还剩53页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题13填空题重点出题方向二次函数的图像和性质及实际应用(原卷版+解析)
展开
这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题13填空题重点出题方向二次函数的图像和性质及实际应用(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了2022中考真题集训，二次函数图象与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图象与几何特征，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，二次函数的应用等内容，欢迎下载使用。
类型一 二次函数的图象和性质
1．(2023•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
2．(2023•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
3．(2023•荆门）如图，函数y=x2−2x+3(x＜2)−34x+92(x≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t=x1y1+x2y2x3y3，则t的取值范围是 ．
4．(2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．
类型二 二次函数图象与系数的关系
5．(2023•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
6．(2023•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m=32，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
7．(2023•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
类型三 二次函数图像上点的坐标特征
8．(2023•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
9．(2023•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x=−12．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
类型四 二次函数的图象与几何特征
10．(2023•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
11．(2023•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
12．(2023•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
14．(2023•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
类型五 二次函数的最值
15．(2023•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
16．(2023•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
类型六 抛物线与x轴的交点
17．(2023•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
18．(2023•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
19．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
20．(2023•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
21．(2023•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
第21题图 第23题图
类型七 二次函数的应用
22．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
23．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
24．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
25．(2023•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2．
26．(2023•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
27．(2023•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．
模块二 2023中考押题预测
28．(2023•红安县模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ．
29．（2023•沁阳市模拟）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为（3，﹣2）的二次函数解析式 ．
30．（2023•岱岳区校级一模）如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论是 ．
31．（2023•蜀山区校级一模）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 ；
（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 ．（用含a的代数式表示）
32．(2023•孟村县校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+bx+3经过P（2，3），则图象顶点坐标是 ；若Q（m，n）在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 ．
33．(2023•博望区校级一模）设二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），若b＞0且y的最小值为1﹣a．
（1）x1+x2＝ ；
（2）当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，则实数a的取值范围为 ．
34．（2023•鱼峰区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ．（填序号）
35．（2023•四川模拟）如图，已知函数y＝ax2﹣2ax与线段PQ有交点，其中P（3，3），Q（5，5），则a的取值范围是 ．
36．（2023•随州一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的有： （填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；
③当m＞2且0≤x≤2时，y的最小值为m﹣3；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣4＜x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：359＜m＜214．
37．(2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
（1）点B坐标（用含a的式子表示） ；
（2）已知点P（1，1a），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ．
38．(2023•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 ．
39．(2023•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 ．
40．(2023•赛罕区校级一模）已知点A（1，t）在抛物线y＝x2上，则点A的坐标为 ；若在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，请写出点P的坐标．
41．(2023•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝ ．
42．(2023•昭阳区校级模拟）二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为 ．
43．(2023•阳信县模拟）若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为 ．
44．(2023•沂源县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围为 ．
45．(2023•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 ．
46．(2023•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m．
（1）用含a的代数式表示b为 ；（2）mn的最大值为 ．
47．(2023•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 ．
48．(2023•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 ．
49．(2023•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ．
50．(2023•无为市三模）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是 ．
51．(2023•马鞍山二模）已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 ．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m＝ ．
52．（2023•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2﹣x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
53．(2023•峄城区模拟）二次函数y=−13x2+2x+163的图象交x轴于点A，B．则点AB的距离为 ．
54．(2023•船营区校级模拟）如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根，则弦AB的长等于 ．
55．(2023•长汀县模拟）已知二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为 ．
56．(2023•大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 （填写序号）．
57．(2023•市南区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
58．(2023•赛罕区校级模拟）如图所示，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+tb（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
59．(2023•岳麓区校级三模）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5米，1.5米．若该墙的长度为10米，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案．
60．(2023•新乐市校级模拟）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 ．x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
专题13 填空题重点出题方向二次函数的图像和性质及实际应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
1．(2023•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1≤n＜10 ．
思路引领：由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
总结提升：本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
2．(2023•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ﹣1−3 ．
