还剩52页未读，
继续阅读
2024河北中考数学二轮重难专题研究 专题五 圆的综合题（课件）
展开
这是一份2024河北中考数学二轮重难专题研究 专题五 圆的综合题（课件），共60页。PPT课件主要包含了例题解图①，例题图②，例题解图②，例题解图③，例题解图⑤，例题解图⑥，第1题图，备用图，第1题解图②，第1题解图③等内容，欢迎下载使用。
(1)如图①，当点O为AB中点时，则S△AOM＝________；
【思维教练】在直角三角形中遇到斜边中点时，常作两种辅助线：中位线、斜边中线．
【解法提示】如解图①，过点O作OF∥BC，交AC于点F，
【思维教练】注意点Q为AM的中点．
(2)如图②，当点O与点A重合时，连接BQ，则tan∠QBC＝________；
【思维教练】求圆中的弦长时，常常用到垂径定理．
(3)如图③，当⊙O经过点B时，求⊙O被BC截得的弦长；
(3)由(1)得BC＝8，∴AB＝10.如解图②，当⊙O经过点B时，延长MO交BC于点H，设⊙O与BC交于另一个点D.
【思维教练】①确定四边形的形状，再根据相似图形的性质求解．
(4)当⊙O与AM相切时，延长MO交BC于点P.①求四边形MPCA的周长；
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AM＝ ，∴四边形MPCA的周长＝2AC＋2AM＝2×6＋2× ＝12＋ ＝ ；
【思维教练】②直角三角形的外心为斜边中点．
②直接写出△AOM的外心与△BOP的外心之间的距离；
【思维教练】点O在AB上，⊙O与△ABC的边相切，则可分两种情况讨论：与边BC相切，与边AC相切，利用切线的性质与三角函数求解．
(5)当⊙O与△ABC的边相切时，求OB的长；
如解图⑤，当⊙O与AC相切于点N时，连接ON，ON⊥AC.在Rt△OAN中，NO＝2，cs∠AON＝ ＝ ＝ ＝ ，∴OA＝ ，∴OB＝AB－OA＝10－ ＝ ；∴OB的长为 或 ；
【思维教练】利用垂线段最短及三角函数求解．
(6)连接CQ，直接写出CQ长度的最小值．
【解法提示】如解图⑥，过点M作MR⊥AB，垂足为R，延长MO交BC于点T，过Q作QS⊥AB，交AB于点S，连接CS，
1. (2022河北25题10分)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧 ，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝ .在优弧 上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧 上一段 的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
1. 解：(1)根据题意，优弧 所在圆的半径OA＝26，由弧长公式得 ＝13π，解得n＝90，∴∠AOP＝90°.(1分)∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠AOB，∴在Rt△POQ中，OQ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴x＝ ；(3分)
(2)求x的最小值，并指出此时直线l与 所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
【解法提示】当点P在如解图②所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，
同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM－MQ＝24－7.5＝16.5，∴x＝－16.5；
当点P在如解图③所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，
当点P在如解图④所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM＋MQ＝24＋7.5＝31.5，∴x＝－31.5.综上所述，这时x的值为31.5或－16.5或－31.5.
(3)x的值为31.5或－16.5或－31.5.(10分)
2. 如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为 的中点，连接BE、CF相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接CE，BF.(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵BC为半圆O的直径，∴∠E＝90°，∴∠ECF＋∠EMC＝90°，∴∠EBC＋∠ABM＝90°，∴AB⊥BC，∵OB为半圆O的半径，∴直线AB与⊙O相切；
(2)若AF＝FM，试说明 的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是，请说明理由；
(3)若tan∠ACB＝ ，BM＝10.求EC的长．
∴BF＝ ，FM＝ ，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝ ＝ ，∴CF＝ ，∴CM＝CF－FM＝ ，∵∠FMB＝∠EMC，∠FBM＝∠ECM，∴△FBM∽△ECM，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EC＝12.
