高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第15练解三角形(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第15练解三角形(原卷版+解析)，共23页。


1．(2023·天津·耀华中学二模）已知下列命题：
①命题：“，”的否定是：“，”；②抛物线的焦点坐标为；③已知，则是的必要不充分条件；④在中，是的充要条件.
其中真命题的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
2．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（文））在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则的面积为___________.
6．(2023·湖北·鄂南高中模拟）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为__________.
7．(2023·安徽蚌埠·模拟（理））凸四边形ABCD的面积为S，，，，则S的最大值为______.
1．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
2．(2023·河南·南阳中学模拟（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·吉林市教育学院模拟（理））在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
4．(2023·河北·沧县中学模拟）如图，在正四面体中，E为的一个靠近点D的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
6．(2023·上海金山·二模）已知平面向量满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为__________.
7．(2023·青海·海东市第一中学模拟（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．
8．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
1．(2023·四川省泸县第四中学模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·陕西·长安一中三模（文））在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A．B．C．D．
4．（多选题）(2023·福建·厦门双十中学模拟）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（多选题）(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
6．(2023·福建南平·三模）四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）已知中，D在线段上，的长分别为2、3、6，则长为_______，的面积为________．
8．(2023·湖北·武汉二中模拟）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.
9．(2023·宁夏石嘴山·一模（理）），，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．
专题04 三角函数
第15练 解三角形
1．(2023·天津·耀华中学二模）已知下列命题：
①命题：“，”的否定是：“，”；②抛物线的焦点坐标为；③已知，则是的必要不充分条件；④在中，是的充要条件.
其中真命题的个数为（ ）个
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】①；因为全称命题的否定是存在命题，所以“，”的否定是：“，”，因此本说法正确；②：，因此该抛物线的焦点坐标为：，所以本说法不正确；③：由，或，由，或，
因此由能推出，但是由不一定能推出，
所以是的充分不必要条件，因此本说法不正确；④：在中，一方面，因为，所以，由正弦定理可知：；另一方面，由，
所以在中，是的充要条件，因此本说法正确，
所以真命题的个数为2个，
故选：B
2．(2023·江苏·南京市宁海中学模拟）设、分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，不妨设，
由椭圆和双曲线的定义可得，得，
设，因为，由余弦定理得
，
即，
整理得，故.
又，即，
所以，即的最小值为，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.
3．(2023·湖北·孝昌县第一高级中学三模）已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得，
所以，则，
由椭圆的定义可得，
所以，
因为，
所以，解得，，
在中，，
在中，，
因为，
所以，即，
所以
所以.
故选：C
4．(2023·湖南·长郡中学模拟）如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”、“起”、“向”、“未”、“来”的五块高度均为2米的标语牌正对看台（B点为看台底部）由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为，，…，，且米．为使距地面6米高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则（ ）
A．40.5米B．54米C．81米D．121.5米
答案：C
【解析】依题意，
，
，
，
所以米.
故选：C
5．(2023·河南·平顶山市第一高级中学模拟（文））在中，内角、、所对的边分别是、、，若，，则的面积为___________.
答案：
【解析】因为，所以，
由余弦定理可得，所以，
故，所以的面积.
故答案为：.
6．(2023·湖北·鄂南高中模拟）的内角的对边分别为，且，则的外接圆半径为__________.
答案：
【解析】，则，
由正弦定理，得
故，
展开化简得：，，，
故，，
即，
∴外接圆直径，
故外接圆半径为.
故答案为：.
7．(2023·安徽蚌埠·模拟（理））凸四边形ABCD的面积为S，，，，则S的最大值为______.
答案：49
【解析】
易知，显然当，即时，取得最大值49，
下面验证能同时成立，当时，，又，即，故的最大值为49.
故答案为：49.
1．(2023·上海奉贤·二模）在中，三个内角A、B、C所对应的边分别是a、b、c．已知：，：，则是的（ ）．
A．充分非必要条件；B．必要非充分条件；C．充要条件；D．既非充分又非必要条件．
答案：C
【解析】充分性：由正弦定理.因为，可得.故充分性满足；必要性：由正弦定理.因为，可得.故必有性满足.
故是的充要条件.
故选：C
2．(2023·河南·南阳中学模拟（文））中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】在△ABC中，由余弦定理得：
设，，因为，
所以，即，
因为A、B、D三点共线，
所以，
解得：，
所以，
即
因为AB=5，
所以AD=3，BD=2
在三角形ACD中，由余弦定理得：
，
因为，所以.
