27，上海市徐汇区2023-2024学年高二上学期期末统考数学试卷

这是一份27，上海市徐汇区2023-2024学年高二上学期期末统考数学试卷，共18页。

一、填空题 （本大题共有12小题，满分48分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分.
1. 设是一个随机事件，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的基本性质可得结果.
【详解】因为随机事件的概率，
故答案为：.
2. 已知向量，，若，则mn的值为______.
【答案】-2
【解析】
【分析】运用向量平行坐标运算公式即可.
【详解】∵，
∴，解得：，，
∴.
故答案为：.
3. 抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】求一枚正面朝上的概率与没有正面朝上的概率，利用加法公式，可得结果.
【详解】抛掷3枚质地均匀的硬币，恰好一枚正面朝上的概率为，
没有正面朝上的概率为，两个事件互斥，
所以最多1枚朝上的概率为.
故答案为：.
4. 球的体积是，则球的表面积是_____
【答案】
【解析】
【分析】根据球的体积求得球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】设球的半径为，依题意，故球的表面积为.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查球的体积和表面积有关计算，属于基础题.
5. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．
【答案】
【解析】
【分析】设这个水库里大概有条鱼，利用等比例性质求即可.
【详解】令这个水库里大概有条鱼，由题意有，可得条.
故答案为：
6. 在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，则这个点到二面角的棱的距离为___________.
【答案】20
【解析】
【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解.
【详解】
如简图所示，两平面相交于点，，，，，则为二面角的平面角，则，即点到二面角的棱的距离为20.
故答案为：20
7. 用斜二测画法画一个水平放置的边长为12的正三角形的直观图，则该直观图的面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】斜二测画法画平面图形的直观图的面积是原图面积的倍.
【详解】边长为12的正三角形的面积为，
斜二测画法画的直观图面积.
故答案为：.
8. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.
【答案】10.8
【解析】
【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.
【详解】数据从小到大排序： 8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，
所以，
所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.
故答案为：10.8
9. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为 __．
【答案】6
【解析】
【分析】利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.
【详解】当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形S，
水的体积V水S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，
即当底面ABC水平放置时，液面高为6．
故答案为：6．
10. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______.
【答案】①③
【解析】
【分析】用极差，平均数及众数的概念结合条件判断①③，举反例判断②.
【详解】对于①，假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3
得到此数据中最小值为，此时数据的平均数必然大于7，
与矛盾，故假设错误，
所以此组数据全部小于10，符合题意，故①正确；
对于②，举反例：1，1，1，1，11，平均数，且标准差，
但不符合入冬指标，故②错误；
对于③，因为众数为5，极差小于等于4，
则最大数不超过9，故③正确.
故答案为：①③.
11. 如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用平面与平面平行的性质定理，得，，求与所成的角的余弦值即为所求.
【详解】设平面平面，因为平面，所以，
又因为平面平面，且平面平面，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，
同理可证，异面直线与所成的角即所成的
在正四棱柱中，底面是正方形，且，
，，
，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
12. 点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为________.
【答案】##
【解析】
【分析】将正四面体放入正方体中，得到正方体的体对角线是，从而得到该正方体的边长，再根据条件得到扫过的区域的体积即可.
【详解】图，作出正四面体，

将正四面体放入正方体中，如下图所示：

则是该正方体的中心，
设该正方体的棱长为，则，解得：，
又，，
则知扫过的区域的边界是以该正方体的六个面作延伸的六个全等的正方体的中心为顶点的正方体，其中两个面如下图所示：