例 如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝ AB＝10，∠ADG＝60°.射线DM从DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM相交于点H，与直线DG相交于点F，其中0°<α<180°，且α≠90°.(1)当α＝20°时， 的长为________；
【思维教练】运用弧长公式求解．
(2)当α＝120°时，判断△ADH的形状，并求它的周长；
【思维教练】根据旋转角度及圆的半径相等，判断三角形形状．
(3)△ADH的外心能否在边DH上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由；
【思维教练】若△ADH的外心在边DH上，则边DH应为直角三角形的斜边，即转化为判断∠DAH是否可以为90°的问题．
(3)不能．理由如下：若△ADH的外心在边DH上，则∠DAH＝90°，如解图②所示．∵∠DAH＝90°，∴HF与⊙O相切于点A.∵点C是直线HF与⊙O的交点，∴点C为切点，点A与点C重合．∴∠BOC＝180°，即2α＝180°，解得α＝90°，不合题意(α≠90°)，舍去．∴符合条件的△AHD不存在，即△AHD的外心不能在边DH上；
(4)若射线DM与⊙O有公共点，直接写出α的取值范围；
【思维教练】根据射线DM与⊙O有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点．
【解法提示】如解图③，设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，则∠OQD＝90°，OB＝OQ，∵BD＝AB＝10，∴BD＝OB＝OQ，∴∠ODQ＝30°，∴α＝∠ADG－∠ODQ＝30° .
射线DM继续绕点D逆时针旋转，与⊙O有两个公共点，当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α＝90° .综上所述，α的取值范围为30°≤α＜90°.
(4)30°≤α＜90°；
【思维教练】分点H在AD左侧和右侧两种情况，再结合相似三角形求解．
(5)当tan∠BAC＝ 时，求线段HF的长度．
(5)情况1：当点H在AD右侧时，如解图④，过点F作FT⊥AD于点T.
1. (2021石家庄桥西区一模)如图①，扇形AOB的半径为6，弧长为2π.(1)求圆心角∠AOB的度数；
(2)如图②，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC.①判断四边形OABC的形状并证明；
(2)①四边形OABC是菱形．证明：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝OB，由旋转的性质可知∠BOC＝60°，且OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝OB，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是菱形；
②如图③，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N(点M，N与点A，B，C均不重合)，判断MB＋NB的值是否为定值．如果是定值，请求出；如果不是，请说明理由．
②MB＋NB是定值．∵△OAB和△OBC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBC＝60°，AB＝OB＝OA＝6，∵∠POQ＝60°，∴∠AOB＝∠POQ，即∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴AM＝BN，∴MB＋NB＝MB＋AM＝AB＝6.
2. (2023河北26题14分)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现 (1)当α＝0°即初始位置时，点P________直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?
【解法提示】当α＝0°时，如解图①，过点P作OD的垂线PE交OD于点E.在Rt△OPE中，OE＝OP·cs∠DOQ＝OP·cs 60°＝2× ＝1＝OA，则点A和点E重合，∴点P在直线AB上．
解：发现(1)在；(1分)如解图①，连接OB，
∵在Rt△OAB中，OA＝AB，∴△OAB是等腰直角三角形，则∠BOA＝45°， (2分)∴α＝∠POA－∠BOA＝60°－45°＝15°，即当α＝15°时，OQ经过点B；(3分)
(2)如解图②，连接AP，
(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
则OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时等号成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小．(5分)且PA的最小值为1；(6分)
(3)如图②，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影；
(3)如解图②，过点P作PE⊥OD于点E，设半圆K与BC交于点F，连接KF.
过点K作KG⊥PF于点G.
拓展 如图③，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围；
探究 当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2 ，∴KO′＝2 － ，在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝ KO′＝ － .在Rt△OGK中，sinα＝ ＝ ＝ ；(12分)
②当半圆K与AD相切时，设切点是T，如解图⑤，同理可得：sinα＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ；(13分)③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且为切点，∴α＝60°，∴sinα＝sin60°＝ .综上所述，sinα的值是 或 或 .(14分)
例 如图①，线段AB＝3，射线AM⊥AB，点O是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，以点O为圆心，OA为半径，在AM上方作半圆O交AM于另一点C，过点B作BD与半圆O相切于点D，射线BD交射线AM于点E，过点E作EF⊥BO交BO的延长线于点F，连接OD.(1)BD＝________；
(10年3考：2023.26，2022.25，2022.25)
(1)【思维教练】运用切线长定理求解．
【解法提示】∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴BD＝BA＝3.