思路引领：函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±3，因为﹣1+3＞12，所以﹣1−3≤x≤12时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±3，
∵﹣1+3＞12，
∴﹣1−3≤x≤12时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1−3．
故答案为：﹣1−3．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
3．(2023•荆门）如图，函数y=x2−2x+3(x＜2)−34x+92(x≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t=x1y1+x2y2x3y3，则t的取值范围是 35＜t＜1 ．
思路引领：根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y=−34x+92（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x=103，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜103，
∴t=x1+x2x3=2x3，
∴35＜t＜1．
故答案为：35＜t＜1．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
4．(2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．
思路引领：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴−b2a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
类型二 二次函数图象与系数的关系
5．(2023•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤−38 ．
思路引领：根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．
解：抛物线的对称轴为：x=−−2m2m=1，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=−38（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=−38，
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤−38，
故答案为：m＝3或﹣1＜m≤−38．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．(2023•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m=32，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
思路引领：①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②错误．3a+2c＝0；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；
④正确，证明判别式＞0即可．
解：∵对称轴x=−1+m2＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m=32时，对称轴x=−b2a=14，
∴b=−a2，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴3a2+c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
总结提升：本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7．(2023•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ①②③ ．（填写代表正确结论的序号）
思路引领：根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴x=−b2a=−1+22=12，故a+b＝0，故③正确；
④当x＜12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
类型三 二次函数图像上点的坐标特征
8．(2023•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4 ．
思路引领：由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
9．(2023•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x=−12．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 3 个．
思路引领：根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a＜0，进而可得b＜0，c＞0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=−12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
4a−2b+c=0a+b+c=0，
解得b=ac=−2a，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+12）2−14a，
14（a﹣2b）=14（a﹣2a）=−14a，
∴am2+bm−14（a﹣2b）＝a（m+12）2，
又∵a＜0，m≠−12，
∴a（m+12）2＜0，
即am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−12，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在x＞−12时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1＞−12，
∴y1＜y2，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
类型四 二次函数的图象与几何特征
10．(2023•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 −294＜b＜﹣1 ．
思路引领：解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b=−294，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为−294＜b＜﹣1．
故答案为：−294＜b＜﹣1．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
11．(2023•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 （3，5） ．
思路引领：利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．(2023•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．
思路引领：先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
总结提升：本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
13．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．
思路引领：根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x轴上，
∴4k(k−3)−[2(k−1)]24k=0，
解得：k＝﹣1，
∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，
∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．
总结提升：本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键．
14．(2023•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．
思路引领：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
类型五 二次函数的最值
15．(2023•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣4 ．
思路引领：根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
解：由函数图象可得：−b2a=−b2=−1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：4ac−b24a=4×1×(−3)−224×1=−4．
故答案为：﹣4．
总结提升：此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
16．(2023•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
思路引领：根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
总结提升：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
类型六 抛物线与x轴的交点
17．(2023•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或−45 ．
思路引领：函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m=−45，
综上所述：m的值为1或−45．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
18．(2023•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．
思路引领：方法1、先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±n+1，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±n+1，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1−n+1，0），B（﹣1+n+1，0），C（1−n+1，0），D（1+n+1，0），
∴AD＝1+n+1−（﹣1−n+1）＝2+2n+1，BC＝﹣1+n+1−（1−n+1）＝﹣2+2n+1，
∴2+2n+1=2（﹣2+2n+1），
∴n＝8，
故答案为：8．
方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
两函数的图象如图所示：
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：8．
总结提升：此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
19．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．
思路引领：由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
20．(2023•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．
思路引领：先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．
解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
总结提升：本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
21．(2023•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ①②③ .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
思路引领：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
类型七 二次函数的应用
22．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 2 s时，小球达到最高点．
