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2024河南中考数学复习 研究函数变量之间的关系 强化精练 (含答案)
展开这是一份2024河南中考数学复习 研究函数变量之间的关系 强化精练 (含答案)，共14页。
1. (2023广元)向高为10的容器(形状如图)中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是( )
第1题图
2. (2023青海省卷)生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响．实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是( )
第2题图
A. 酒精浓度越大，心率越高
B. 酒精对这种鱼类的心率没有影响
C. 当酒精浓度是10%时，心率是168次/分
D. 心率与酒精浓度是反比例函数关系
3. 如图①，点C是半圆AB上一个动点，点C从点A开始向终点B运动的整个过程中，AC的弧长l与时间t(秒)的函数关系如图②所示，则点C运动至5秒时，∠AOC的度数为( )
第3题图
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
4. (2023甘肃省卷)如图①，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图②所示，则点M的坐标为( )
第4题图
A. (4，2 eq \r(3) ) B. (4，4)
C. (4，2 eq \r(5) ) D. (4，5)
5. 已知两个等腰直角三角形的斜边放置在同一直线l上，且点C′与点B重合，如图①所示，△ABC固定不动，将△A′B′C′在直线l上自左向右平移，直到点B′移动到与点C重合时停止，设△A′B′C′移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，y与x之间的函数关系如图②所示，则△ABC的直角边长是( )
图① 图②
第5题图
A. 4 eq \r(2) B. 4 C. 3 eq \r(2) D. 3
6. 如图①，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，动点P从点A出发，沿着A→O→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B停止，过点P作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F.在此过程中四边形BEPF的面积y与运动时间x的函数关系如图②所示，则AC的长为( )
第6题图
A. 4 B. 2 eq \r(2) C. 2 D. eq \r(2)
7. 如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为( )
第7题图
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 如图①，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1 cm/s，设点P的运动时间为t(s)，AP的长度为y(cm)，y与t的函数图象如图②所示．当AP恰好平分∠BAC时，t的值为( )
图① 图②
第8题图
A. 2 eq \r(5) －2 B. 3 eq \r(5) －1
C. 2 eq \r(5) D. 2 eq \r(5) ＋2
9. (2023周口二模)如图①，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝60°，AM＝AN＝ eq \f(1,3) AB＝1，点P沿BD从点B匀速运动到点 D.设点P的运动时间为x，PM＋PN＝y，图②是点P运动时 y随x变化的函数关系图象，则图②中最低点的纵坐标a的值为( )
第9题图
A. 2 eq \r(3) B. eq \f(7,2) C. eq \r(7) D. 3
10. (2023烟台)如图①，在△ABC中，动点P从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图②是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线DE的最低点，则△ABC的高CG的长为________．
图① 图②
第10题图
11.如图①，在等边△ABC中，点D为AC的中点，点P从顶点A出发在△ABC边上运动，设点P的运动时间为x，△APD的面积为y，图②是点P运动时y随x变化的关系图象，则AB的长为________.
第11题图
问题二 研究新函数
1. 若一个函数的自变量在不同的取值范围内，有着不同的函数表达式，我们把这样的函数叫做分段函数．李华在学习过程中，遇到了分段函数y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋1（x＜1），,\f(2,x) （x≥1），)) 为研究这个函数的图象与性质，进行了如下探究，请将下列探究过程补充完整：
(1)当x≥1时，函数的图象位于第______象限，此时y随x的增大而________；
(2)已知y与x的几组对应值如下表，补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系xOy中，描点、连线，画出该分段函数的图象；
第1题图
(3)研究函数并回答问题：
①已知点A(－2，y1)，B( eq \f(7,2) ，y2)，C(x1， eq \f(5,2) )，D(x2， eq \f(2,3) )在该函数图象上，则y1____y2，x1________x2(填“＜”“＞”或“＝”)；
②根据函数图象，直接写出 eq \f(2,x) (x≥1)<1时x的取值范围．
2. 德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下表：
第2题图
(1)数学活动：
①根据表中数据，通过描点，连线(光滑曲线)的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当t＝14时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？
(2)数学思考：请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论；
(3)数学应用：根据研究，当s＞10时处于情绪高潮期，心情愉快；s＜10时处于情绪低潮期，心情烦躁；s＝10时处于临界日，心情平稳，若小海从出生到今天的天数为5 501天，则今天他心情如何？
3. 如图①，已知线段AC＝2 cm，AB＝6 cm，P是线段AB上由点A向点B移动的一动点(不与点A，B重合)，连接CP，过点B作BD∥AC交射线CP于点D.设AP＝x cm，BD＝y1 cm.