(2)求证：△AOB∽△FEB；
(2)【思维教练】根据两个角相等的三角形为相似三角形证明．
(2)证明：∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴∠ABO＝∠FBE.又∵∠BAO＝∠BFE＝90°，∴△AOB∽△FEB；
(3)若tan ∠AOB＝ ，求sin ∠ACB；
【思维教练】利用三角函数与勾股定理求解．
(4)如图②，当∠ABE＝60°时，设OB交半圆O于点N，连接AN，DN.①判断四边形AODN的形状，并说明理由；
【思维教练】①利用等边三角形判断．
②设△AON的内心为P，△DON的外心为Q，连接PQ，判断PQ与EF的位置关系，并证明你的结论；
【思维教练】②运用菱形对角线的性质判断．
②PQ∥EF；证明：如解图①，连接AD，
由①得，四边形AODN是菱形，∴AD平分∠OAN，且垂直平分ON.∵△AON的内心为P，△DON的外心为Q，△AON与△DON均为等边三角形，∴点P，Q都在AD上，且PQ⊥BF.∵EF⊥BF，∴PQ∥EF；
(5)如图③，若线段EF与⊙O有公共点．①OA的最大值为________；
【思维教练】①要想线段EF与⊙O有公共点，则当⊙O与EF相切于点F时为临界状态．
∵EF⊥OF，∴EF为⊙O的切线．由切线长定理，得∠ABO＝∠DBO，∠FEO＝∠DEO.∵∠A＝∠F＝90°，∠AOB＝∠FOE，∴∠ABO＝∠FEO，∠ABO＝∠DBO＝∠DEO.
【解法提示】如解图②，当点F在⊙O上时，
∵∠FOE＝∠AOB＝∠DBO＋∠DEO＝2∠ABO，∴∠AOB＝2∠ABO，∵∠A＝90°，∴∠ABO＝ ×90°＝30°，∴OA＝AB·tan 30°＝3× ＝ .当⊙O 的半径OA满足0
【思维教练】②运用和差法求解阴影部分面积．
【解法提示】由①得，当点F在⊙O上时，OD＝OA＝ ，∠DEO＝∠ABO＝30°.∵BE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠DOE＝90°－∠DEO＝60°，∴DE＝OD·tan 60°＝ × ＝3，
1. (2021石家庄长安区二模)如图①②，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴的上方作射线OB.且tan∠AOB＝ ，点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，
当点E到达点O时，点E，F都停止运动，以点F为圆心，OF为半径的半圆F与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x.(1)用含t的式子表示OC的长为_____，当点E与点C重合时，x＝_____；
【解法提示】如解图①，连接CD，由题意可知OF＝t，则OD＝2t，
(2)若DE与半圆F相切，求x ；
(3)如图②，当t＝ 时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及 的长；
(3)如解图②，连接CD，FG，FC，
(4)若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
【解法提示】由(2)知，当DE与半圆F相切时，t＝3，∴当0＜t≤3，即10≤x＜16时，半圆F与线段DE只有一个公共点；当DE⊥OA时，此时C与E重合，由(1)知t＝5，∴当5＜t＜8，即0＜x＜6时，半圆F与线段DE只有一个公共点；综上所述，当半圆F与线段DE只有一个公共点时，x的取值范围为0＜t＜6或10≤x＜16.
(4)0
【解法提示】∵AP为⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AD，∵AD∥BC，∴PE⊥BC.
解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙O的直径，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAB＝∠CBP, ∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝ ，∵CP为⊙O的切线，∴∠BPC＝90°，∵BP＝x，∴tan∠CBP＝ ＝ ＝ ，∴CP＝ x，在Rt△CBP中，BP2＋PC2＝BC2，即x2＋( x)2＝152，解得x＝9(负值舍去)；即x为9时，圆心O落在AP上；(2分)垂直；(4分)
(2)当x＝4时，如图②，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小；
(2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ，
∴PM＝5，AP＝7，在Rt△CPM中，CP＝ ＝ ＝13，∵OF⊥AP，∴PF＝ AP＝ ，∵CP为⊙O的切线，∴OP⊥CP，∴∠OPF＋∠CPM＝90°，∵∠PCM＋∠CPM＝90°，∴∠OPF＝∠PCM，∴Rt△OPF∽Rt△PCM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得OP＝ .∴l ＝ ＝ ，∵ ＜7，∴l
(3)x≥18.(10分)
例 如图，半圆O的直径AB＝4，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点，将图形沿着BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP＝α.
