专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题-2022-2023学年高一数学下学期期中期末必考题型归纳及过关测试（人教A版2019）

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专题10 立体几何中的角度、距离、体积问题
【考点预测】
考点一：求点线、点面、线面距离的方法
（1）若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离（如图所示）．

（2）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．
（3）求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．
②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．
③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．
考点二：异面直线所成角的常用方法
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）找（或作出）异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．
（2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
（3）结论——设（2）所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．
考点三：直线与平面所成角的常用方法
求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤
（1）确定斜线与平面的交点（斜足）；
（2）通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；
（3）求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．
考点四：作二面角的三种常用方法
（1）定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．

（2）垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．
（3）垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．
考点五：求体积的常用方法
选择合适的底面，再利用体积公式求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高一专题练习）在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点为E，连接，，则，
所以为与所成的角（或其补角）.
设正四面体的棱长为，则，，，
所以在中，.
故选：C

例2．（2023·全国·高一专题练习）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳌臑.”其中，阳马是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.如图，在阳马中底面是边长为1的正方形，，侧棱垂直于底面，则（    ）

A．直线与所成的角为60°
B．直线与所成的角为60°
C．直线与平面所成的角为30°
D．直线与平面所成的角为30°
【答案】AD
【解析】连接，由底面，所以，
由，是边长为1的正方形，
所以，，
对A，由底面，所以，
又，
所以平面，
由∥，
所以直线与所成的角为直线与所成的角，
，所以，故A正确；
对B，由是边长为1的正方形，
所以，由底面，所以，
又，所以平面，
所以，故B错误；
对C，由底面，所以直线与平面所成的角为，
由，所以，故C错误；
对D，由底面，所以，
又，，
所以，
直线与平面所成的角为，
由，所以，
所以，故D正确.
故选：AD
例3．（2023春·全国·高一专题练习）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，多见于亭阁式建筑、园林建筑下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（    ）

A．底面边长为6米 B．侧棱与底面所成角的余弦值为
C．侧面积为平方米 D．体积为立方米
【答案】AD
【解析】对A，如图所示，在正四棱锥中，为正方形的中心，且，设底面边长为，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，
所以，则，
在直角中，可得，即，解得，
所以正四棱锥的底面边长为，所以A正确；
对B，因为平面，所以为侧棱与底面所成的角，
在直角中，可得，所以B错误；
对C，正四棱锥的侧面积为平方米，所以C错误；
对D，正四棱锥的体积为立方米，所以D正确.

故选：AD.
例4．（2023春·全国·高一专题练习）若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为（    ）

A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意，B1B⊥平面ABCD，所以∠B1AB是AB1与底面ABCD所成的角，则∠B1AB＝60°，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面边长为1，所以B1B＝AB×tan60°＝，即正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为.又因为A1C1∥平面ABCD，A1A⊥平面ABCD，所以A1C1到底面ABCD的距离为A1A＝.
故选：D.
例5．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，是线段上的动点．

(1)若是线段中点时，证明：平面；
(2)若直线与底面所成角的正弦值为，且三棱锥的体积为，请确定点的位置，并说明理由．
【解析】（1）连接交于，连接，
∵底面是菱形，∴是中点，又∵是的中点，
∴，且平面，平面，
∴平面．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴∠PCA为直线PC与底面ABCD所成的角，
∴，∴，∴．
又∵，∴，
∵菱形中，，
∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥底面ABCD，且它们的交线是AB，
在底面ABCD内，过点C作CF⊥AB，垂足为点F，则：CF⊥平面PAB，
故点C到平面PAB的距离，令点E到平面PAB的距离,
．
又同一底面积下，高的比等于斜边的比，
故是线段上靠近点的三等分点．

例6．（2023春·全国·高一专题练习）在三棱锥中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点P在底面ABC上的射影为棱BC的中点O，且PB与底面ABC所成角为，点M为线段PO上一动点.

(1)证明：；
(2)若，求点M到平面PAB的距离.
【解析】（1）分别连接，，为中点，为等边三角形

，
点在底面上的投影为点，
平面，平面，
，
又平面平面，
面，面，
.
（2）设点到平面的距离为,点到面的距离为，
，
为在底面上的投影,
为与面所成角，，
垂直平分，，为正三角形，，
Rt中，易得
，
，
到的距离为，，
又，
由，，
，
，
点到平面的距离为
例7．（2023春·全国·高一专题练习）如图，三棱锥中，侧面PAB垂直于底面ABC，，底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且，记O为AB的中点，E为OC的中点.

(1)求证：；
(2)若，直线PC与底面ABC所成角的大小为60°，求四面体PAOC的体积.
【解析】（1）连接，因为，所以，
侧面垂直于底面，平面，平面平面，
所以底面，底面，所以，
是斜边为的直角三角形，且，所以，
又因为O为AB的中点，所以,所以为等边三角形，
又E为OC的中点，所以，
因为，，，，
所以平面，又平面，
所以；

（2）由（1）知底面ABC，所以直线PC与底面ABC所成角为，因为直线PC与底面ABC所成角的大小为，，
因为，所以，在中，，
，所以.
例8．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角.
【解析】（1）因为平面平面，且，即，
且平面，平面平面，所以平面
又因为平面，所以
因为为菱形，所以，且，平面，
所以平面，又因为平面，所以平面平面
（2）

设.
平面平面，平面平面平面.
连接，则就是直线与平面所成的角.
由题意得，为等边三角形.
过作于，则为的中点，
平面，又平面.
过作于，连接，则就是二面角的平面角.