第3题图
(1)求y1与x的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)x与y1的几组对应值如下表所示：
请你根据表中的数据，在如图②所示的平面直角坐标系中，通过描点、连线，画出y1与x的函数图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)若正比例函数y2＝2x与y1交于点M，画出正比例函数y2的图象，并直接写出y1＜y2时，x的取值范围．
4. 如图①，AB是⊙O的直径，C是直径AB上的一个动点，P是圆弧上一点，且＝3，AB＝8 cm，连接PC并延长，交⊙O于点D，连接AP，AD，BD.
小浩根据学习函数的经验，对AC，PD，BD的长度之间的关系进行了探究．下面是小浩的探究过程，请补充完整：
【收集数据】对于点C在直径AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC，PD，BD的长度的几组对应值，如下表：
【整理数据】
图① 图②
第4题图
(1)在整理数据时，小浩不小心将一滴墨水掉在了表格上，盖住了一组数据，若不再测量，请你用所学的圆的知识以及表格中数据的特征，帮助小浩恢复数据，m＝________，n＝________；
(2)将线段AC的长度作为自变量x，PD和BD的长度都是x的函数，分别记为y1，y2，并在平面直角坐标系xOy中画出了y2的图象如图②所示，请在同一坐标系中画出函数y1的图象；
(3)连接BP，根据函数图象及表格数据，完成下列问题(结果均保留一位小数).
①当△BPD为直角三角形时，AC的长约为________cm；
②当△BPD为等腰三角形时，PD的长约为________cm.
参考答案与解析
问题一 分析判断函数图象
1. D 【解析】依据题意，从容器的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先逐渐变快，再逐渐变慢，从函数的图象上看，D符合条件．
2. C 【解析】由题图可知，酒精浓度越大，心率越低，A选项错误；酒精对这种鱼类的心率是有影响的，B选项错误；当酒精浓度为10%时，心率为168次/分，C选项正确；心率与酒精浓度不是反比例函数关系， D选项错误．
3. C 【解析】根据题图②可知，当点C从点A开始向终点B运动的整个过程中所用时间为20秒，转过的圆心角为180°，∴点C 1秒转过的圆心角为 eq \f(180°,20) ＝9°，∴点C 5秒转过的圆心角为5×9°＝45°，即∠AOC＝45°.
4. C 【解析】由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度，∵AB＝4，EC＝ED＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×4＝2，∴BE＝ eq \r(BC2＋CE2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∴M(4，2 eq \r(5) ).
5. C 【解析】由函数图象可知，当x＝m时，点B′到达点B，如解图①，当x＝m＋4时，点C′到达点C，如解图②，∴B′C′＝m，BC＝m＋4，∴A′B′＝A′C′＝ eq \f(\r(2),2) B′C′＝ eq \f(\r(2),2) m，AB＝ eq \f(\r(2),2) BC，BB′＝4，由函数图象可知当m
图① 图②
第5题解图
6. A 【解析】∵四边形ABCD是正方形，PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠ABC＝∠BEP＝∠BFP＝90°，∴四边形BEPF是矩形，EP∥BC，PF∥AB，当点P从A→O运动时，对应函数图象的第一段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而增大，当点P从O→B运动时，对应函数图象的第二段，此时四边形BEPF的面积y随着运动时间x的增大而减小，∴当点P运动到点O处时，四边形BEPF的面积y有最大值2，设AC＝a.∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO＝BO＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) a，AB＝BC＝ eq \f(\r(2),2) AC＝ eq \f(\r(2),2) a，∵点O是AC的中点，EP∥BC，当点P运动到点O处时，EP＝ eq \f(1,2) BC＝ eq \f(\r(2),4) a，同理PF＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(\r(2),4) a，∴S矩形BEPF＝EP·PF＝( eq \f(\r(2),4) a)2＝2，解得a＝4(负值已舍去)，∴AC＝4.