(1)如图①，当α＝22.5°时，过点A′作A′C∥AB，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；
【思维教练】比较半径与点O到直线A′C的距离大小即可判断．
解：(1)相离，理由如下：如解图①，过点O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，
(2)如图②，设A′B交半圆O于点D，过点A′作A′C∥AB，若A′C与半圆O相切，求 的长；
【思维教练】运用折叠的性质、三角函数及弧长公式求解．
(2)如解图②，连接AD，OD，过点A′作A′E⊥AB于点E，
∴∠A′BE＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠BOD＝2∠DAB＝120°，∴ 的长为 ＝ ；
(3)当α＝30°时，求点O到折痕BP的距离；
【思维教练】利用三角形的中位线求解．
(4)如图③，当点O′落在 上时，求α的值；
【思维教练】运用折叠的性质、三角函数即可求解．
(5)当BA′与半圆O相切时，求α的值；
【思维教练】相切即∠O′BA＝90°，由折叠得角度相等.
(6)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．
【思维教练】依据(4)(5)中的α的临值求解．
(6)∵点P，A不重合，∴α＞0，由(4)可知当α增大到30°时，点O′在半圆O上，∴当0°＜α＜30°时，点O′在半圆内，线段BO′与半圆O只有一个公共点B；由(5)可知当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆O只有一个公共点B.
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°时，线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围为0°＜α＜30°或45°≤α＜90°.
1. (2022河北25题11分)图①和图②中，优弧 所在⊙O的半径为2，AB＝2 .点P为优弧 上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.(1)点O到弦AB的距离是______，当BP经过点O时，∠ABA′＝_____°；
【解法提示】如解图①，过点O作OC⊥AB，垂足为点C，连接OA，OB，
(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；
(2)如解图②，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
过点O作OD⊥BP于点D，则BP＝2BD，
(3)若线段BA′与优弧 只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．
2. 已知，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°(0＜m≤180)，点C是 上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D.(1)如图①，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小(用含m的代数式表示)；
解：(1)∵点C在 上，∴∠OBC为锐角，∴∠CBD为钝角，则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，∴∠D＝∠BCD，
如解图①，连接OC，则OA＝OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠D＋∠BCD＝2∠D，在△OCB中，∠COB＋2∠D＋2∠D＝180°，∴∠COB＝180°－4∠D.∴∠AOC＝m°－∠COB＝m°＋4∠D－180°，∴∠OAC＝ ×(180°－∠AOC)＝180°－ －2∠D，在△AOD中，m°＋∠OAD＋∠D＝180°，∴180°＋ －∠D＝180°，∴∠D＝ ；
(2)如图②，当m＝90，点C是 的中点时，连接AB，求 的值；
(2)如解图②，过点D作DM⊥AB交AB的延长线于点M，连接OC与AB交于点N，
∵OA＝OC＝OB，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＋∠BCO＝ ×(360°－90°)＝135°，∴∠BCD＝45°，∴45°＋∠ODA＝∠ABC＋∠ABO＝45°＋∠ABC，∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，∴BD＝AB＝ ＝2 ，
∵∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM＝2，∴AM＝AB＋BM＝2 ＋2，∴AN＝ AB＝ ，又∵CN⊥AB，DM⊥AB，∴△ANC∽△AMD，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝2＋ ；
(3)将 沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长
(1)如图①，当点O为AB中点时，则S△AOM＝________；
【思维教练】在直角三角形中遇到斜边中点时，常作两种辅助线：中位线、斜边中线．
【解法提示】如解图①，过点O作OF∥BC，交AC于点F，
【思维教练】注意点Q为AM的中点．
(2)如图②，当点O与点A重合时，连接BQ，则tan∠QBC＝________；
【思维教练】求圆中的弦长时，常常用到垂径定理．
(3)如图③，当⊙O经过点B时，求⊙O被BC截得的弦长；
(3)由(1)得BC＝8，∴AB＝10.如解图②，当⊙O经过点B时，延长MO交BC于点H，设⊙O与BC交于另一个点D.
