2024河南中考数学专题复习 微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系 课件

这是一份2024河南中考数学专题复习 微专题12 构造直角三角形解决根号2、根号3倍的线段数量关系 课件，共26页。PPT课件主要包含了第1题图①，第1题图②，第2题图①，第2题图②，第1题图，变式题图，第2题图等内容，欢迎下载使用。

一、解决 倍的线段数量关系
1. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是45°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得AC＝ ；
解：(1)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点C，此时AC＝ ；
(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得AD＝ .
辅助线作法：①不含分式时， 在谁那里，谁就是直角边；②含分式时，分式在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点．

2. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是30°.(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得BC＝ ；
解：(1)作图如图，过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点C，此时BC＝ ；
二、解决 、 倍的线段数量关系
(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得BD＝ .
辅助线作法：① 在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点；② 在谁那里，谁就是长直角边，等号两边相同的字母就是直角顶点．
∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠FEG＝∠BDE，
1. 如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．
解法一：解：CF＝ .理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，
在△FEG和△EDB中，
∠FGE＝∠B∠FEG＝∠EDB,EF＝DE
∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝EB，在Rt△FGC中，∠FGC＝90°，∠C＝45°，∴CF＝ FG，∴CF＝ BE.
在△DEG和△EFC中，
∠EDG＝∠FEC∠G＝∠C,DE＝EF
∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝GE＝ .
解法三：解：CF＝ .理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作等腰Rt△BEG，同时以点F为直角顶点，FC为直角边向下作等腰Rt△CFH.
∵AB＝BC，∠A＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，∴∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，∴∠FEH＝∠EDG.
∵△BEG和△CFH都是等腰直角三角形，∴∠BGE＝∠CHF＝45°，EG＝ ，FH＝CF，∴∠DGE＝∠EHF＝135°.在△DEG和△EFH中，
∠DGE＝∠EHF∠EDG＝∠FEH,DE＝EF
∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG＝ .
变式题 将等腰直角三角形变为含30°的直角三角形 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝90°，若∠A＝30°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．
解法一：解：BE＝ .理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，
∵∠A＝30°，∴∠C＝90°－∠A＝60°，∴在Rt△FGC中，FG＝ .
∵∠DEF＝∠B＝90°＝∠FGE，∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠FEG＝∠EDB，在△FEG和△EDB中，
∠FGE＝∠B∠FEG＝∠EDB ,EF＝DE
∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝BE，∴BE＝ .
解法二：解：BE＝ .
理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作含30°的Rt△BEG，
在△DEG和△EFC中， ∴△DEG≌△EFC(AAS)，∴CF＝GE，∴BE＝ .
∠EDG＝∠FEC∠G＝∠C ,DE＝EF
解法三：解：BE＝ .理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作含30°的Rt△BEG，且∠BGE＝60°，同时以点F为顶点，CF为边向下作等边三角形CFH，
在△DEG和△EFH中，∴△DEG≌△EFH(AAS)，∴EG＝FH，∴CF＝EG，∴BE＝ .
∠EDG＝∠FEH∠DGE＝∠EHF,DE＝EF
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF和DE相交于点P，连接BP，CP.(1)试猜想AF与DE的数量关系和位置关系，请说明理由；
(1)解：AF＝DE，AF⊥DE.理由如下：∵正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠DCE＝90°，DF＝CE，易证△ADF≌△DCE(SAS)，∴∠DAF＝∠CDE，AF＝DE，
∵∠CDE＋∠ADP＝∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠DAF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AF⊥DE；
(2)若BP＝4，求正方形的边长；
(2)解：如图，设H是AD的中点，连接BH交AF于点K，
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，∴HD∥BE，HD＝BE，∴四边形BEDH是平行四边形，∴HK∥DE，∵AF⊥DE，∴∠AKB＝∠APE＝90°，∵H是AD的中点，∴K是AP的中点，∴AB＝BP＝4，即正方形的边长为4；
(3)求证：PE＋PF＝ .
(3)证明：如图，延长DE到点N，使EN＝PF，连接CN，
由(1)得△ADF≌△DCE，∴∠AFD＝∠DEC，∴∠CEN＝∠CFP，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴CE＝CF，易证△CEN≌△CFP(SAS)，∴PC＝NC，∠PCF＝∠NCE，
∴∠PCN＝∠DCB＝90°，∴△PCN是等腰直角三角形，∴PN＝ ，∵PN＝PE＋EN＝PE＋PF，∴PE＋PF＝ .