7. A 【解析】当点P在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当点P到达点B时，△AOP面积最大为3.∴ eq \f(1,2) AB· eq \f(1,2) BC＝3，即AB·BC＝12.当点P在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当点P到达点C时，△AOP面积为0，此时结合图象可知点P运动路径长为7，∴AB＋BC＝7.则BC＝7－AB，代入AB·BC＝12，得AB2－7AB＋12＝0，解得AB＝4或3，∵AB
第8题解图
9. C 【解析】如解图，作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，连接NN′，PN′，MN，∵四边形ABCD为菱形，∴点N′在CD上，AC⊥BD，∴BD垂直平分NN′，∴PN＝PN′，NN′∥AC，∴PM＋PN＝PM＋PN′，∴当M，P，N′三点共线时，PM＋PN取最小值，最小值为MN′的长，在Rt△BCO中，BO＝BC·sin ∠OCB＝3× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(3\r(3),2) ，OC＝BC·cs ∠OCB＝3× eq \f(1,2) ＝ eq \f(3,2) ，∴BD＝2BO＝3 eq \r(3) ，AC＝2OC＝3，∵AM＝AN＝ eq \f(1,3) AB＝1，∴ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(AN,AD) ＝ eq \f(1,3) ， eq \f(DN,AD) ＝ eq \f(2,3) ，∵∠MAN＝∠BAD，∴△AMN∽△ABD，∴ eq \f(AM,AB) ＝ eq \f(MN,BD) ＝ eq \f(1,3) ，即 eq \f(MN,3\r(3)) ＝ eq \f(1,3) ，∴MN＝ eq \r(3) ，∵NN′∥AC，∴△DNN′∽△DAC，∴ eq \f(DN,DA) ＝ eq \f(NN′,AC) ＝ eq \f(2,3) ，即 eq \f(NN′,3) ＝ eq \f(2,3) ，∴NN′＝2，∵MN∥BD，NN′⊥BD，∴MN⊥NN′，即∠MNN′＝90°，∴在Rt△MNN′中，MN′＝ eq \r(MN2＋NN′2) ＝ eq \r(（\r(3)）2＋22) ＝ eq \r(7) ，∴PM＋PN的最小值为 eq \r(7) ，即a＝ eq \r(7) .
第9题解图
10. eq \f(7\r(3),2) 【解析】如解图，过点A作AQ⊥BC于点Q，由题图②可知，当点P运动至点B时，AB＝AP＝8，当点P运动至点Q时，AB＋BQ＝12，当点P运动至点C时，AB＋BC＝15，∴BQ＝4，BC＝7.在Rt△ABQ中，AB＝8，BQ＝4，∴AQ＝ eq \r(AB2－BQ2) ＝ eq \r(82－42) ＝4 eq \r(3) ，∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·CG＝ eq \f(1,2) BC·AQ，∴CG＝ eq \f(BC·AQ,AB) ＝ eq \f(7×4\r(3),8) ＝ eq \f(7\r(3),2) .