思路引领：把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
思路引领：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
10k+b=2020k+b=10，
解得k=−1b=30，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
总结提升：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
24．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 149 米，水面宽8米．
思路引领：根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．
解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a=−29，
所以抛物线解析式为y=−29x2+2，
当x＝4时，y=−29×16+2=−149，
∴水面下降149米，
故答案为：149．
总结提升：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
25．(2023•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．
思路引领：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
总结提升：本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
26．(2023•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
思路引领：根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
总结提升：此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
27．(2023•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
思路引领：利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴4×(−5)n−m24×(−5)=20−5×32+3m+n=0，
解得：m1=10n1=15，m2=50n2=−105（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
总结提升：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
28．(2023•红安县校级模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ﹣1 ．
思路引领：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1＝0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．
解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a＝﹣1．
总结提升：主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1＝0，利用这两个条件即可求出a的值．
29．（2023•沁阳市模拟）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为（3，﹣2）的二次函数解析式 y＝（x﹣3）2﹣2（答案不唯一）． ．
思路引领：写出一个抛物线开口向上，顶点为已知点坐标即可．
解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的开口向上、顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣2（答案不唯一）．
总结提升：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
30．（2023•岱岳区校级一模）如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论是 ①②④ ．
思路引领：根据y2=12(x−3)2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a(x+2)2−3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2﹣y1的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB＝6与AC＝4的长，即可得到AB+AC的值．
解：∵12(x−3)2≥0，
∴y2=12(x−3)2+1＞0，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，①正确；
∵抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），
∴3＝9a﹣3，
∴a=23，②正确；
当x＝0时，y1=−13，y2=112，
∴当x＝0时，y2−y1=356，③错误；
当y＝3时，y1=23(x+2)2−3=3，解得x＝﹣5或1，
当y＝3时，y2=12(x−3)2+1=3，解得x＝1或5，
∴AB＝6，AC＝4
即AB+AC＝10，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
31．（2023•蜀山区校级一模）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 ﹣4 ；
（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 m≤2a−12 ．（用含a的代数式表示）
思路引领：（1）将抛物线化为顶点式即可求得答案；
（2）联立可得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，整理为x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，由根的判别式得Δ＜0，直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，由a＞0，得点M在点N上方，根据题意可得：M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），即可得出MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，可得对称轴为m=−−(2a−1)2=2a−12，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣4＝（x﹣a）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣4），
∴抛物线顶点的纵坐标是﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）联立抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与线y＝﹣x﹣5得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，
整理得x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，
∴Δ＝[﹣（2a﹣1）]2﹣4×1×（a2+1）＝﹣4a﹣3，
∵a＞0，
∴Δ＝﹣4a﹣3＜0，
∴直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，
∵a＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4开口向上，
∴点M在点N上方，
∵点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，
∴M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），
∴MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，
∴对称轴为m=−−(2a−1)2=2a−12，
∴当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是m≤2a−12．
故答案为：m≤2a−12．
总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根的判别式等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．(2023•孟村县校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+bx+3经过P（2，3），则图象顶点坐标是 （1，2） ；若Q（m，n）在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 0＜m＜2 ．
思路引领：把P（2，3）代入y＝x2+bx+3中，求出b，写出一般式，配方求顶点坐标．由题意可知2≤n＜3，根据n的范围即可确定m的范围．
解：把点P（2，3）代入y＝x2+bx+3中，
得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴图象的顶点坐标为（1，2）．
∵点Q（m，n）到x轴的距离小于3，
∴2≤n＜3，
当n＝3时，（m﹣1）2+2＝3，
解得m＝0或m＝2，
∴0＜m＜2．
故答案为：（1，2），0＜m＜2．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
33．(2023•博望区校级一模）设二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），若b＞0且y的最小值为1﹣a．
（1）x1+x2＝ ﹣2 ；
（2）当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，则实数a的取值范围为 a＞54 ．
思路引领：（1）先根据题意判断出a＞0，然后利用在顶点处取最小值以及b＞0推出：b＝2a，再根据x1+x2=−ba，即可算出结果；
（2）根据二次函数图象和性质列出不等式，求解即可．
解：（1）根据题意可知，二次函数y＝ax2+bx+1的最小值为1﹣a，
∴图像是开口向上的，则a＞0，
∴当x=−b2a 时，y＝1﹣a，
∴b24a−b22a+1=1−a，整理得：b2＝4a2，
∵b＞0，a＞0
∴b＝2a，
∵二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），
∴x1+x2=−ba，即x1+x2＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）由（1）可知：b＝2a，即y＝ax2+2ax+1，
∵当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，
∴ax2+2ax+1＞（2a+4）x﹣2，
整理得：ax2﹣4x+3＞0，
∵a＞0，抛物线对称轴为直线x=2a，
∴当0＜a≤1时，2a≥2，
∴a•（2a）2﹣4×2a+3＞0，
解得：a＞43，与0＜a≤1矛盾，舍去；
当a＞1时，2a＜2，
∵2≤x≤4，
∴4a﹣4×2+3＞0，
解得：a＞54，
∴实数a的取值范围为a＞54，
故答案为：a＞54．
总结提升：本题考查了二次函数图象和性质，二次函数的图象和系数的关系，二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，分情况讨论解决问题．
34．（2023•鱼峰区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ②④ ．（填序号）
思路引领：根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置即可判断a，b，c的正负；根据抛物线与x轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴，进而求出a和b的关系；根据图象可知，当x＝1时取得最小值，根据△ABD是等腰直角三角形推出点D的坐标，再求出抛物线解析式，以此即可求解．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1+32=1，即b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①错误；
由上述可知，b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c过A（﹣1，0），
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴2a+c＝﹣a＜0，故③错误；
当x＝1时，抛物线由最小值y＝a+b+c，