可得动点扫过的区域的体积为该正方体体积的倍，
即动点扫过的区域的体积.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 已知直线和平面，若，则“”是“”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要
【答案】B
【解析】
【分析】充分性，以正方体为例，把直线和平面对应正方体的棱和面，举出反例即可；必要性利用线面平行的性质定理和空间平行线的性质判断即可.
【详解】必要性，若，则存在直线，，
由于，，得，
因为，，所以，必要性成立；
充分性：若平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足， ，
但平面，即，不满足充分性；
所以“”是“”的必要非充分条件；
故选：B.
14. 某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ）
A 散点图B. 条形图C. 茎叶图D. 扇形图
【答案】A
【解析】
【分析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可；
【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适；
故选：A
15. 甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
首先求得甲的平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公式求解其概率值即可.
【详解】由题意可得：，
设被污损的数字为x，则：，
满足题意时，，即：，
即x可能的取值为,
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：.
故选C.
【点睛】本题主要考查茎叶图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
A. 命题是真命题，命题是假命题B. 命题是假命题，命题是真命题
C. 命题，都是真命题D. 命题，都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.
【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为，
如图所示：
对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面
，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题；
对于，平面，所以如果M点在面上时，
过M的直线如果跟相交，则与异面，不会相交，所以命题是假命题.
故选：A.
三、解答题 （本大题满分56分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 某中学有高一年级学生600人，高二年级学生400人参加知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取100名学生，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．

（1）求从该校高一年级、高二年级学生中各抽取的人数；
（2）根据频率分布直方图，估计该校这1000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数．
【答案】（1）人、人
（2）人
【解析】
【分析】（1）根据分层抽样计算方法计算可得；
（2）由频率分布直方图求出竞赛成绩在分（含分）的频率，即可估计人数.
【小问1详解】
依题意从高一年级学生中抽取人，
从高二年级学生中抽取人，
【小问2详解】
由频率分布直方图可得竞赛成绩在分（含分）的频率为，
所以估计该校这名学生中竞赛成绩在分（含分）以上的人数为人.
18. 如图，在直四棱柱中，，为的中点，点在上，且满足
（1）求直四棱柱的侧面积
（2）设点在上，且，试判断直线是否在平面内，并说明理由.
【答案】（1）；
（2）在平面内，理由见解析
【解析】
【小问1详解】
由题意知
则直四棱柱的侧面积为
【小问2详解】
如图：
过作交于点，
以方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.
则.
又为的中点，点在上，且满足.
点在上，且，
则.
设为平面的法向量,
则
设，可得.
又.
则直线在平面内.
19. 甲乙两人进行某项比赛
（1）若比赛结果有胜利、失败、平局三种，已知甲获胜的概率为，甲不输的概率为，求甲乙两人取得平局的概率；
（2）若比赛结果只有胜利、失败两种，已知甲获胜的概率为（），对于甲来说，一局定胜负和三局两胜两种比赛方式比较，试问哪种比赛方式对甲更有利？说明你的理由.
（说明：“三局两胜”是常见的比赛模式，指先赢得两局者为胜，做多三局结束）
【答案】（1）0.5 （2）一局定胜负对甲更有利
【解析】
【分析】（1）甲不输是甲获胜与平局互斥的和事件，利用加法公式，求平局的概率；
（2）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小.
【小问1详解】
甲乙两人取得平局的概率为.
【小问2详解】
对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为，
三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为，因为，
，
所以，则一局定胜负对甲更有利
20. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面.
（1）求证：
（2）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为？若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标，利用空间向量法计算可得；
（2）设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，利用空间向量法求出，再由向量法求出点到平面的距离.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，平面，
如图以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，
所以，所以.
【小问2详解】
设线段上存在一点，使得与所成角的余弦值为，
则，又，
所以，解得（负值舍去），
所以存在满足条件，
所以，依题意可得，
设为平面的法向量，
则，设，可得，
所以点到平面的距离为.
21. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形为底面圆周上异于的点
（1）若是线段的中点，求证：平面
（2）若，设直线为平面与平面的交线，点与平面所成角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明；
（2）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.
【小问1详解】
取中点，连接，如图，
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
延长交于点，作直线，则直线即为直线，
，则，
以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
在等腰梯形中，，
此梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
所以，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则有：，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.