【思维教练】①确定四边形的形状，再根据相似图形的性质求解．
(4)当⊙O与AM相切时，延长MO交BC于点P.①求四边形MPCA的周长；
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得AM＝ ，∴四边形MPCA的周长＝2AC＋2AM＝2×6＋2× ＝12＋ ＝ ；
【思维教练】②直角三角形的外心为斜边中点．
②直接写出△AOM的外心与△BOP的外心之间的距离；
【思维教练】点O在AB上，⊙O与△ABC的边相切，则可分两种情况讨论：与边BC相切，与边AC相切，利用切线的性质与三角函数求解．
(5)当⊙O与△ABC的边相切时，求OB的长；
如解图⑤，当⊙O与AC相切于点N时，连接ON，ON⊥AC.在Rt△OAN中，NO＝2，cs∠AON＝ ＝ ＝ ＝ ，∴OA＝ ，∴OB＝AB－OA＝10－ ＝ ；∴OB的长为 或 ；
【思维教练】利用垂线段最短及三角函数求解．
(6)连接CQ，直接写出CQ长度的最小值．
【解法提示】如解图⑥，过点M作MR⊥AB，垂足为R，延长MO交BC于点T，过Q作QS⊥AB，交AB于点S，连接CS，
1. (2022河北25题10分)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧 ，使点B在O右下方，且tan∠AOB＝ .在优弧 上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP.(1)若优弧 上一段 的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
1. 解：(1)根据题意，优弧 所在圆的半径OA＝26，由弧长公式得 ＝13π，解得n＝90，∴∠AOP＝90°.(1分)∵PQ∥OB，∴∠PQO＝∠AOB，∴在Rt△POQ中，OQ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴x＝ ；(3分)
(2)求x的最小值，并指出此时直线l与 所在圆的位置关系；
(3)若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
【解法提示】当点P在如解图②所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，
同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM－MQ＝24－7.5＝16.5，∴x＝－16.5；
当点P在如解图③所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，
当点P在如解图④所示的位置时，过点P作PM⊥OA于点M，同理可得OM＝24，MQ＝7.5，则OQ＝OM＋MQ＝24＋7.5＝31.5，∴x＝－31.5.综上所述，这时x的值为31.5或－16.5或－31.5.
(3)x的值为31.5或－16.5或－31.5.(10分)
2. 如图，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为 的中点，连接BE、CF相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接CE，BF.(1)判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
∵BC为半圆O的直径，∴∠E＝90°，∴∠ECF＋∠EMC＝90°，∴∠EBC＋∠ABM＝90°，∴AB⊥BC，∵OB为半圆O的半径，∴直线AB与⊙O相切；
(2)若AF＝FM，试说明 的值是否为定值？如果是，求出此值，如果不是，请说明理由；
(3)若tan∠ACB＝ ，BM＝10.求EC的长．
∴BF＝ ，FM＝ ，在Rt△BFC中，tan∠ACB＝ ＝ ，∴CF＝ ，∴CM＝CF－FM＝ ，∵∠FMB＝∠EMC，∠FBM＝∠ECM，∴△FBM∽△ECM，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴EC＝12.
例 如图，延长⊙O的直径AB，交直线DG于点D，且BD＝ AB＝10，∠ADG＝60°.射线DM从DG出发绕点D逆时针旋转，旋转角为α；同时，线段OC从OB出发绕点O逆时针旋转，旋转角为2α，直线AC与射线DM相交于点H，与直线DG相交于点F，其中0°<α<180°，且α≠90°.(1)当α＝20°时， 的长为________；
【思维教练】运用弧长公式求解．
(2)当α＝120°时，判断△ADH的形状，并求它的周长；
【思维教练】根据旋转角度及圆的半径相等，判断三角形形状．
(3)△ADH的外心能否在边DH上，如果能，求出α的度数；如果不能，请说明理由；
【思维教练】若△ADH的外心在边DH上，则边DH应为直角三角形的斜边，即转化为判断∠DAH是否可以为90°的问题．
(3)不能．理由如下：若△ADH的外心在边DH上，则∠DAH＝90°，如解图②所示．∵∠DAH＝90°，∴HF与⊙O相切于点A.∵点C是直线HF与⊙O的交点，∴点C为切点，点A与点C重合．∴∠BOC＝180°，即2α＝180°，解得α＝90°，不合题意(α≠90°)，舍去．∴符合条件的△AHD不存在，即△AHD的外心不能在边DH上；
(4)若射线DM与⊙O有公共点，直接写出α的取值范围；
【思维教练】根据射线DM与⊙O有公共点，可判断有两个临界点即与圆的切点．
【解法提示】如解图③，设射线DM与⊙O相切于点Q，连接OQ，则∠OQD＝90°，OB＝OQ，∵BD＝AB＝10，∴BD＝OB＝OQ，∴∠ODQ＝30°，∴α＝∠ADG－∠ODQ＝30° .
射线DM继续绕点D逆时针旋转，与⊙O有两个公共点，当射线DM旋转到再次与⊙O相切时，如解图②所示，此时α＝90° .综上所述，α的取值范围为30°≤α＜90°.