当x＝m，且m≠1时，
y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c，
∴am2+bm＞a+b，故④正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
可得点D纵坐标为﹣2，即点D（1，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
将A（﹣1，0）代入得：4a﹣2＝0，
解得：a=12，故⑤错误．
综上，正确的有②④．
故答案为：②④．
总结提升：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与x轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，得到a与b之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答．
35．（2023•四川模拟）如图，已知函数y＝ax2﹣2ax与线段PQ有交点，其中P（3，3），Q（5，5），则a的取值范围是 13≤a≤1 ．
思路引领：当y＝ax2﹣2ax经过点P（3，3）求出a的最大值，当y＝ax2﹣2ax经过点Q（5，5）求出a的最小值．
解：当y＝ax2﹣2ax经过点P（3，3）时，a有最大值，此时3＝9a﹣6a，解出a＝1；
当y＝ax2﹣2ax经过点Q（5，5）时，a有最小值，此时5＝25a﹣10a，解出a=13．
故a的取值范围为：13≤a≤1．
故答案为：13≤a≤1．
总结提升：本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质．
36．（2023•随州一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的有：
②④ （填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；
③当m＞2且0≤x≤2时，y的最小值为m﹣3；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣4＜x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：359＜m＜214．
思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3
解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），故①错误；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且Δ＞0，
Δ＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m＞65，且m＜2，故m的取值范围为：65＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x＝2处取得，故y的最小值为：（m﹣2）×4+2m×2+m﹣3＝9m﹣11，故③错误；
④当m＞2，x＝﹣4时，y＝16（m﹣2）﹣8m+m﹣3＝9m﹣29，当x＝﹣3时，9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当﹣4＜x1＜﹣2时，则（9m﹣35）（4m﹣21）＜0，解得：359＜m＜214．
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，
故m的取值范围为：359＜m＜214正确，故④正确；
故答案为：②④．
总结提升：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
37．(2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
（1）点B坐标（用含a的式子表示） （0，1a） ；
（2）已知点P（1，1a），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 13≤a≤2或−2≤a≤−13 ．
思路引领：（1）先求出抛物线与y轴的交点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求得B点坐标；
（2）根据题意，分两种情况分别求：当a＞0和a＜0时，分别求抛物线分别经过P、Q点是a的值，再结合图象可确定a的范围．
解：（1）令x＝0，得y＝ax2−1a=−1a，
∴A（0，−1a），
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（0，1a），
故答案为：（0，1a）；
（2）当a＞0时，如图1，
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a=2或a=−2 （舍去）；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=13或a=−13（舍去）；
∴13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
当a＜0时，如图2，
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a=−2或a=2（舍去）；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=−13或a=13（舍去）；
∴−2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
综上所述：13≤a≤2或−2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
故答案为：13≤a≤2或−2≤a≤−13．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
38．(2023•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 （﹣1，0）或（4，5） ．
思路引领：由y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝（x2﹣3x﹣4）m+x+1，无论m取何值，该抛物线总经过一定点，可得x2﹣3x﹣4＝0，解方程可得结论．
解：y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝mx2+x﹣3mx+1﹣4m＝（x2﹣3x﹣4）m+x+1，
∵无论m取何值，该抛物线总经过一定点，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴x＝﹣1或4，
∴x＝﹣1，y＝0或x＝4时，y＝5，
∴定点为（﹣1，0）或（4，5），
故答案为：（﹣1，0或（4，5）
总结提升：本题是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
39．(2023•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 3或4 ．
思路引领：通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．
解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣4）2，
设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣2m，
∴点F坐标为（m，2m﹣4），
∴（m﹣4）2＝2m﹣4，
解得m＝5+5（舍去）或m＝5−5．
∴CD＝25−2．
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
40．(2023•赛罕区校级一模）已知点A（1，t）在抛物线y＝x2上，则点A的坐标为 （1，1） ；若在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，请写出点P的坐标．
思路引领：将点A代入y＝x2，求出t即可求A点坐标；设P（x，0），当OA＝AP时，2=(x−1)2+1，求出P（2，0）；当OA＝OP时，2=|x|，求出P（2，0）或（−2，0）；当AP＝OP时，(x−1)2+1=|x|，求出P（1，0）．
解：∵点A（1，t）在抛物线y＝x2上，
∴t＝1，
∴A（1，1），
∴OA=2，
设P（x，0），
当OA＝AP时，2=(x−1)2+1，
解得x＝2或x＝0（舍），
∴P（2，0）；
当OA＝OP时，2=|x|，
解得x=2或x=−2，
∴P（2，0）或（−2，0）；
当AP＝OP时，(x−1)2+1=|x|，
解得x＝1，
∴P（1，0）；
综上所述：P点坐标为（2，0）或（2，0）或（−2，0）或（1，0），
故答案为：（1，1）．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
41．(2023•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝ 13 ．
思路引领：抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，即y＝（﹣x）2﹣（3m﹣3）（﹣x）﹣3＝x2+10x+2n+5，写出对应系数的值即可．
解：∵抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，
∴y＝（﹣x）2﹣（3m﹣3）（﹣x）﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴x2+（3m﹣3）x﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴3m﹣3＝10，2n+5＝﹣3，
∴m=133，n＝﹣4，
∴m+n=133−4=13．
故答案为：13．
总结提升：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关于y轴对称的两个抛物线上点的坐标横坐标互为相反数．
42．(2023•昭阳区校级模拟）二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为 y＝（x+2）2﹣5 ．
思路引领：根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝（x+2）2﹣5．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
43．(2023•阳信县模拟）若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为 y＝2（x+2）2﹣1 ．
思路引领：先利用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x﹣1配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式；再根据“左加右减、上加下减”的平移规律写出平移后的解析式．
解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣1．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
44．(2023•沂源县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围为 ﹣8＜b＜﹣2或b＝4 ．
思路引领：根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
解：设点B（0，2）关于x＝3的对称点为B′，则点B′（6，2）．
若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和B'（6，2），可得b＝﹣2．
若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b＝﹣8．
直线y＝kx+b平行x轴时，b＝4．
综上，﹣8＜b＜﹣2或b＝4．
故答案为：﹣8＜b＜﹣2或b＝4．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低解题的难度．
45．(2023•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 18 ．
思路引领：根据抛物线解析式求出点A、P的坐标，利用待定系数法求出直线AP′的解析式，过P作x轴的平行线交AP′于M，再求出点M的坐标，然后求出PM的长度，然后求出△AP′P的面积，再根据平移的性质，AP所扫过的图形是平行四边形，面积等于△AP′P面积的2倍，然后计算即可得解．
解：令x＝0，则y＝1，
所以，点P的坐标为（0，1），
∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴顶点A（2，5），
设直线AP′的解析式为y＝kx+b，
则2k+b=53k+b=−2，
解得k=−7b=19，
所以，直线AP′的解析式为y＝﹣7x+19，