第10题解图
11. 4 【解析】由题图②得，若点P沿AC运动，则此时不能形成三角形ADP，三角形ADP的面积不存在，当点P在AB上运动时，S△ADP的面积随着点P的运动而增大，∵△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝AC，∠A＝60°，如解图，过点D作DH⊥AB于点H，则y＝ eq \f(1,2) AP·DH＝ eq \f(1,2) x·AD·sin A＝ eq \f(1,2) x·AD·sin 60°＝ eq \f(\r(3),4) AD·x，由题图②可得，当点P在点B处，y取得最大值为2 eq \r(3) ，此时，x＝AB＝AC，∵AD＝ eq \f(1,2) AC，∴ eq \f(\r(3),4) × eq \f(1,2) (AC)2＝2 eq \r(3) ，解得AC＝4＝AB(负值已舍去).
第11题解图
问题二 研究新函数
1. 解：(1)一，减小；
【解法提示】当x≥1时，分段函数的解析式为y＝ eq \f(2,x) (x≥1)，∴此时函数图象经过第一象限，且y随x的增大而减小．
(2)1， eq \f(4,5) ；函数图象如解图；
第1题解图
【解法提示】当x＝0时，∵0＜1，∴此时y＝|x|＋1＝1，当x＝ eq \f(5,2) 时，∵ eq \f(5,2) ＞1，∴此时y＝ eq \f(2,x) ＝ eq \f(4,5) .
(3)①＞，＜；
②x>2.
2. 解：(1)①补全该函数的图象如解图；
第2题解图
②根据图象以及周期性易知当t＝14时，s＝10；
当s的值最大时，t＝7；
(2)当0≤t≤7时，s随t的增大而增大；当7
当t＝13时，s>10，所以小海属于情绪高潮期，心情愉快．
3. 解：(1)∵BD∥AC，
∴△PDB∽△PCA，
∴ eq \f(BD,AC) ＝ eq \f(BP,AP) ，
∵AC＝2 cm，AB＝6 cm，AP＝x cm，BD＝y1 cm，
∴BP＝AB－AP＝6－x，
∴ eq \f(y1,2) ＝ eq \f(6－x,x) ，解得y1＝ eq \f(12,x) －2，
∵x＞0，AB＝6 cm，P是线段AB上由点A向点B移动的一动点(不与点A，B重合)，
∴0＜x＜6；
(2)根据表格数据画出y1的函数图象如解图①，
性质：y1随x的增大而减小(答案不唯一，写出一条即可)；
第3题解图①
(3)画出图象如解图②，当y1
第3题解图②
4. 解：(1)8.00，6.93；
【解法提示】如解图①，当AC＝4时，点C与圆心O重合，∴PD为⊙O的直径，∴∠DAP＝90°，PD＝AB＝8，∴m＝8.00，∵＝3，∴所对应的圆心角∠BOP＝60°，∴∠BOD＝120°，∴∠BAD＝60°，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，BD＝AB·sin ∠BAD＝8× eq \f(\r(3),2) ＝4 eq \r(3) ≈6.93，∴n≈6.93.
第4题解图①
(2)画出函数y1的图象如解图②；
第4题解图②
(3)①0.0或4.0；
【解法提示】当△BPD为直角三角形时，PD＝8或BD＝8，当PD＝8时，AC＝4.0，当BD＝8时，AC＝0.
②7.7或6.9.
【解法提示】△BPD为等腰三角形，若PD＝BD，则由函数图象可知y1＝y2≈7.7 cm；若BP＝BD，则y2＝4，则此时由表格数据知y1≈6.9 cm.BP＝DP不存在．∴PD＝7.7或6.9.
x
…
－2
－1
－ eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
2
eq \f(5,2)
3
…
y
…
3
2
eq \f(3,2)
__
eq \f(3,2)
2
eq \f(4,3)
1
__
eq \f(2,3)
…
天数t
…
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
…
波动值s
…
0.3
0
0.3
1
2.2
3.8
5.7
7.8
10
12.3
14.3
…
x/cm
1
2
3
4
5
y1/cm
10
4
2
1
0.4
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AC
0.00
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
PD
6.93
7.23
7.56
7.86
m
7.77
6.93
5.55
4.00
BD
8.00
7.97
7.86
7.56
n
5.76
4.00
1.92
0.00
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