(4)30°≤α＜90°；
【思维教练】分点H在AD左侧和右侧两种情况，再结合相似三角形求解．
(5)当tan∠BAC＝ 时，求线段HF的长度．
(5)情况1：当点H在AD右侧时，如解图④，过点F作FT⊥AD于点T.
1. (2021石家庄桥西区一模)如图①，扇形AOB的半径为6，弧长为2π.(1)求圆心角∠AOB的度数；
(2)如图②，将扇形AOB绕点O逆时针旋转60°，连接AB，BC.①判断四边形OABC的形状并证明；
(2)①四边形OABC是菱形．证明：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝OB，由旋转的性质可知∠BOC＝60°，且OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OC＝BC＝OB，∴OA＝AB＝BC＝OC，∴四边形OABC是菱形；
②如图③，若∠POQ＝60°，将∠POQ绕点O旋转，与AB，BC分别交于点M，N(点M，N与点A，B，C均不重合)，判断MB＋NB的值是否为定值．如果是定值，请求出；如果不是，请说明理由．
②MB＋NB是定值．∵△OAB和△OBC都是等边三角形，∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBC＝60°，AB＝OB＝OA＝6，∵∠POQ＝60°，∴∠AOB＝∠POQ，即∠AOM＋∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴AM＝BN，∴MB＋NB＝MB＋AM＝AB＝6.
2. (2023河北26题14分)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图①摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1.让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现 (1)当α＝0°即初始位置时，点P________直线AB上．(填“在”或“不在”)求当α是多少时，OQ经过点B?
【解法提示】当α＝0°时，如解图①，过点P作OD的垂线PE交OD于点E.在Rt△OPE中，OE＝OP·cs∠DOQ＝OP·cs 60°＝2× ＝1＝OA，则点A和点E重合，∴点P在直线AB上．
解：发现(1)在；(1分)如解图①，连接OB，
∵在Rt△OAB中，OA＝AB，∴△OAB是等腰直角三角形，则∠BOA＝45°， (2分)∴α＝∠POA－∠BOA＝60°－45°＝15°，即当α＝15°时，OQ经过点B；(3分)
(2)如解图②，连接AP，
(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
则OA＋AP≥OP，当OP过点A，即α＝60°时等号成立．∴AP≥OP－OA＝2－1＝1.∴当α＝60°时，点P，A间的距离最小．(5分)且PA的最小值为1；(6分)
(3)如图②，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影；
(3)如解图②，过点P作PE⊥OD于点E，设半圆K与BC交于点F，连接KF.
过点K作KG⊥PF于点G.
拓展 如图③，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围；
探究 当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；
在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan60°＝2 ，∴KO′＝2 － ，在Rt△KGO′中，∠O′＝30°，∴KG＝ KO′＝ － .在Rt△OGK中，sinα＝ ＝ ＝ ；(12分)
②当半圆K与AD相切时，设切点是T，如解图⑤，同理可得：sinα＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ；(13分)③当半圆K与CD相切时，点Q与点D重合，且为切点，∴α＝60°，∴sinα＝sin60°＝ .综上所述，sinα的值是 或 或 .(14分)
例 如图①，线段AB＝3，射线AM⊥AB，点O是射线AM上的一个动点(不与点A重合)，以点O为圆心，OA为半径，在AM上方作半圆O交AM于另一点C，过点B作BD与半圆O相切于点D，射线BD交射线AM于点E，过点E作EF⊥BO交BO的延长线于点F，连接OD.(1)BD＝________；
(10年3考：2023.26，2022.25，2022.25)
(1)【思维教练】运用切线长定理求解．
【解法提示】∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴BD＝BA＝3.