当y＝1时，﹣7x+19＝1，
解得x=187，
∴点M的坐标为（187，1），PM=187，
S△AP′P＝S△PP′M+S△APM=12×187×（5+2）＝9，
根据平移的性质，PA扫过的面积是以PA、PP′为邻边的平行四边形，
所扫过的面积＝2S△AP′P＝2×9＝18．
故答案为：18．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与y轴的交点坐标，抛物线顶点坐标的求解，作辅助线求出平移扫过的面积的一半，即△AP′P的面积是解题的关键．
46．(2023•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m．
（1）用含a的代数式表示b为 b＝﹣2a ；
（2）mn的最大值为 43 ．
思路引领：（1）根据题意得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式即可得到结论；
（2）用含a代数式表示mn，然后配方求解．
解：（1）∵点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≥m，
∴二次函数图像开口向上，即a＞0，顶点坐标为（1，m），
∴对称轴为x=−b2a=1，即b＝﹣2a，
故答案为：b＝﹣2a；
（2）∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a−13）2+43，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值为43．
故答案为：43．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
47．(2023•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 3≤m≤7 ．
思路引领：根据二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
解：∵二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点，
设漂亮点的坐标为（n，n），
∴方程n＝an2+6n−254即an2+5n−254=0有两个相等的实数根，
∴△＝52﹣4a×（−254）＝0，
∴a＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+6x﹣5的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴当x＝3时，函数有最大值为4，
又∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣12，
令﹣x2+6x﹣5＝﹣12，
则x＝﹣1或7，
∴要使函数最小值为﹣12，最大值为4，
则3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7．
总结提升：本题主要考查二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
48．(2023•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 294 ．
思路引领：根据基本不等式可知，xy≤（x+y2）2，进而根据x+y的值求得xy+1的最大值．
解：∵x+y＝5，
∴xy≤（x+y2）2，
当且仅当x＝y=52时，等号成立，故xy最大值为254，
∴xy+1的最大值为294，
故答案为：294
总结提升：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．
49．(2023•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ﹣2 ．
思路引领：根据关于x轴对称的点的坐标特征以及平移的规律即可得到把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，从而得出y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2．
解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与几何变换，明确变换步骤是解题的关键．
50．(2023•无为市三模）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是 ﹣7 ．
思路引领：由已知得出y＝x2+3x﹣3，即可得到x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，根据二次函数的性质即可求得x+y的最小值．
解：∵实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，
∴x+y的最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
总结提升：本题考查了二次函数的最值，得到x+y关于x的函数解析式是解题的关键．
51．(2023•马鞍山二模）已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 k＝2h+1 ．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m＝ 12 ．
思路引领：（1）利用抛物线的顶点坐标公式解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分m≥2，0＜m＜2和当m≥2时三种情况讨论解答，分别确定出最大值与最小值，利用已知条件列出方程即可求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1，
∴h＝m，k＝2m+1，
∴k关于h的函数解析式为k＝2h+1，
故答案为：k＝2h+1；
（2）令x＝0，则y＝（m+1）2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）．
∵（m+1）2≥0．
∵抛物线不经过第三象限，抛物线的开口方向向上，
∴Δ＝4m2﹣4（m+1）2≤0，
∴m≥−12．
①当−12≤m≤0时，
∵抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为x＝m，
∴在﹣2≤x≤2时，当x＝m时，函数取最小值为y＝m2﹣2m2+（m+1）2＝2m+1，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴2m+1+m2﹣2m+5=414，
即：m2＝4
解得：m＝2或﹣2（不合题意，舍去），
∴此种情况不存在；
②当0＜m＜2时，
在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝m时，函数取最小值为y＝2m+1，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴m2+6m+5+2m+1=414，
解得：m=12或m=−172（不合题意，舍去），
∴m=12．
③当m≥2时，
当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴m2+6m+5+m2﹣2m+5=414，
解得：m=−4±324（不合题意，舍去），
综上，在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m=12．
故答案为：12．
总结提升：本题主要考查了抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的极值，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
52．（2023•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2﹣x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 4 ．
思路引领：先判断出抛物线y=−12x2+x+n的图象可由y=−12x2﹣x+n的图象向右平移两个单位得到，借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
解：∵y=−12x2﹣x+n=−12（x+1）2+n+12，
∴抛物线y=−12x2﹣x+n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，n+12），
∵y=−12x2+x+n=−12（x﹣1）2+n+12，
∴抛物线y=−12x2+x+n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，n+12），
∴抛物线y=−12x2﹣x+n的图象可由y=−12x2﹣x+n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴n+12＞12，
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y=−12x2+x+n 上，
∴﹣2﹣2+n＝0，
∴n＝4，
故答案为：4．
总结提升：此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点C的坐标是解本题的关键．
53．(2023•峄城区校级模拟）二次函数y=−13x2+2x+163的图象交x轴于点A，B．则点AB的距离为 10 ．
思路引领：令y＝0，解一元二次方程求出A，B坐标即可．
解：令y＝0，则−13x2+2x+163=0，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10．
故答案为：10．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点，关键是求出A，B坐标．
54．(2023•船营区校级模拟）如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根，则弦AB的长等于 22 ．
思路引领：设A，B两点的横坐标为m、n，根据根与系数的关系求得m+n、mn与p、q之间的关系，即可解答．
解：M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，
故有q＝p2﹣2，即p2﹣q＝2；
设A，B两点的横坐标为m、n，A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根
则有m+n＝2p，mn＝q，
而弦AB的长的等于|m﹣n|，
故|m﹣n|2＝（m+n）2﹣4mn＝4p2﹣4q＝4（p2﹣q）＝8，
∴|m﹣n|＝22．
故答案为：22．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，考查学生数形结合处理问题、解决问题的能力．
55．(2023•长汀县模拟）已知二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为 x1＝﹣4，x2＝0 ．
思路引领：根据二次函数函数的平移变换得出结论．
解：由平移规律知，二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c的图象是由二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象向左平移3个单位得到的，
∵二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），
∴二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c的图象与x轴相交于（﹣4，0），（0，0），
∴关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝0．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的平移变换，关键是根据平移的规律找到二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c与二次函数y＝2022x2+bx﹣c的关系．
56．(2023•大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 ①②④ （填写序号）．
思路引领：由于方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，则根据根与系数的关系得到﹣3+1=−ba，于是可对①进行判断；由x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根得到a+b+c＝1，则利用b＝c得到a＝﹣2c，所以方程cx2+bx+a＝0化为x2+x﹣2＝0，然后解方程可对②进行判断；由a+b＝c＝0得到b＝﹣（a+c），再计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣c）2≥0，然后根据根的判别式的意义可对③进行判断；根据二次函数的性质，由0＜a＜c得到抛物线开口向上，由于−b2a=a+c2a＞1，于是可判断点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质可对④进行判断．
