如下：
假设存在4个正实数构成的集合，其孪生集，
不妨设，则集合A的孪生集，
则，，
则必有，，其4个正实数的乘积；
同时，也必有，，其4个正实数的乘积，矛盾．
所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其孪生集．
例4．(2023·上海·复旦附中高一开学考试）若集合具有以下性质，则称集合是“好集”：①，；②若、，则，且时，．
(1)分別判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
(2)设集合是“好集”，求证：若、，则；
(3)对任意的一个“好集”，判断下面命题的真假，并说明理由；命题：若、，则必有．
【解析】（1）集合B不是“好集”，理由是，，而，
所以B不是“好集”；
有理数集Q是“好集”，理由是，；
对任意，，有，且，时，；
所以有理数集Q是“好集”；
（2）因为集合A是“好集”，所以，
若x、，则，即，
所以，即；
（3）对任意一个“好集”A，任取x、，若x、y中有0和1时，显然，
下面设x、y均不含0，1，由定义得，，，
所以，所以，
由（2）得，同理，
若x＋y＝0．或x＋y＝1．显然，
若，且，则，所以，所以，
由（2）得，所以，
综上，．
例5．(2023·全国·高一课时练习）设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为，对于A中的任意两个元素，，规定：.
(1)计算：；
(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
(3)若“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，试求出元素I.
【解析】（1）.
（2）交换律：，证明如下：
依题意，设，，则，
，
所以.
（3）若A中的元素，，都有成立，则由（2）知只需成立，设，
即，则，
当时，显然有成立，即元素为A中任意元素，
当时，则，解得，
因此当，都有成立时，得，
反之，当时，，设，，
所以“A中的元素”是“，都有成立”的充要条件，
元素.
例6．(2023·全国·高一单元测试）已知命题 ， ，命题 .
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围.
【解析】（1）当命题为真时有：，解得;
当命题为真时有：，解得：，
又命题和命题有且只有一个为假命题，
当真时，为假，即真真，所以，无解；
当假时，为真，即假假，所以，解得.
综上所述，实数的取值范围为：;
（2）由(1)可知当假假时，.
所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为：。
【过关测试】
一、单选题
1．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】∵，故，
∴①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
2．(2023·湖北·襄阳五中高一阶段练习）设全集，集合，若，则的值为（ ）
A．4B．2C．2或4D．1或2
答案：B
【解析】因为
所以
所以解得：，
或
所以，
所以，
所以解得：或，
且解得：且
所以.
故选：B
3．(2023·辽宁·同泽高中高一开学考试）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（ ）.
A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集
B．集合是“和谐集”
C．若都是“和谐集”，则
D．对任意两个不同的“和谐集”，总有
答案：D
【解析】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；
B项中，设，则，，
所以集合是“和谐集”，故B项为真命题；
C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C项为真命题；
D项中，取，，都是“和谐集”，
但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D项为假命题.
故选：D.
4．(2023·湖北·沙市中学高一阶段练习）设U＝{1，2，3，4}，A与B是U的两个子集，若A∩B＝{3，4}，则称（A，B）为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：（A，B）与（B，A）是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．7个B．8个C．9个D．10个
答案：C
【解析】对子集A分类讨论：
当A是二元集{3，4}时，此时B可以为{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4结果；
当A是三元集{1，3，4}时，此时B可以为{2，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是三元集{2，3，4}时，此时B可以为{1，3，4}，{3，4}，共2种结果；
当A是四元集{1，2，3，4}时，此时B取{3，4}，有1种结果，
根据计数原理知共有4+2+2+1＝9种结果．
故选：C．
5．(2023·江苏·高一课时练习）已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）∪（0，4）B．（0，4）
C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[0，4]
答案：D
【解析】由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，
∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．
故选：D．
6．(2023·江苏·高一单元测试）已知集合，．若，则a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】由，可得，
当时，，即，满足题设；
当时，，即，且，可得；
综上，a的取值范围为.
故选：C.
7．(2023·全国·高一课时练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】若“为真命题，得对于恒成立，
只需，
所以是命题“为真命题的一个充分不必要条件，
故选：A.
8．(2023·全国·高一单元测试）已知有限集，如果A中的元素满足，就称A为“复活集”．给出下列结论：①集合是“复活集”；②若，，且是“复活集”，则；③若，，则不可能是“复活集”；④若，则“复活集”A有且只有一个，且．其中正确的命题个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
答案：C
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②，不妨设，
则由韦达定理知是一元二次方程的两个根，
由，可得或，故②错；
对于③，不妨设中，
由得，
当时，即有，
，于是，无解，即不存在满足条件的“复活集”，故③正确；
对于④，当时，，故只能，，求得，
于是“复活集” 只有一个，为，
当时，由，
即有，
也就是说“复活集”存在的必要条件是，
事实上，矛盾，
当时不存在“复活集”，故④正确.
故选：C
二、多选题
9．(2023·陕西·千阳县中学高一开学考试）若“，都有”是真命题，则实数可能的值是（ ）
A．1B．C．3D．
答案：AB
【解析】二次函数的对称轴为，
①若即，如图，由图像可知当时随的增大而增大，
且时，即满足题意；
②若时，
如图，由图像可知的最小值在对称轴处取得，
则时，，解得，
此时，，
综上，，
故选：AB．
10．(2023·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一开学考试）定义集合运算：，设，，则（ ）
A．当，时，
B．x可取两个值，y可取两个值，有4个式子
C．中有3个元素
D．中所有元素之和为3
答案：BCD
【解析】，，，
当，时，；当，时，；
当，时，；当，时，，
A不正确；B正确；而，C，D都正确.
