高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第38练等比数列(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第38练等比数列(原卷版+解析)，共20页。试卷主要包含了(2023·四川·模拟等内容，欢迎下载使用。


1．(2023·北京育才学校模拟）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·四川·模拟（文））已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·福建泉州·模拟）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
5．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·吉林·洮南市第一中学模拟（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
7．(2023·北京市第十二中学三模）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）
8．(2023·河南开封·模拟（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
1．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（理））在数列中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·贵州·贵阳一中模拟（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
3．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟（理））数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．(2023·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．数列存在最小项D．数列存在最大项
5．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
7．(2023·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
8．(2023·河南·开封市东信学校模拟（理））已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
9．(2023·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
10．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________ .
1．(2023·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A．B．C．D．无穷多
2．(2023·浙江·模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．数列存在最大项D．数列存在最小项
3．(2023·福建福州·三模）已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ）
A．21B．38C．43D．44
4．(2023·湖北武汉·模拟）（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·江苏省滨海中学模拟）（多选题）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
7．(2023·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．
8．(2023·湖南益阳·一模）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
9．(2023·吉林吉林·模拟（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.
10．(2023·江苏苏州·模拟）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．
专题12 数列
第38练 等比数列
1．(2023·北京育才学校模拟）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：由题意得：
设的公差为
又
又，
故选：D
2．(2023·四川·模拟（文））已知为数列的前n项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】因为，所以数列为等比数列，公比，
所以，解得：，
所以
故选：D
3．(2023·福建泉州·模拟）记等比数列{}的前n项和为.若，则=（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以公比，
所以
故选：C
4．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）在等比数列中，已知，，则（ ）
A．20B．12C．8D．4
答案：C
【解析】设的公比为q，则，
解得，所以，
故选：C．
5．(2023·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；③，必成等比数列的个数为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；
故选：B
6．(2023·吉林·洮南市第一中学模拟（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．
答案：
【解析】因为，，成等比数列
，即
解得 或（舍）
故答案为：
7．(2023·北京市第十二中学三模）已知等比数列满足，且其前n项和，则数列的通项公式可以是___________.（写出一个符合条件的即可）
答案：（符合条件的一个即可）
【解析】由题意知，设等比数列的公比为，
由，得，
若，则，
由得，所以，
则可满足上述条件.
故答案为：.
8．(2023·河南开封·模拟（理））在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．
答案：１或.
【解析】解：当时，满足，，此时；
当时，由，，
可得：，解得 ，此时.
综上所述：公比的值为：１或.
故答案为：１或.
1．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（理））在数列中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．
故选：C．
2．(2023·贵州·贵阳一中模拟（文））已知数列是等差数列，数列是等比数列，若则的值是（ ）
A．B．1C．2D．4
答案：B
【解析】由等差中项的性质可得，由等比中项的性质可得，因此，.
故选：B.
3．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟（理））数列中，，对任意m，，，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
答案：C
【解析】解：在等式，中，令，可得，∴，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
∴，∴，则，解得
故选：C.
4．(2023·上海崇明·二模）已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是（ ）
A．数列是递增数列B．数列是递减数列
C．数列存在最小项D．数列存在最大项
答案：C
【解析】对AB，当公比为时，此时，此时既不是递增也不是递减数列；
对CD，设等比数列公比为，当时，因为，故，故，此时，易得随的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；
当时，因为，故，故，，因为，故当为偶数时，，随着的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，，随着的增大而减小，故无最小值，有最大值.综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值
综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误
故选：C
5．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知正项等比数列满足，若存在、，使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设等比数列的公比为，则，由可得，解得，
因为，则，，可得，
由已知、，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：D.
6．(2023·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
答案：
【解析】
∵，即，则
又∵，即，则
∵，则，∴，则
∴
故答案为：．
7．(2023·上海虹口·二模）已知等比数列的前项和为，公比，且为与的等差中项，.若数列满足，其前项和为，则_________.
答案：
【解析】由题可得，，而，解得：，所以，即，所以．
故答案为：．
8．(2023·河南·开封市东信学校模拟（理））已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
答案：
【解析】由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
9．(2023·上海闵行·二模）已知无穷等比数列的各项均为正整数，且，则满足条件的不同数列的个数为___________；
答案：13
【解析】由题意得：此等比数列的公比，
由得：，
则，即，
所以能整除，且
因为，
所以，
解得：，
经检验，均满足要求，
故满足条件的不同数列的个数为13个.