解：∵方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，
∴﹣3+1=−ba，
∴b＝2a，所以①正确；
∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴a+b+c＝1，
当b＝c时，a+c+c＝0，
∴a＝﹣2c，
∴方程cx2+bx+a＝0化为cx2+cx﹣2c＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确；
∵a+b＝c＝0，
∴b＝﹣（a+c），
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵（a﹣c）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个的实数根，所以③错误；
∵0＜a＜c，
∴抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线x=−b2a，
∵−b2a=−−(a+c)2a=a+c2a＞1，
而x1＜x2＜1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．所以④正确．
故答案为：①②④．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式、根与系数的关系和二次函数的性质．
57．(2023•市南区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．其中正确的结论是 ②③ ．
思路引领：根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x=32时，得到94a−32a+2＜0，解不等式求得a＜−83，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜−83，即可得出m+n＜−203，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t12即可判断④．
解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：c=2a+b+c=2，
解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴94a−32a+2＜0，
∴a＜−83，
∴b＞83，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜−83，
∴m+n＜−203，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞12，故④不正确，
故答案为：②③．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
58．(2023•赛罕区校级模拟）如图所示，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+tb（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
思路引领：根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方的部分的x的取值范围即可．
解：由图形可得，当x＜﹣2或x＞8时，二次函数图象在一次函数图象上方，y1＞y2，
所以，使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
总结提升：本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．
59．(2023•岳麓区校级三模）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5米，1.5米．若该墙的长度为10米，则最多可以连续绘制 5 个这样的抛物线型图案．
思路引领：由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，求出函数的对称轴为x=12（0.5+1.5）＝1，进而求解．
解：以点O为原点，建立如下坐标系，
由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，
故函数的对称轴为x=12（0.5+1.5）＝1，
设第一个图案与x轴交点为D，则OD＝2，
则10÷2＝5，
故最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案，
故答案为：5．
总结提升：本题考查的是二次函数的应用，通过建立适当的坐标系，确定函数的对称轴是解题的关键．
60．(2023•新乐市校级模拟）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 y＝﹣40x+880 ；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 360元 ．
思路引领：（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则20−x0.5为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
解：（1）由题意得：y＝80+20×20−x0.5=−40x+880，
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣40x+880，
故答案为：y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∵﹣40x+880≥0，
解得x≤22，
∴16≤x≤22，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
故答案为：360元．
总结提升：本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
类型一 二次函数的图象和性质
1．(2023•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
2．(2023•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
3．(2023•荆门）如图，函数y=x2−2x+3(x＜2)−34x+92(x≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t=x1y1+x2y2x3y3，则t的取值范围是 ．
4．(2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．
类型二 二次函数图象与系数的关系
5．(2023•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
6．(2023•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m=32，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
7．(2023•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
类型三 二次函数图像上点的坐标特征
8．(2023•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
9．(2023•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x=−12．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．
类型四 二次函数的图象与几何特征
10．(2023•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
11．(2023•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
12．(2023•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
13．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
14．(2023•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 ．
类型五 二次函数的最值
15．(2023•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
16．(2023•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
类型六 抛物线与x轴的交点
17．(2023•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
18．(2023•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
19．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
20．(2023•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： ．
21．(2023•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
第21题图 第23题图
类型七 二次函数的应用
22．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
23．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
24．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
25．(2023•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2．
26．(2023•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
27．(2023•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 ．
模块二 2023中考押题预测
28．(2023•红安县模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ．
29．（2023•沁阳市模拟）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为（3，﹣2）的二次函数解析式 ．
30．（2023•岱岳区校级一模）如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论是 ．
31．（2023•蜀山区校级一模）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 ；
（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 ．（用含a的代数式表示）
32．(2023•孟村县校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+bx+3经过P（2，3），则图象顶点坐标是 ；若Q（m，n）在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 ．
33．(2023•博望区校级一模）设二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），若b＞0且y的最小值为1﹣a．
（1）x1+x2＝ ；
（2）当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，则实数a的取值范围为 ．
34．（2023•鱼峰区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ．（填序号）
35．（2023•四川模拟）如图，已知函数y＝ax2﹣2ax与线段PQ有交点，其中P（3，3），Q（5，5），则a的取值范围是 ．
36．（2023•随州一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的有： （填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；
③当m＞2且0≤x≤2时，y的最小值为m﹣3；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣4＜x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：359＜m＜214．