易得.
，解得，
，
，即直线与平面所成的角为.
例9．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为4，，且平面.

(1)求点到平面的距离；
(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值.
【解析】（1）设点到平面的距离为，
因为，三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为，
又由，
得，解得.
（2）由已知设，，
则，，
取的中点，连接，如图所示：

则，
由平面平面，知面，
故，
又，从而平面.
故，，
取中点，则，
四边形是平行四边形，，
从而为正三角形，故，，
又，
得.
在平面内作于，则，
在平面内，作于，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以 平面，又 平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
则二面角的平面角为.
在直角中，，
故，，
即所求二面角的余弦值为.
【过关测试】
一、单选题
1．（2023春·全国·高一专题练习）在正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示,连接
,
则异面直线与所成角为
,即为等边三角形
.
故选:C.

2．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接、、，设正三棱柱的棱长为，如下图所示：

因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
又因为、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，则且，
又因为且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
所以与所成的角即为与所成的角，或其补角即为所求．
在中，，，．
因为，所以为直角三角形，且，
所以．
故选：B．
3．（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取中点，连接

为侧面的中心，平面，
与平面所成角即为，
设正方体棱长为，
则，，，
，
即与平面所成角的余弦值为.
故选：C.
4．（2023春·全国·高一专题练习）已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据长方体性质知：面，
故为与面所成的角，
，
所以.
故选：A

5．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接BD交于，四边形ABCD为正方形，则为中点，
∵G为△ABC的重心，则G在BD上，且，
∴，
∵PD⊥底面ABCD，∴为PG与底面ABCD所成的角，面ABCD，则，
∴，
∴.
故选：C

6．（2023春·全国·高一专题练习）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则点到平面的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于是的中点，所以到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为，

由题可知，
所以，
由于，
所以，
所以.
故选：A
7．（2023·全国·高一专题练习）如图，二面角的平面角为锐角，是内的一点（它不在棱上），点是在平面内的射影，点是上满足为锐角的任意一点，那么（    ）

A．
B．
C．
D．无法确定与的大小关系
【答案】A
【解析】过C向AB做垂线交AB于F，连接DF，如图，

因为，，所以，
因为，，，平面，
所以AB面CDF，平面，所以，
在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以，
在直角三角形中，，
在直角三角形DEF中，，
由知，
故选：A
二、多选题
8．（2023·全国·高一专题练习）如图，平面，正方形边长为1，E是CD的中点，F是AD上一点，当时，则（    ）

A．
B．
C．若PA=1，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为
D．若PA=1，则直线PE与平面所成角为
【答案】BC
【解析】连接，如图，

因为平面，平面，则，而，平面，
于是平面，又平面，因此，
在正方形中，，，
则，，A错误，B正确；
取中点，连接，则，为异面直线PE与BC所成的角或其补角，
而平面，平面，有，又，
平面，则有平面，平面，于是，
，因此，C正确；
由平面知，是直线PE与平面所成的角，，
显然，D错误.
故选：BC
9．（2023·全国·高一专题练习）已知三棱柱的棱长均相等，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对A：∵，则AB与CF的夹角为，不一定是直角，A错误；
对B：由题意：为菱形，则，B正确；
对C：由题意：，则，C正确；
对D：由题意：为菱形，则，即大小无法确定， D错误.
故选：BC.

三、填空题
10．（2023春·全国·高一专题练习）已知长方体中，，点为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】如图所示，在长方体中，延长，构造一个与全等的长方体，
且点为棱的中点，所以，所以（或其补角）为异面直线所成角，
由题意得，所以由余弦定理得，
所以.
故答案为：.

11．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，，与所成的角为，则与平面所成角的正弦值为________

【答案】
【解析】因为在长方体中，，
∴上下底面为正方形，
连接，则，与所成的角为，
∴与所形成的角为，即，
∴为正方形，为正方体，
设，则，

因为平面，平面，
所以，又平面，平面，
所以平面，连接，
则为直线与平面所成角，
由题可知中，，，
∴，即与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，是棱的中点.求点到平面的距离等于_______

【答案】
【解析】因为是直三棱柱，
所以平面，而平面，
所以，
因为是棱的中点，所以，
由勾股定理可得：，
，
因为是等边三角形，是棱的中点.，
所以，所以，
因为，所以，
因此，
因为平面，平面，
所以平面平面，因为平面平面，
，平面，所以平面，
设点到平面的距离为，
由，
故答案为：
13．（2023春·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．

【答案】
【解析】设，连接，

平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案为：.
四、解答题
14．（2023春·全国·高一专题练习）已知是空间四边形，如图所示（，，，分别是、、、上的点）．

