2023-2024学年上海市杨浦区高二（下）期末数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年上海市杨浦区高二（下）期末数学模拟试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“m=−1”是“直线l1：x+my−2=0与直线l2：(m−2)x+3my+2m=0互相垂直”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
2.设a、b是两条不同的直线，α是一个平面，若a/​/α且b/​/α，则a、b的位置关系是( )
A. 相交B. 平行C. 异面D. 不能确定
3.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且P(A)=2P(B)，则P(A−)=( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
4.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形BCC1B1内部(不含边界)运动，给出以下三个结论：
①存在点P满足PD1⊥MB1；
②存在点P满足PD1与平面A1D1M所成角的大小为60°；
③存在点P满足MD1+MP=125；
其中正确的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线y2=4x的焦点坐标为 ．
6.直线y=x的倾斜角大小是______．
7.已知圆C的方程为x2+y2−2x+4y=0，则圆心C的坐标为______．
8.平行直线3x+4y−5=0及3x+4y+5=0之间的距离是______．
9.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是______．
10.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装______立方厘米．
11.已知a=(1,−2,3)，b=(2,m,n)，若a//b，则m+n= ______．
12.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．
13.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50,100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，图中x的值是______．
14.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE=13BB1，DF=23DD1.若EF=xAB+yAD+zAA1，则x+y+z= ______．
15.已知数列{an}是首项是1，公比为q(q>0)的等比数列，数列{bn}的通项公式是bn= n+1.设双曲线x2an2−y2bn2=1的离心率为en且e2= 152，则当n= ______时，en最大．
16.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”.如图，抛物线C的方程为y=x2，过点(1,0)作抛物线C的切线l(l的斜率不为0)，将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作Ω，利用祖暅原理，可得出几何体Ω的体积为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
设数列{an}为等差数列，其公差为d，前n项和为Sn．
(1)已知a2=21，a7=76，求a1及d；
(2)已知a6=10，S5=5，求S8．
18.(本小题14分)
如图，三棱柱OAB−O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB．
(1)求异面直线AO1与OB1所成角的大小；
(2)求点O到平面AO1B的距离．
19.(本小题14分)
某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下(其中a∈N，b∈N)；
(1)请写出高二年级样本的中位数；
(2)若高一年级样本的平均数为3.2，求a的值；
(3)在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a的值．
20.(本小题18分)
端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体A−BCD，设棱长为a．
(1)求证：BC⊥AD；
(2)求箬竹叶折出的二面角A−BC−D的大小；
(3)用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合.请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短(不计打结用的绳子)，请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．
21.(本小题18分)
如图，已知椭圆C的方程为x24+y2=1，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点，点E的坐标是(4,0)，过点E的动直线l交椭圆C于点P、Q(点P的横坐标小于点Q的横坐标)．
(1)求椭圆C焦点的坐标；
(2)是否存在常数λ，使OP⋅OQ+λEP⋅EQ为定值，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
(3)当设直线l的斜率不为0时，设直线AP与BQ交于点S.请提出一个与点S有关的问题，并求解该问题．
(备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分.)