37．(2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
（1）点B坐标（用含a的式子表示） ；
（2）已知点P（1，1a），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 ．
38．(2023•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 ．
39．(2023•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 ．
40．(2023•赛罕区校级一模）已知点A（1，t）在抛物线y＝x2上，则点A的坐标为 ；若在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，请写出点P的坐标．
41．(2023•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝ ．
42．(2023•昭阳区校级模拟）二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为 ．
43．(2023•阳信县模拟）若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为 ．
44．(2023•沂源县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围为 ．
45．(2023•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 ．
46．(2023•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m．
（1）用含a的代数式表示b为 ；（2）mn的最大值为 ．
47．(2023•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 ．
48．(2023•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 ．
49．(2023•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ．
50．(2023•无为市三模）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是 ．
51．(2023•马鞍山二模）已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 ．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m＝ ．
52．（2023•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2﹣x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
53．(2023•峄城区模拟）二次函数y=−13x2+2x+163的图象交x轴于点A，B．则点AB的距离为 ．
54．(2023•船营区校级模拟）如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根，则弦AB的长等于 ．
55．(2023•长汀县模拟）已知二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为 ．
56．(2023•大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 （填写序号）．
57．(2023•市南区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
58．(2023•赛罕区校级模拟）如图所示，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+tb（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 ．
59．(2023•岳麓区校级三模）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5米，1.5米．若该墙的长度为10米，则最多可以连续绘制 个这样的抛物线型图案．
60．(2023•新乐市校级模拟）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 ．x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
专题13 填空题重点出题方向二次函数的图像和性质及实际应用（解析版）
模块一 2022中考真题集训
1．(2023•盐城）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 1≤n＜10 ．
思路引领：由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口向上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
总结提升：本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
2．(2023•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ﹣1−3 ．
思路引领：函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±3，因为﹣1+3＞12，所以﹣1−3≤x≤12时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±3，
∵﹣1+3＞12，
∴﹣1−3≤x≤12时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1−3．
故答案为：﹣1−3．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
3．(2023•荆门）如图，函数y=x2−2x+3(x＜2)−34x+92(x≥2)的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t=x1y1+x2y2x3y3，则t的取值范围是 35＜t＜1 ．
思路引领：根据A、B关于对称轴x＝1对称，可知x1+x2＝2，由直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点，可以求出x3的取值范围，进而求出t的范围．
解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y=−34x+92（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x=103，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，
∴2＜x3＜103，
∴t=x1+x2x3=2x3，
∴35＜t＜1．
故答案为：35＜t＜1．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
4．(2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ﹣4＜m＜0 ．
思路引领：由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴−b2a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
类型二 二次函数图象与系数的关系
5．(2023•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 m＝3或﹣1＜m≤−38 ．
思路引领：根据抛物线求出对称轴x＝1，y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，分两种情况讨论：m＞0时或m＜0时，利用抛物线的性质分析求解．
解：抛物线的对称轴为：x=−−2m2m=1，
当x＝0时，y＝2，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，
当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=−38（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），
当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，
2﹣m＝﹣1，
解得：m＝3，
当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，
16m﹣8m+2＝﹣1，
解得：m=−38，
当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，
m+2m+2＝﹣1，
解得：m＝﹣1，
综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤−38，
故答案为：m＝3或﹣1＜m≤−38．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
6．(2023•武汉）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论：
①b＞0；
②若m=32，则3a+2c＜0；
③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，则y1＞y2；
④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
思路引领：①正确．根据对称轴在y轴的右侧，可得结论；
②错误．3a+2c＝0；
③正确．由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，由点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，推出点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，推出y1＞y2；
④正确，证明判别式＞0即可．
解：∵对称轴x=−1+m2＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∴−b2a＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
故①正确；
当m=32时，对称轴x=−b2a=14，
∴b=−a2，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＝0，
∴3a2+c＝0，
∴3a+2c＝0，故②错误；
由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，0＜h＜0.5，
∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞1，
∴点M到对称轴的距离＜点N到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③正确；
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣m），
方程a（x+1）（x﹣m）＝1，
整理得，ax2+a（1﹣m）x﹣am﹣1＝0，
Δ＝[a（1﹣m）]2﹣4a（﹣am﹣1）
＝a2（m+1）2+4a，
∵1＜m＜2，a≤﹣1，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根．故④正确，
故答案为：①③④．
总结提升：本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
7．(2023•锦州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ①②③ ．（填写代表正确结论的序号）
思路引领：根据二次函数的对称轴位置和抛物线与y轴交点位置确定①③，根据x＝﹣2时判定②，由抛物线图像性质判定④．
解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝﹣2时，函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），则对称轴x=−b2a=−1+22=12，故a+b＝0，故③正确；
④当x＜12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
类型三 二次函数图像上点的坐标特征
8．(2023•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4 ．
思路引领：由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m＝4．