(2)求证：△AOB∽△FEB；
(2)【思维教练】根据两个角相等的三角形为相似三角形证明．
(2)证明：∵AM⊥AB，∴AB为半圆O的切线．∵BD为半圆O的切线，∴∠ABO＝∠FBE.又∵∠BAO＝∠BFE＝90°，∴△AOB∽△FEB；
(3)若tan ∠AOB＝ ，求sin ∠ACB；
【思维教练】利用三角函数与勾股定理求解．
(4)如图②，当∠ABE＝60°时，设OB交半圆O于点N，连接AN，DN.①判断四边形AODN的形状，并说明理由；
【思维教练】①利用等边三角形判断．
②设△AON的内心为P，△DON的外心为Q，连接PQ，判断PQ与EF的位置关系，并证明你的结论；
【思维教练】②运用菱形对角线的性质判断．
②PQ∥EF；证明：如解图①，连接AD，
由①得，四边形AODN是菱形，∴AD平分∠OAN，且垂直平分ON.∵△AON的内心为P，△DON的外心为Q，△AON与△DON均为等边三角形，∴点P，Q都在AD上，且PQ⊥BF.∵EF⊥BF，∴PQ∥EF；
(5)如图③，若线段EF与⊙O有公共点．①OA的最大值为________；
【思维教练】①要想线段EF与⊙O有公共点，则当⊙O与EF相切于点F时为临界状态．
∵EF⊥OF，∴EF为⊙O的切线．由切线长定理，得∠ABO＝∠DBO，∠FEO＝∠DEO.∵∠A＝∠F＝90°，∠AOB＝∠FOE，∴∠ABO＝∠FEO，∠ABO＝∠DBO＝∠DEO.
【解法提示】如解图②，当点F在⊙O上时，
∵∠FOE＝∠AOB＝∠DBO＋∠DEO＝2∠ABO，∴∠AOB＝2∠ABO，∵∠A＝90°，∴∠ABO＝ ×90°＝30°，∴OA＝AB·tan 30°＝3× ＝ .当⊙O 的半径OA满足0
【思维教练】②运用和差法求解阴影部分面积．
【解法提示】由①得，当点F在⊙O上时，OD＝OA＝ ，∠DEO＝∠ABO＝30°.∵BE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.∴∠DOE＝90°－∠DEO＝60°，∴DE＝OD·tan 60°＝ × ＝3，
1. (2021石家庄长安区二模)如图①②，点A在数轴上对应的数为16，过原点O在数轴的上方作射线OB.且tan∠AOB＝ ，点E从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点O运动，同时点F从点O出发，沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，
当点E到达点O时，点E，F都停止运动，以点F为圆心，OF为半径的半圆F与数轴正半轴交于点C，与射线OB交于点D，连接DE，设运动时间为t秒(t>0)，点E在数轴上对应的数为x.(1)用含t的式子表示OC的长为_____，当点E与点C重合时，x＝_____；
【解法提示】如解图①，连接CD，由题意可知OF＝t，则OD＝2t，
(2)若DE与半圆F相切，求x ；
(3)如图②，当t＝ 时，半圆F与DE的另一个交点为G，求∠OED的度数及 的长；
(3)如解图②，连接CD，FG，FC，
(4)若半圆F与线段DE只有一个公共点，直接写出x的取值范围．
【解法提示】由(2)知，当DE与半圆F相切时，t＝3，∴当0＜t≤3，即10≤x＜16时，半圆F与线段DE只有一个公共点；当DE⊥OA时，此时C与E重合，由(1)知t＝5，∴当5＜t＜8，即0＜x＜6时，半圆F与线段DE只有一个公共点；综上所述，当半圆F与线段DE只有一个公共点时，x的取值范围为0＜t＜6或10≤x＜16.
(4)0
【解法提示】∵AP为⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AD，∵AD∥BC，∴PE⊥BC.
解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙O的直径，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAB＝∠CBP, ∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝ ，∵CP为⊙O的切线，∴∠BPC＝90°，∵BP＝x，∴tan∠CBP＝ ＝ ＝ ，∴CP＝ x，在Rt△CBP中，BP2＋PC2＝BC2，即x2＋( x)2＝152，解得x＝9(负值舍去)；即x为9时，圆心O落在AP上；(2分)垂直；(4分)
(2)当x＝4时，如图②，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小；
(2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ，
∴PM＝5，AP＝7，在Rt△CPM中，CP＝ ＝ ＝13，∵OF⊥AP，∴PF＝ AP＝ ，∵CP为⊙O的切线，∴OP⊥CP，∴∠OPF＋∠CPM＝90°，∵∠PCM＋∠CPM＝90°，∴∠OPF＝∠PCM，∴Rt△OPF∽Rt△PCM，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得OP＝ .∴l ＝ ＝ ，∵ ＜7，∴l
(3)x≥18.(10分)
例 如图，半圆O的直径AB＝4，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点，将图形沿着BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP＝α.