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.D
5.(1,0)
6.45°
7.(1,−2)
8.2
9.0.5
10.16π3
11.2
12.16

14.13
15.10或11
16.4π3
17.解：(1)由a2=21，a7=76，
有a1+d=21a1+6d=76，解得a1=10d=11；
(2)由a6=10，S5=5，
有a1+5d=105a1+10d=5，解得a1=−5d=3，
所以s8=8a1+8×72d=−40+28×3=44．
18.解：(1)因为三棱柱OAB−O1A1B1中，OA=OB=OO1=1，∠AOB=90°，OO1垂直于平面OAB，
所以可以把该棱柱补成一个棱长为1的正方体，
因为B1O1//AC，B1O1=AC，
所以四边形ACB1O1为平行四边形，
故AO1//CB1，
所以∠OB1C即为异面直线AO1与OB1所成角，
因为OC=B1C=OB1，
所以∠OB1C=60°．
即异面直线AO1与OB1所成角为60°．
(2)由(1)知，△AO1B为边长为 2的等边三角形，
所以S△AO1B= 34×( 2)2= 32，
设点O到平面AO1B的距离为ℎ，
则VO−AO1B=VO1−AOB，
所以13S△AO1B⋅ℎ=13⋅S△AOB⋅O1O，
即 32⋅ℎ=12×2×2×2，
解得ℎ=8 33，
所以点O到平面AO1B的距离为8 33．
19.解：(1)因为高二年级进球数不超过2个的人数为16人，不超过3个的人数为60人，
所以高二年级样本的中位数为3个；
(2)因为高一年级样本的平均数为3.2，
所以1100×(0×4+1×2+2a+3b+4×42+5×12)=3.2，
即2a+3b=90，
又因为4+2+a+b+42+12=100，
所以a+b=40，
联立方程2a+3b=90a+b=40，解得a=30b=10，
即a的值为30；
(3)由题意可知，高一100人中进球数为2的有a人，概率为a100；高二100人中进球数为2的有12人，概率为12100=325，
所以“至少有一个人的进球数为2”的概率是1−(1−a100)×(1−325)=0.4016，
解得a=32．
20.证明：(1)取BC中点，连接AE，DE，
因为正四面体A−BCD，所以△ABC，△DBC都是正三角形，
所以AE⊥BC，DE⊥BC，
因为AE，DE⊂平面AED，且AE∩DE=E，
所以BC⊥平面AED，又AD⊂平面AED，
所以BC⊥AD．
解：(2)由(1)可知，∠AED是二面角A−BC−D的平面角，
因为正四面体的棱长为a，所以AE=DE= 32a，AD=a，
所以在△AED中，由余弦定理得：cs∠AED=AE2+DE2−AD22AE⋅DE=34a2+34a2−a22× 32a× 32a=13，
又二面角A−BC−D是锐二面角，所以∠AED=arccs13，
即二面角A−BC−D的大小为arccs13．
(3)正四面体展开图如下图所示：，题意要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合，使绳子长度最短，如图可知取两边中点连线即可达成要求，此时绳子最短．具体路径如下图所示：
．
21.解：(1)椭圆C的方程为x24+y2=1，
则a=2，b=1，
所以c= a2−b2= 3，
则椭圆的焦点坐标为( 3,0)和(− 3,0)；
(2)①l必存在斜率，当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为：x=my+4，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=my+4x24+y2=1并化简得：(m2+4)y2+8my+12=0，
∴Δ=64m2−48(m2+4)>0，解得m2>12，
∴y1+y2=−8mm2+4，y1y2=12m2+4，
又EP=(my1,y1)，EQ=(my2,y2)，OP=(my1+4,y1)，OQ=(my2+4,y2)，
∴OP⋅OQ+λEP⋅EQ=λ(1+m2)y1y2+(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16
=12(λ+1)(1+m2)m2+4−32m2m2+4+16=(12λ−4)m2+12λ+76m2+4，
若使OP⋅OQ+λEP⋅EQ为定值，
只需12λ−41=12λ+764，即λ=239，其定值为803；
②当直线l斜率为0，直线l的方程为y=0，则有P(−2,0)、Q(2,0)，
又EP=(−6,0)，EQ=(−2,0)，OP=(−2,0)，OQ=(2,0)，
∴OP⋅OQ+λEP⋅EQ=12λ−4，
当λ=239时，OP⋅OQ+λEP⋅EQ也为定值803，
综上，存在一个常数λ=239，使OP⋅OQ+λEP⋅EQ为定值803．
(3)问题：S是否在一条定直线上？
点S在定直线上，理由如下：
由(2)可知−32(y1+y2)=my1y2，A(−2,0)，B(2,0)，
当直线l的斜率不为0时，x1≠−2，x2≠2，
则直线AP的方程为y=y1x1+2(x+2)，
直线BQ的方程为y=y2x2−2(x−2)，
则y1x1+2(x+2)=y2x2−2(x−2)，
则x+2x−2=y2(x1+2)y1(x2−2)=y2(my1+6)y1(my2+2)=my1y2+6y2my2y1+2y1
=−3(y1+y2)2+6y2−3(y1+y2)2+2y1=−3y1+9y2y1−3y2=−3，
所以x=1，
所以点S的轨迹方程为x=1，即点S在定直线上． 命中环数
6
7
8
9
10
频率
0.1
0.15
0.25
0.3
0.2
进球数
0
1
2
3
4
5
高一人数
4
2
a
b
42
12
高二人数
3
1
12
44
33
7