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中考数学二轮重难专题研究 专题二 函数图像与性质综合题 课件
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这是一份中考数学二轮重难专题研究 专题二 函数图像与性质综合题 课件，共51页。PPT课件主要包含了例题图，第1题图，第2题图，第2题解图②，思路分析，A的横坐标，点A的横坐标为－2，补画出y轴，如解图，P会落在哪个台阶上等内容，欢迎下载使用。
【思维教练】利用方程思想求解．
解：(1)把x＝0代入y＝－2x＋4，得y＝4，把y＝0代入y＝－2x＋4，得x＝2，∴A(2，0)，B(0，4)；
(1)求点A、B的坐标；
(2)若∠APB＝45°，求直线PB的解析式；
【思维教练】由∠APB＝45°即可求得点P的坐标，由待定系数法求解．
∴OP＝OB＝4，∴P(－4，0)，∴m＝－4，∴直线PB的解析式为y＝x＋4；
(3)若S△BPC＝2S△BCO，求m的值；
【思维教练】根据三角形的面积公式将S△BPC＝2S△BCO转化为PC＝2OC，分两种情况讨论，即点C位于y轴左右两侧．
(4)若点C′在x轴的下方，求m的取值范围；
【思维教练】分三种情况讨论：①点P在x轴负半轴上；②点P与原点重合；③点P在点O、A之间，再结合轴对称的性质即可求解．
(4)当点P在x轴负半轴上时，点C′在x轴的上方；点P与原点重合时，点C′在x轴上；点P在点O、A之间时，点C′在x轴的下方，综上可得，若点C′在x轴的下方，则m的取值范围为0＜m＜2；
(5)若BC＝BA.①求m的值；
【思维教练】①通过已知将BC＝AB转化为CO＝AO，再结合点C，P之间的坐标关系即可求解；
(5)①∵BC＝BA，BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A(2，0)，∴C(－2，0)，∵BC是△ABP的中线，∴点C为AP的中点；∴P(－6，0)，∴m＝－6；
②当由直线PB、直线y＝a与直线l1围成的△BGH内(不含边界)整点的个数不超过5个时，求a的取值范围；
(6)若直线BP与反比例函数y＝ 有两个交点，直接写出m的取值范围．
【思维教练】通过联立反比例函数与直线BP的解析式，结合一元二次方程根的判别式即可求解．
(6)m＜－2或0
(2)在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；
(3)在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
(3)要使矩形PDEF与直线AB有公共点，则要考虑点F和点D这两个点在直线AB上的情况：①当点F在直线AB上时，由(2)得t＝－1，②当点D在直线AB上时，∵P(t，t)，∴D(t＋1，t)，
2. (2022石家庄43中二模)如图，已知直线l∶y＝mx＋3与x，y轴分别交于A，B，正比例函数y＝kx的图象L与直线l交于点C(2，5)．(1)求k，m的值，并求点A的坐标；
(2)若点P为x轴正半轴上一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标，将它标在坐标系中，则点A关于点P的对称点坐标是________；
(2)∵S△AOC＝S△POC，∴OA＝OP，∵A(－3，0)．P为x轴正半轴上一点，∴点P的坐标为(3，0)；将点P标在坐标系如解图①：
【解法提示】设点A关于P的对称点为A′(a，0)，由对称的性质可知AP＝PA′，∴3－(－3)＝a－3，解得a＝9，∴点A关于点P的对称点坐标是(9，0)．
(3)约定：将(2)△POC内部(不含边界)横、纵坐标是整数的点称为“要点”，若曲线y＝ (x>0)使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的n的整数值．
【解法提示】如解图②，
类型二 二次函数综合题
例 如图，抛物线y＝a(x－2)2－2交x轴于点D、E，交y轴于点F(0，6)．边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，将正方形OABC从初始位置向右平移，记平移距离为h.
