2024 河北数学中考备考重难专题：圆的综合题动圆问题（课件）

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圆的综合题 动圆问题
例1 (2022河北预测卷)如图①，CD＝8，O为CD中点，A、B分别为CO、OD的中点，将OA绕点O顺时针旋转得到扇形AOG，AO⊥OG，点E在 (不与点B重合)上从A向B运动，连接OE、CE，过点D作CE的平行线交扇形AOG于点F(点F离点B近)，连接OF.
(1)当点O，E，F共线时，求证：△OCE≌△ODF；
(1)证明：当点O，E，F共线时，∠EOC＝∠FOD，∵DF∥CE，∴∠ECO＝∠ODF，∵OE＝OF，∴△OCE≌△ODF;
(2)如图②，当∠COE＝60°时，判断直线CE与扇形AOG所在圆的位置关系，并说明理由；
(2)解：直线CE与扇形AOG所在圆相切；理由：如解图，连接AE，∵点A为CO的中点，∴CA＝OA，∵∠COE＝60°，OA＝OE，∴△OAE为等边三角形，∴AE＝OA＝CA，∠OAE＝∠OEA＝60°，∴∠ACE＝∠AEC＝30°，∴∠CEO＝90°，∵OE为扇形AOG所在圆的半径，∴直线CE与扇形AOG所在圆相切；
(3)求DF的最大值及此时点E的运动路径长．
当点E运动使CE⊥EF时，DF有最大值，此时E、O、F三点共线
例2 (2022河北预测卷)如图①，已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF.
(1)如图①，求tan ∠BDF的值；
BF、DF未知，无法直接求出
(2)如图②，当线段AC与⊙O相切时，求AD的长；
找切点，连圆心切点记为H，连接OH
AD=AB－BD(2OH)
(3)如图③，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．
依据题意可得△DFB∽△ACB
设BF长，表示出CF、DF长，求面积最大值
练习1 (2022河北黑白卷)如图①，OC垂直平分线段AB，OC≥2，以点O为圆心，2为半径作⊙O，点D是⊙O上的一点，当A，D，O三点共线时，连接OB交⊙O于点E，此时∠A＋∠B＝74°.如图②，将扇形DOE绕点O逆时针旋转，得到扇形D′OE′.
(1)求证：AD′＝BE′；
线段AD′＝BE′在两个三角形中
考虑通过证明两三角形全等得线段相等
解：(1)∵OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，由旋转的性质得OD′＝OE′，∠AOD′＝∠BOE′，∴△AOD′≌△BOE′(SAS)，∴AD′＝BE′；
(2)①当点O到AD′的距离最大时，判断BE′与⊙O的位置关系，并说明理由；
当点O到AD′的距离最大时，AD′与⊙O的位置关系是？
相切，即AD′⊥OD′
由(1)可知此时BE′⊥OE′
(2)①相切．理由如下：当点O到AD′的距离最大时，AD′与⊙O相切．由△AOD′≌△BOE′得∠AD′O＝∠BE′O＝90°，∵OE′是⊙O的半径，∴BE′与⊙O相切；
②连接D′E′，若OD∥D′E′，直接写出 的长．
扇形DOE绕点O逆时针旋转，在旋转过程中使OD∥D′E′
练习2 (2021河北逆袭卷)如图①，已知半圆O的直径AB＝4，过点O作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC.
(1)若点P在半圆O上，则PE的最大值是________，PE的最小值是________；
当P、E、O三点共线时，PE取最小值
当点P与点A重合时，PE取最大值
【解法提示】当点P与点A重合时，PE取得最大值，即为 ；当P、E、O三点共线时，PE取得最小值，∵CO＝4，OD＝3，∴OE＝5，∴PE的最小值为OE－OP＝5－2＝3.
(2)将半圆O绕点B逆时针旋转α(0°≤α≤360°)得到半圆O ′.①如图②，当点A恰好落在OC上时，判断直线DE与半圆O′的位置关系，并说明理由；
猜想：直线DE与半圆O′相切
过点O ′作直线平行于DO，交DE，OC于点M，N
即证明O′M为半圆O′的半径
(2)①直线DE与半圆O′相切；理由如下：如解图①，过点O′作O′M⊥DE，交边DE于点M，延长MO′交边OC于点N.∵四边形DOCE为矩形，∴DE∥OC，∠DOC＝90°.∵O′M⊥DE，∴O′N⊥OC，∴四边形DONM为矩形，∴OD∥MN，MN＝OD＝3. ∵AO′＝BO′，BO=2，∴O′N为△ABO中位线，∴O′N=1，∴O′M＝MN－O′N＝2，∴O′M为半圆O′的半径，∴直线DE与半圆O′相切；
练习2 如图①，已知半圆O的直径AB＝4，过点O作CO⊥AB，且CO＝4，延长OB到点D，使OD＝3，以OC、OD为邻边作矩形ODEC.
②如图③，当α＝90°时，求半圆O′与矩形ODEC重叠部分图形的面积．
无法直接求出，分割图形
半圆O′与DE的交点分别记为G、H，连接GO′、HO′
S重叠＝S扇BO′G+S扇AO′H+S△GO′H
练习1 如图，已知∠MON＝60°，点A，B分别在边OM，ON上，且OA＝OB＝6，点P是以点A为圆心，2为半径的⊙A上一点(点P不在射线OM上)，连接OP，将OP绕点O按逆时针方向旋转60°得到OC，连接AP，BC.
(1)求证：AP＝BC；
(2)连接PC，当PC＝ 时，判断OP与⊙A的位置关系，并说明理由；
(3)当点B，C，P在同一条直线上时，直接写出PC的长．
练习2 如图，点B，C在数轴上分别表示实数2和5，∠ACB＝90°，tan ∠ABC＝ .点Q为数轴上一动点，以点Q为圆心，3为半径画圆，交数轴于E，F两点(点E在点F的左侧)．(1)若点M为⊙Q上任意一点，当⊙Q与AC边相切时，求线段AM的最大值；
练习2 如图，点B，C在数轴上分别表示实数2和5，∠ACB＝90°，tan ∠ABC＝.点Q为数轴上一动点，以点Q为圆心，3为半径画圆，交数轴于E，F两点(点E在点F的左侧)．
(2)当⊙Q与△ABC的边有两个交点时，求点Q在数轴上对应的实数q的取值范围；
∵tan ∠ABC＝ ， ∴ ，即 ，∴BH＝ ，∴在Rt△BHQ中，BQ＝ ，∴点Q在数轴上对应的值为 .将⊙Q再向左平移，⊙Q与△ABC的边有四个交点，当Q与点C重合时，此时点Q在数轴上对应的值为5；将⊙Q再向左平移，⊙Q与△ABC的边有两个交点，直至点F与点B重合，此时点Q在数轴上对应值为－1；综上所述，当⊙Q与△ABC的边有两个交点时，点Q在数轴上对应值q的取值范围为－1＜q＜5或 ＜q＜8；
(3)当CQ＝2时，设⊙Q与AC的交点为N，求△BNF的面积．