故选：A
3．(2023·吉林市教育学院模拟（理））在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．直角三角形
答案：A
【解析】由，得，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以，
所以,
所以为等腰直角三角形，
故选：A
4．(2023·河北·沧县中学模拟）如图，在正四面体中，E为的一个靠近点D的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】如图，在棱取一点F，使得，连接，
因为E为的一个靠近点D的三等分点，所以，
则， 根据异面直线所成角的定义，
（或其补角）即为异面直线与所成的角，
设正四面体的边长为3，，
在中，，，
由余弦定理得： ，
，同理，
在中，由余弦定理得：
，
即异面直线与所成角的余弦值为；故选：B．
5．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟）锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，若，则的取值范围是__________．
答案：
【解析】因为，由正弦定理得，
由余弦定理得，而,所以，
因为，由正弦定理知，
所以，
因为在锐角中，有，，得，
所以，此时，
则，
故答案为：
6．(2023·上海金山·二模）已知平面向量满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为__________.
答案：
【解析】设，因为，故，则，显然，对两边平方有，即有解，因为，当且仅当，即时取等号.故 ，则面积的最大值为，当且仅当时取等号.
故答案为：
7．(2023·青海·海东市第一中学模拟（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______．
答案：
【解析】，则原等式为，由正弦定理得，
，当且仅当时取等号．
故答案为：.
8．(2023·湖北·华中师大一附中模拟）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
答案：2
【解析】由题意可知，, ,
故在中，，
故 ，，
在中，，
故 ，，
所以在中，，则 ,
故答案为：2
1．(2023·四川省泸县第四中学模拟（理））在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选：.
2．(2023·陕西·长安一中三模（文））在中，角对应的边分别是，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由正弦定理，可得，
即，
即，进一步由正弦定理，可得，
再由余弦定理，可得，
即，
所以
，
当且仅当，，时取等号，
又因为，所以，所以的最大值为.
故选A.
3．如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，若，则的最大值是（ ）.（仰角为直线与平面所成的角）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】解：，，
由勾股定理知，，
过点作交于，连结，则，
设，
若在线段上，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为；若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值.
故答案为：．
4．（多选题）(2023·福建·厦门双十中学模拟）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：ACD
【解析】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长.
A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；C. 在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D.
如图，过点作,连接.
由于,
所以，所以可以求出的大小，
在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.
故选：ACD
5．（多选题）(2023·江苏·扬中市第二高级中学模拟）在中，角、、的对边分别为、、，面积为，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．的最大值为
B．当，时，不可能是直角三角形
C．当，，时，的周长为
D．当，，时，若为的内心，则的面积为
答案：ACD
【解析】对于选项A：
（当且仅当时取等号）.
令，，故，
因为，且，
故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，
故可得，
又，故可得，
当且仅当，，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；对于选项B：因为，所以由正弦定理得，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，故选项B错误；对于选项C，由，可得，由得，
由正弦定理得，，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，则，
所以，所以，，，
因为，所以，，
所以的周长为，故选项C正确；对于选项D，由C可知，为直角三角形，且，，，，，所以的内切圆半径为，
所以的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
6．(2023·福建南平·三模）四面体中，，，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为___________.
答案：
【解析】
由，，，且异面直线与所成的角为构建直三棱柱，由得，
易得四面体的外接球即为直三棱柱的外接球，取的外心，易得的中点即为球心，又，
则，由正弦定理得，又，
又由余弦定理得，即，
当且仅当时取等，故的最大值为3，四面体的体积的最大值为.
故答案为：.
7．(2023·浙江·绍兴一中模拟）已知中，D在线段上，的长分别为2、3、6，则长为_______，的面积为________．
答案：
【解析】解：在中，设，，
由，可得
由余弦定理，
可得，解得，所以，
由余弦定理可得，
所以，
所以．
故答案为：；；
8．(2023·湖北·武汉二中模拟）在锐角中，，则角的范围是________，的取值范围为__________.
答案：
【解析】解：因为及，
所以，
由正弦定理得，
所以，
整理得，
即，
所以，即，
又为锐角三角形，所以，解得，
故，，
则
，
令，则，在上单调递增，在上单调递减，
又，，
故，即．
故答案为：；．
9．(2023·宁夏石嘴山·一模（理）），，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．
答案：
【解析】①因为
所以
又
即
所以
所以
即面积的最大值为
②过作，垂足为,
则面积的最大时，最大，的最大值为，
此时为等腰三角形，为中点
，
则当平面时, 最大，此时面面
如图,
设为四面体 外接球的球心, ，分别为，的外接圆的圆心.
平面，平面,
在中

四面体外接球的半径
外接球的表面积为