(1)求抛物线解析式及点B到抛物线对称轴的距离；
【思维教练】由抛物线的顶点式即可得其对称轴，结合正方形的性质及点F的坐标即可求解．
解：(1)把点F(0，6)代入y＝a(x－2)2－2，可得6＝a(－2)2－2，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵四边形OABC是边长为4的正方形，∴B(－4，4)，∴点B到抛物线对称轴的距离为4＋2＝6；
(2)当－1≤x≤4时，求y的最大值与最小值的差；
【思维教练】由抛物线的开口方向及对称轴，判断图象的增减性及对称轴是否在x的取值范围内即可求解．
(2)∵抛物线的开口向上，∴当－1≤x≤2时，y随x增大而减小，当2≤x≤4时，y随x增大而增大，∴当x＝2时，y有最小值，最小值为－2.∵|－1－2|＞|2－4|，∴当－1≤x≤4，y的最大值为2(－1－2)2－2＝16，∴y的最大值与最小值的差为16－(－2)＝18；
(3)当点C首次落在抛物线上时，求h的值；
【思维教练】由平移的性质可得，平移后点C对应的点坐标为(h，4)，将其代入抛物线解析式即可求解，注意“首次”，对h的值进行取舍．
(4)当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，直接写出h的取值范围；
【思维教练】由抛物线的增减性可知，只有抛物线对称轴左侧的图象落在正方形内部时，才满足情况，此时临界情况为点C位于抛物线左侧的图象上，点O位于抛物线右侧的图象上，结合对应点坐标即可求解．
(5)连接EF、BF，直线BF交x轴于点G.①当直线EF下方抛物线与正方形OABC有两个交点时，求h的取值范围；
【思维教练】①观察平移过程可知，临界状态为点C，A分别经过抛物线对称轴左侧的图象，结合对应点坐标即可求解；
②若△EFG内部(不包含边界)的整点个数不少于4个，直接写出此时h的取值范围．
【思维教练】②两个临界状态即直线BF分别经过点(1，1)和点(4，1)．
1. (2023河北25题10分)如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10.从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P.
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
y＝0时，得x＝6或－2
知A为L与x轴的左交点
当－x2＋4x＋12＝7
得x＝－1(舍)或x＝5
【解法提示】当－x2＋4x＋12＝7，解得x＝－1(舍)或x＝5，则P(5，7)在T4上．
解：(1)当y＝0时，－x2＋4x＋12＝0，解得x＝6或x＝－2，由题意可知点A为L与x轴的左交点，∴点A的横坐标为－2.(2分)补画出y轴如解图，(3分)点P会落在T4台阶上；(4分)
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T₅有交点；
C的图象的对称轴与台阶T5有交点
(2)设C的解析式为y＝－(x－h)2＋11，∵C的图象过P(5，7)，∴7＝－(5－h)2＋11，解得h＝3(舍)或n＝7，∴抛物线C的解析式为y＝－(x－7)2＋11，抛物线C的对称轴为直线x＝7，(6分)∵台阶T5两端坐标分别为(6，6)与M(7.5，6)，∴抛物线C的图象的对称轴与台阶T5有交点；(8分)
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2.在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD (包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？【注：(2)中不必写x的取值范围】
(3)∵抛物线C固定，要使点P落在边BD上，∴点B横坐标最小时抛物线C过点B，点B横坐标最大时抛物线C过点D，∵点B，点D纵坐标分别为2，0，点B，点D横坐标大于7，
2. (2021河北26题12分)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8，∴b＝4；(2分)∴L的解析式为y＝－x2＋4x，∴L的对称轴为直线x＝2，将x＝2代入直线a的解析式中得y＝2－4＝－2，∴L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，－2)；(4分)
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x₀≠0，点(x₀，y₁)，(x₀，y₂)，(x₀，y₃)分别在l，a和L上，且y3是y₁，y₂的平均数，求点(x₀，0)与点D间的距离；