(1)如图①，当α＝22.5°时，过点A′作A′C∥AB，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；
【思维教练】比较半径与点O到直线A′C的距离大小即可判断．
解：(1)相离，理由如下：如解图①，过点O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，
(2)如图②，设A′B交半圆O于点D，过点A′作A′C∥AB，若A′C与半圆O相切，求 的长；
【思维教练】运用折叠的性质、三角函数及弧长公式求解．
(2)如解图②，连接AD，OD，过点A′作A′E⊥AB于点E，
∴∠A′BE＝30°，∴∠DAB＝60°，∴∠BOD＝2∠DAB＝120°，∴ 的长为 ＝ ；
(3)当α＝30°时，求点O到折痕BP的距离；
【思维教练】利用三角形的中位线求解．
(4)如图③，当点O′落在 上时，求α的值；
【思维教练】运用折叠的性质、三角函数即可求解．
(5)当BA′与半圆O相切时，求α的值；
【思维教练】相切即∠O′BA＝90°，由折叠得角度相等.
(6)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．
【思维教练】依据(4)(5)中的α的临值求解．
(6)∵点P，A不重合，∴α＞0，由(4)可知当α增大到30°时，点O′在半圆O上，∴当0°＜α＜30°时，点O′在半圆内，线段BO′与半圆O只有一个公共点B；由(5)可知当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆O只有一个公共点B.
当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°时，线段BO′与半圆只有一个公共点B.综上所述，α的取值范围为0°＜α＜30°或45°≤α＜90°.
1. (2022河北25题11分)图①和图②中，优弧 所在⊙O的半径为2，AB＝2 .点P为优弧 上一点(点P不与A，B重合)，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′.(1)点O到弦AB的距离是______，当BP经过点O时，∠ABA′＝_____°；
【解法提示】如解图①，过点O作OC⊥AB，垂足为点C，连接OA，OB，
(2)当BA′与⊙O相切时，如图②，求折痕BP的长；
(2)如解图②，过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，
过点O作OD⊥BP于点D，则BP＝2BD，
(3)若线段BA′与优弧 只有一个公共点B，设∠ABP＝α，确定α的取值范围．
2. 已知，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝m°(0＜m≤180)，点C是 上的一个动点，直线AC与直线OB相交于点D.(1)如图①，当0＜m＜90，△BCD是等腰三角形时，求∠D的大小(用含m的代数式表示)；
解：(1)∵点C在 上，∴∠OBC为锐角，∴∠CBD为钝角，则△BCD是等腰三角形时，仅有BC＝BD这一种情况，∴∠D＝∠BCD，
如解图①，连接OC，则OA＝OC＝OB，
∴∠OAC＝∠OCA，∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠D＋∠BCD＝2∠D，在△OCB中，∠COB＋2∠D＋2∠D＝180°，∴∠COB＝180°－4∠D.∴∠AOC＝m°－∠COB＝m°＋4∠D－180°，∴∠OAC＝ ×(180°－∠AOC)＝180°－ －2∠D，在△AOD中，m°＋∠OAD＋∠D＝180°，∴180°＋ －∠D＝180°，∴∠D＝ ；
(2)如图②，当m＝90，点C是 的中点时，连接AB，求 的值；
(2)如解图②，过点D作DM⊥AB交AB的延长线于点M，连接OC与AB交于点N，
∵OA＝OC＝OB，∴∠OAC＝∠OCA＝∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＋∠BCO＝ ×(360°－90°)＝135°，∴∠BCD＝45°，∴45°＋∠ODA＝∠ABC＋∠ABO＝45°＋∠ABC，∴∠ABC＝∠ADO＝∠BAC，∴BD＝AB＝ ＝2 ，
∵∠MBD＝∠OBA＝45°，∴BM＝DM＝2，∴AM＝AB＋BM＝2 ＋2，∴AN＝ AB＝ ，又∵CN⊥AB，DM⊥AB，∴△ANC∽△AMD，∴ ＝ ，∴ ＝ ＝2＋ ；
(3)将 沿AC所在的直线折叠，当折叠后的圆弧与OB所在的直线相切于点E，且OE＝1时，求线段AD的长
相关课件
2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题（课件）： 这是一份2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题真实情境中的圆问题（课件），共29页。PPT课件主要包含了课件说明，课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析，方法总结等内容，欢迎下载使用。
2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题题（课件）： 这是一份2024河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动点问题题（课件），共25页。PPT课件主要包含了课件说明，课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析等内容，欢迎下载使用。
2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动圆问题（课件）： 这是一份2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动圆问题（课件），共39页。PPT课件主要包含了课堂练兵，课后小练，典例精讲，考情分析等内容，欢迎下载使用。