故答案为：13
10．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________ .
答案：9 (9~12的正整数均可)
【解析】在等比数列{an}中，设公比为，数列各项均为正数，所以
由，则，解得或（舍），
又，解得.
则
即，即
当，即，也即 时，有成立.
又正整数，且
又当时，，显然有成立.
当时，也有成立.
所以9～12的正整数均可满足条件.
故答案为：9
1．(2023·上海青浦·二模）设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使、、成等比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ）
A．B．C．D．无穷多
答案：B
【解析】根据题意可知，，化简可得，
因为各项均为正整数，则，故是的倍数，且，
因为、、成等比数列，则，分以下情况讨论：
①若，则，可得，，解得，合乎题意；
②若，则，可得，，解得，合乎题意；
③若，则，可得，，解得，不合乎题意；
④若，则，可得，，解得，不合乎题意；
⑤若，则，可得，此时，是常数列，且每项均为，合乎题意.
综上所述，公差的所有可能取值的个数为.
故选：B.
2．(2023·浙江·模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．数列存在最大项D．数列存在最小项
答案：B
【解析】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，故选项A正确；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，
故选项B错误；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．故选项C，选项D均正确．
故选：B．
3．(2023·福建福州·三模）已知数列，的通项分别为，，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（ ）
A．21B．38C．43D．44
答案：C
【解析】由题，，则数列为，……
，则数列为，……
设数列的前项和为，数列的前项和为，
则，，
当时，，，则，不符合条件；
当时，，则， 不符合条件；
以此类推，因为，则前21项中，有的前16项，的前5项，且,
当时，，不符合条件，故排除A；
因为，则前38项中，有的前32项，的前6项，且,
当时，，不符合条件，故排除B；
因为，则前43项中，有的前37项，的前6项，且，
当时，，符合条件，
故选：C
4．(2023·湖北武汉·模拟）（多选题）已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：ACD
【解析】，A正确；
对于，有，两式相加得，C正确；
由知，则，B错误；
由偶数项均为可得为偶数时，，则
，则，D正确.
故选：ACD.
5．(2023·江苏省滨海中学模拟）（多选题）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．
答案：AD
【解析】由条件，两边同时除以，得，
∴∴，∴，
对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；
，，所以B选项错误；
对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，故C选项错误；
对于D选项，，
∴
，又∵，所以D选项正确.
故选：AD.
6．(2023·上海徐汇·二模）已知定义在上的函数满足，当时，．设在区间上的最小值为．若存在，使得有解，则实数的取值范围是______________．
答案：
【解析】当时，，因为定义在上的函数满足，
，令，则，所以，当时，有，所以，当时，，
，令，则，，有
，所以，当时，，同理可得，时，，根据规律，明显可见当，，且此时的必为增函数，又因为为在区间上的最小值，所以，
，所以，若存在，使得有解，则有有解，进而必有，根据该函数的特性，明显可见，当时，有，所以，此时有
故答案为：
7．(2023·陕西西安·二模（理））“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A是一个有限“0，1数列”，表示把A中每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，所得到的新的“0，1数列”，例如，则．设是一个有限“0，1数列”，定义，k=1，2，3，…．若有限“0，1数列”，则数列的所有项之和为______．
答案：
【解析】因，依题意，，，
显然，中有3项，其中2项为0，1项为1，由于每个0都变为1，0，1，每个1都变为0，1，0，
则中有9项，其中4项为0，5项为1，同理可得有27项，其中有14项为0，13项为1，
由此可得中有项，其中0的项数与1的项数差的绝对值是1，当为奇数时，0的项数为偶数，比1的项数多1项，
当为偶数时，0的项数为奇数，比1的项数少1项，因此，数列有项，0的项数比1的项数少1 项，
所以数列的所有项之和为.
故答案为：
8．(2023·湖南益阳·一模）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
答案：
【解析】由，有，；
两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，，，从而.
所以.
故答案为：
9．(2023·吉林吉林·模拟（文））如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.
答案：
【解析】∵，，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；
∴，则，
∵数列是“数列”，∴对任意n≥2，均成立，
即对于任意n≥2，均成立，
∵函数在R上单调递增，故≥，
∴，解得t<1；
又在t<1时也成立，
故当t<1时，对任意，均成立，故t的范围是．
故答案为：；．
10．(2023·江苏苏州·模拟）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．
答案：
【解析】当，时，，所以；
，令，则，
，
，
而，则，，
所以.
故答案为：-i；