∴x0＝b－ ，对于抛物线L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴D点坐标为(b，0)，∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－ )＝ ；(10分)
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)．∴当x取－1～2019中的任何整数时，对应的y值也都是整数，所以在L和a所围成的封闭图形的边界(抛物线＋线段)上，各有2021个“美点”，再减去交点重复的两个点，共有美点的个数为2021＋2019＝4040个；当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，联立可得
解得 或 ∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，∴当x取－1～2019.5中的任何整数时，在y＝x－2019.5中，y的值都不为整数，∴封闭图形的线段a上没有“美点”，
【思维教练】利用方程思想求解．
解：(1)把x＝0代入y＝－2x＋4，得y＝4，把y＝0代入y＝－2x＋4，得x＝2，∴A(2，0)，B(0，4)；
(1)求点A、B的坐标；
(2)若∠APB＝45°，求直线PB的解析式；
【思维教练】由∠APB＝45°即可求得点P的坐标，由待定系数法求解．
∴OP＝OB＝4，∴P(－4，0)，∴m＝－4，∴直线PB的解析式为y＝x＋4；
(3)若S△BPC＝2S△BCO，求m的值；
【思维教练】根据三角形的面积公式将S△BPC＝2S△BCO转化为PC＝2OC，分两种情况讨论，即点C位于y轴左右两侧．
(4)若点C′在x轴的下方，求m的取值范围；
【思维教练】分三种情况讨论：①点P在x轴负半轴上；②点P与原点重合；③点P在点O、A之间，再结合轴对称的性质即可求解．
(4)当点P在x轴负半轴上时，点C′在x轴的上方；点P与原点重合时，点C′在x轴上；点P在点O、A之间时，点C′在x轴的下方，综上可得，若点C′在x轴的下方，则m的取值范围为0＜m＜2；
(5)若BC＝BA.①求m的值；
【思维教练】①通过已知将BC＝AB转化为CO＝AO，再结合点C，P之间的坐标关系即可求解；
(5)①∵BC＝BA，BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A(2，0)，∴C(－2，0)，∵BC是△ABP的中线，∴点C为AP的中点；∴P(－6，0)，∴m＝－6；
②当由直线PB、直线y＝a与直线l1围成的△BGH内(不含边界)整点的个数不超过5个时，求a的取值范围；
(6)若直线BP与反比例函数y＝ 有两个交点，直接写出m的取值范围．
【思维教练】通过联立反比例函数与直线BP的解析式，结合一元二次方程根的判别式即可求解．
(6)m＜－2或0
(2)在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；
(3)在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
(3)要使矩形PDEF与直线AB有公共点，则要考虑点F和点D这两个点在直线AB上的情况：①当点F在直线AB上时，由(2)得t＝－1，②当点D在直线AB上时，∵P(t，t)，∴D(t＋1，t)，
2. (2022石家庄43中二模)如图，已知直线l∶y＝mx＋3与x，y轴分别交于A，B，正比例函数y＝kx的图象L与直线l交于点C(2，5)．(1)求k，m的值，并求点A的坐标；
(2)若点P为x轴正半轴上一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标，将它标在坐标系中，则点A关于点P的对称点坐标是________；
(2)∵S△AOC＝S△POC，∴OA＝OP，∵A(－3，0)．P为x轴正半轴上一点，∴点P的坐标为(3，0)；将点P标在坐标系如解图①：
【解法提示】设点A关于P的对称点为A′(a，0)，由对称的性质可知AP＝PA′，∴3－(－3)＝a－3，解得a＝9，∴点A关于点P的对称点坐标是(9，0)．
(3)约定：将(2)△POC内部(不含边界)横、纵坐标是整数的点称为“要点”，若曲线y＝ (x>0)使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的n的整数值．
【解法提示】如解图②，
类型二 二次函数综合题
例 如图，抛物线y＝a(x－2)2－2交x轴于点D、E，交y轴于点F(0，6)．边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，将正方形OABC从初始位置向右平移，记平移距离为h.