故选：BCD
11．(2023·全国·高一单元测试）设，，若，则实数的值可以为（ ）
A．2B．C．D．0
答案：BCD
【解析】集合，，，
又，
所以，
当时，，符合题意，
当时，则，所以或，
解得或，
综上所述，或或,
故选：
12．(2023·山东菏泽·高一期中）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为．类似地，对于集合、，我们把集合叫作集合与的差集，记作．例如，，，则有，，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，则
C．若是高一（1）班全体同学的集合，是高一（1）班全体女同学的集合，则
D．若，则2一定是集合的元素
答案：AC
【解析】选项A：，，则.判断正确；
选项B：令，，则，但.判断错误；
选项C： 表示高一（1）班全体同学中去除全体女同学后剩下的全体同学的集合，即为高一（1）班全体男同学的集合，则必有.判断正确；
选项D：令，，则，，此时.判断错误；
故选：AC
三、填空题
13．(2023·上海市控江中学高一期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合为______;
答案：
【解析】集合，因为集合，且，
所以或或，
当时，，当时，，当时，，
故的所有取值构成的集合为.
故答案为：.
14．(2023·山东·东营市第一中学高一阶段练习）已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为__________.
答案：
【解析】因为为假命题，所以为真命题，即，
又因为集合，集合，
所以当时，，即，此时满足；
当时，或，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
15．(2023·全国·高一单元测试）“，”是假命题，则实数的取值范围为 _________ .
答案：
【解析】由题意可知，“，”的否定是真命题，
即“，”是真命题，
当时，，不等式显然成立，
当时，由二次函数的图像及性质可知，，解得，
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
16．(2023·全国·高一课时练习）非空有限数集满足：若，，则必有，，．则满足条件且含有两个元素的数集______．（写出一个即可）
答案：（或）
【解析】不妨设，根据题意有，ab， 所以，，中必有两个是相等的．
若，则，故，又或，所以（舍去）或或，此时．
若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．
综上，或．
故答案为：（或）
四、解答题
17．(2023·全国·高一课时练习）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答．
设集合，，______，求实数的取值范围．
【解析】且，，
若选①，由，得，
当集合时，关于x的方程没有实数根，
∴，解得；
当集合时，
若集合B中只存一个元素，则，解得，
此时，符合题意；
若集合B中有两个元素，则，
∴，此方程组无解，
综上可知，实数的取值范围为；
若选②，由，得，
同理可得实数的取值范围为；
若选③，由，得，
同理可得实数的取值范围为
18．(2023·全国·高一单元测试）已知集合，.请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)当时，求；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意得，.
当时，，
∴；
（2）选择①.
∵，∴，
当时，，不满足，舍去；
当时，，要使，则，解得；
当时， ，此时，不满足，舍去.
综上，实数a的取值范围为.
选择②.
当时，，满足；
当时，，要使，则，解得；
当时，，此时，.
综上，实数a的取值范围为.
选择③.
当时，，，∴，满足题意；
当时，，，要使，则，解得；
当时，，，此时，，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
19．(2023·全国·高一课时练习）已知集合，．
(1)若，求；
(2)在①，②中任选一个，补充到横线上，并求解问题．
若______，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，集合，
又，
所以；
（2）方案一 选择条件①．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
方案二 选择条件②．
由，得．
当时，，得，此时，符合题意．
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
20．(2023·全国·高一单元测试）集合，．
(1)若，，求实数a的值；
(2)从①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
所以，得或．
当时，，不满足，故舍去；
当时，，满足题意．
故实数a的值为1．
（2）方案一 选择条件①．
由，得，
所以，解得．
故实数a的取值范围是．
方案二 选择条件②．
由，得，
所以，解得．
故实数a的取值范围是．
方案三 选择条件③．
由，得，
所以解得．
故实数a的取值范围是．
21．(2023·全国·高一课时练习）（1）如果集合，，证明：．
（2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
【解析】解:（1）证明：因为，
所以可设，，其中，，，，
则．
由，，，，可知，，
因此．
（2）设，则（整数m，n互素），
所以．
若，则与是互素的整数．
又m与n互素，所以，
所以当m，n互素，且时，且．
如取，，得，．
综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．）
22．(2023·全国·高一单元测试）对于给定的数集．若对于任意，有，且，则称集合为闭集合．
(1)判断集合是否为闭集合并说明理由；
(2)若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合，为闭集合，且，．证明：．
【解析】（1）因为，但，所以集合不是闭集合，
任取，设，，，
则且，所以，
同理且，所以，
所以集合为闭集合.
（2）若集合，为闭集合，则不一定为闭集合，
令，，由闭集合的定义可知，为闭集合，
但，，但，所以不一定为闭集合.
（3）集合，为闭集合，则，，
若，则由，存在且，故，
同理，因为，存在且，故，
因为，所以或，
若，则为闭集合；，与矛盾，
若，则为闭集合，，与矛盾，
综上所述：存在，使得，
所以.
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