(1)若直线与直线相交于点，证明，，三点共线；
(2)若，为，的中点，，，，求异面直线与所成的角的余弦值．
【解析】（1）因为，，平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，平面，
所以平面，
由于直线与直线相交于点，
即，平面，，平面，
又有平面平面，则，
所以，，三点共线.
（2）连接，作的中点，并连接，，如图所示：

在中，点，分别是和的中点，且，
所以，且，
在中，点，分别是和的中点，且，
所以，且，
则异面直线与所成的角等于直线与所成角，即或的补角，
又，由余弦定理得：，
故异面直线与所成的角的余弦值.
15．（2023·全国·高一专题练习）在三棱锥中，底面ABC是边长为6的正三角形，底面ABC，且PB与底面ABC所成的角为．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若M是BC的中点，求异面直线PM与AB所成角的大小．
【解析】（1）平面，
为与平面所成的角，即，
平面，平面, ，又，，
．
（2）

取棱的中点，连接，，
，分别是棱，的中点，
，为异面直线与所成的角或其补角．
平面，平面,所以，，
又，，，
，，，
所以，
故异面直线与所成的角为．
16．（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，已知侧面与底面所成的二面角的大小为，是的中点.
(1)请在棱与上各找一点和，使平面平面，作出图形并说明理由；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．

【解析】（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，
则平面MNE//平面PAC
证明：在中，M，E分别为AB，PB的中点，
所以ME//AP，同理，NE//PC，
又平面平面
所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC
又ME，所以平面MNE //平面PAC   

（2）连接，，


因为分别是的中点，所以，
故为异面直线与所成的角或其补角．
因为，，平面，
所以平面．又平面，所以．
设四棱锥的底面边长为，
取中点为,连接由于,故为侧面与底面所成的二面角的平面角，故，
在中,，
所以，
所以；
（3）存在点F符合题意，且AF=AD，
证明：取OB得中点Q，连接，
在中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，
所以QE⊥平面ABCD，
因为BC

平面ABCD，所以QE⊥BC,
又在中，，,
所以QF//AB，所以QF⊥BC，又,
所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF
在，PF= =,BF= =
所以，故
又
所以平面PBC,所以存在点F符合题意。
所以存在这样的F点，且
17．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在正四棱锥中，.

(1)求侧棱与底面所成角的大小；
(2)求二面角的大小的余弦值.
【解析】（1）设底面正方形的中心为，连接，

由正四棱锥结构特征知：平面，
即点在平面上的投影为，为侧棱与底面所成角，
在中，，，为等边三角形，设其边长为，
平面，平面，，
在中，，，，
，即侧棱与底面所成角的大小为.
（2）取的中点为，连接，

在正方形中，；在等边中，，
为二面角的平面角，
平面，平面，；
在中，，，，
二面角的大小的余弦值为.
18．（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
【解析】（1）∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在中，

∴A1B与平面AA1D1D所成的角是.
（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵BB1⊥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1O，
又∵A1O⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又
∴sin∠A1BO＝＝，又

∴A1B与平面BB1D1D所成的角是.
19．（2023春·全国·高一专题练习）如图,在三棱柱中,平面.

(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
【解析】（1）证明: 平面,平面,
,
,
平行四边形为正方形,
,
平面,平面
,
,,
平面,平面,
平面,
平面,
,
平面,平面,
平面得证;
（2）记与交点为,
由(1)知平面,
所以平面,
故直线与平面所成角为,
由(1)知平行四边形为正方形,
,
故直线与平面所成角为.

20．（2023·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：因为为的中点，所以.
连接，因为，所以.
又，所以，所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）因为，
所以，.
，
.
设点到的距离为，则，则.
设点到平面的距离为，则.
因为，所以，解得，
即点到平面的距离为.

21．（2023春·全国·高一专题练习）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.

(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
【解析】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.
因为平面，所以.
因为四边形为菱形，所以.
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
所以，.
所以.
因为，所以.
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得.
故点到平面的距离为.
（3）设直线与平面所成的角为，平面，
∴到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，

此时，要使最大，则需使最小，此时.
由题意可知：，因为平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
由面积相等，
即，经计算得，
，则，
此时在线段上靠近点的处.
22．（2023春·全国·高一专题练习）边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.

(1)证明：平面平面；
(2)求四棱锥的体积.
【解析】（1）证明：在正方形中有，，，
，又因为，所以平面，而平面，
所以平面平面.
（2）连接MN,由题意可得，，
，由，所以为直角三角形，即，
，
设点到平面的距离为，由得，
，即，得，

即四棱锥的体积为
23．（2023春·全国·高一专题练习）如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.

(1)证明：；
(2)若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.
【解析】（1）连接，
平面平面，同理，，，
.
又平面,平面.
平面.
取的中点，连接为的中点，
，.
，
，
为的中点，
.
又平面，平面.
平面.

（2）.
，且四边形为矩形，即，
又由（1），平面，，
平面.
∴.
连接，中，中.
为中点，点到平面的距离中，.
由（1）知面，
在中，，
中，
∴，
.
设点到平面的距离为，则即，
解得.所以点到平面的距离为.