(1)求抛物线解析式及点B到抛物线对称轴的距离；
【思维教练】由抛物线的顶点式即可得其对称轴，结合正方形的性质及点F的坐标即可求解．
解：(1)把点F(0，6)代入y＝a(x－2)2－2，可得6＝a(－2)2－2，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵四边形OABC是边长为4的正方形，∴B(－4，4)，∴点B到抛物线对称轴的距离为4＋2＝6；
(2)当－1≤x≤4时，求y的最大值与最小值的差；
【思维教练】由抛物线的开口方向及对称轴，判断图象的增减性及对称轴是否在x的取值范围内即可求解．
(2)∵抛物线的开口向上，∴当－1≤x≤2时，y随x增大而减小，当2≤x≤4时，y随x增大而增大，∴当x＝2时，y有最小值，最小值为－2.∵|－1－2|＞|2－4|，∴当－1≤x≤4，y的最大值为2(－1－2)2－2＝16，∴y的最大值与最小值的差为16－(－2)＝18；
(3)当点C首次落在抛物线上时，求h的值；
【思维教练】由平移的性质可得，平移后点C对应的点坐标为(h，4)，将其代入抛物线解析式即可求解，注意“首次”，对h的值进行取舍．
(4)当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，直接写出h的取值范围；
【思维教练】由抛物线的增减性可知，只有抛物线对称轴左侧的图象落在正方形内部时，才满足情况，此时临界情况为点C位于抛物线左侧的图象上，点O位于抛物线右侧的图象上，结合对应点坐标即可求解．
(5)连接EF、BF，直线BF交x轴于点G.①当直线EF下方抛物线与正方形OABC有两个交点时，求h的取值范围；
【思维教练】①观察平移过程可知，临界状态为点C，A分别经过抛物线对称轴左侧的图象，结合对应点坐标即可求解；
②若△EFG内部(不包含边界)的整点个数不少于4个，直接写出此时h的取值范围．
【思维教练】②两个临界状态即直线BF分别经过点(1，1)和点(4，1)．
1. (2023河北25题10分)如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10.从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P.
(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；
y＝0时，得x＝6或－2
知A为L与x轴的左交点
当－x2＋4x＋12＝7
得x＝－1(舍)或x＝5
【解法提示】当－x2＋4x＋12＝7，解得x＝－1(舍)或x＝5，则P(5，7)在T4上．
解：(1)当y＝0时，－x2＋4x＋12＝0，解得x＝6或x＝－2，由题意可知点A为L与x轴的左交点，∴点A的横坐标为－2.(2分)补画出y轴如解图，(3分)点P会落在T4台阶上；(4分)
(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T₅有交点；
C的图象的对称轴与台阶T5有交点
(2)设C的解析式为y＝－(x－h)2＋11，∵C的图象过P(5，7)，∴7＝－(5－h)2＋11，解得h＝3(舍)或n＝7，∴抛物线C的解析式为y＝－(x－7)2＋11，抛物线C的对称轴为直线x＝7，(6分)∵台阶T5两端坐标分别为(6，6)与M(7.5，6)，∴抛物线C的图象的对称轴与台阶T5有交点；(8分)
(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2.在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD (包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？【注：(2)中不必写x的取值范围】
(3)∵抛物线C固定，要使点P落在边BD上，∴点B横坐标最小时抛物线C过点B，点B横坐标最大时抛物线C过点D，∵点B，点D纵坐标分别为2，0，点B，点D横坐标大于7，
2. (2021河北26题12分)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；
解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8，∴b＝4；(2分)∴L的解析式为y＝－x2＋4x，∴L的对称轴为直线x＝2，将x＝2代入直线a的解析式中得y＝2－4＝－2，∴L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，－2)；(4分)
(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；
(3)设x₀≠0，点(x₀，y₁)，(x₀，y₂)，(x₀，y₃)分别在l，a和L上，且y3是y₁，y₂的平均数，求点(x₀，0)与点D间的距离；
∴x0＝b－ ，对于抛物线L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．解得x1＝0，x2＝b，∵b＞0，∴D点坐标为(b，0)，∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－ )＝ ；(10分)
(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．
∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)．∴当x取－1～2019中的任何整数时，对应的y值也都是整数，所以在L和a所围成的封闭图形的边界(抛物线＋线段)上，各有2021个“美点”，再减去交点重复的两个点，共有美点的个数为2021＋2019＝4040个；当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，联立可得
解得 或 ∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，∴当x取－1～2019.5中的任何整数时，在y＝x－2019.5中，y的值都不为整数，∴封闭图形的线段a上没有“美点”，
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