解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m＝4，
故答案为：4．
总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
9．(2023•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x=−12．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 3 个．
思路引领：根据抛物线与x轴的一个交点（﹣2，0）以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点（1，0），利用待定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a＜0，进而可得b＜0，c＞0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
解：∵抛物线的对称轴为直线x=−12，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：
4a−2b+c=0a+b+c=0，
解得b=ac=−2a，
∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴两个交点，
∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵am2+bm＝am2+am＝a（m+12）2−14a，
14（a﹣2b）=14（a﹣2a）=−14a，
∴am2+bm−14（a﹣2b）＝a（m+12）2，
又∵a＜0，m≠−12，
∴a（m+12）2＜0，
即am2+bm＜14（a﹣2b）（其中m≠−12），故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−12，且抛物线开口朝下，
∴可知二次函数，在x＞−12时，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞1＞−12，
∴y1＜y2，故⑤错误，
正确的有②③④，共3个，
故答案为：3．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
类型四 二次函数的图象与几何特征
10．(2023•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 −294＜b＜﹣1 ．
思路引领：解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．
解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b=−294，
所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为−294＜b＜﹣1．
故答案为：−294＜b＜﹣1．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
11．(2023•牡丹江）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 （3，5） ．
思路引领：利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其顶点坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．(2023•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 （1，﹣3） ．
思路引领：先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．
解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，
再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，
∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
总结提升：本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．
13．(2023•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4 ．
思路引领：根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，分情况讨论求解．
解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，
∴它们的顶点分别在x轴上，
∴4k(k−3)−[2(k−1)]24k=0，
解得：k＝﹣1，
∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，
∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，
综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，
故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．
总结提升：本题考查了新定义，利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，理解题意，利用分类讨论的思想是解题是关键．
14．(2023•黑龙江）把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为 y＝2（x+1）2﹣2 ．
思路引领：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2﹣2，
故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
类型五 二次函数的最值
15．(2023•六盘水）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ﹣4 ．
思路引领：根据二次函数图象得出其对称轴和与x轴交点，进而得出二次函数解析式，即可求出最小值．
解：由函数图象可得：−b2a=−b2=−1，
解得：b＝2，
∵图象经过（﹣3，0）点，
∴0＝（﹣3）2﹣3×2+c，
解得：c＝﹣3，
故二次函数解析式为：y＝x2+2x﹣3，
则二次函数的最小值为：4ac−b24a=4×1×(−3)−224×1=−4．
故答案为：﹣4．
总结提升：此题主要考查了二次函数的最值以及二次函数的图象，正确求出二次函数解析式是解题关键．
16．(2023•凉山州）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 6 ．
思路引领：根据a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代数式a2﹣3b2+a﹣14中，然后结合二次函数的性质即可得到答案．
解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14
＝a2﹣3a+12+a﹣14
＝a2﹣2a﹣2
＝a2﹣2a+1﹣1﹣2
＝（a﹣1）2﹣3，
∵1＞0，
又∵b2＝a﹣4≥0，
∴a≥4，
∵1＞0，
∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，
∴当a＝4时，原式取最小值为6，
故答案为：6．
总结提升：本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．
类型六 抛物线与x轴的交点
17．(2023•大庆）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 1或−45 ．
思路引领：函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ＝0，m≠0．
解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．
当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ＝0，m≠0，
（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得m＝0（舍去）或m=−45，
综上所述：m的值为1或−45．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
18．(2023•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 8 ．
思路引领：方法1、先判断出了抛物线与x轴的两交点坐标，进而求出AD，BC，进而建立方程，求解即可求出答案．
方法2、先判断出抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，进而画出图象，再借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，
令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，
∴x＝﹣1±n+1，
针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，
令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，
∴x＝1±n+1，
∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，
∴AB＝CD，
∵AD＝2BC，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，
∴A（﹣1−n+1，0），B（﹣1+n+1，0），C（1−n+1，0），D（1+n+1，0），
∴AD＝1+n+1−（﹣1−n+1）＝2+2n+1，BC＝﹣1+n+1−（1−n+1）＝﹣2+2n+1，
∴2+2n+1=2（﹣2+2n+1），
∴n＝8，
故答案为：8．
方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
两函数的图象如图所示：
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：8．
总结提升：此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点A，B，C，D的坐标是解本题的关键．
19．(2023•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 （﹣5，﹣4）或（0，1） ．
思路引领：由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
20．(2023•无锡）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件： m＞3 ．
思路引领：先求出平移后的抛物线的解析式，由平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，可得Δ＜0，即可求解．
解：∵把二次函数y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x+2﹣3）2+m﹣4+1，
∴平移后的解析式为：y＝x2﹣2x+m﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）＜0，
∴m＞3，
故答案为：m＞3．
总结提升：本题考查二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的几何变换．
21．(2023•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 ①②③ .（填序号，多选、少选、错选都不得分）
思路引领：由抛物线的对称轴的位置以及与y轴的交点可判断①；由抛物线过点（1，0），即可判断②；由抛物线的对称性可判断③；根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④；对称轴可得b＝2a，由抛物线过点（1，0）可判断⑤．
解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，
∴ab＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，①正确；
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，②正确．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，
∴y2＞y1＞y3，④错误．
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴3a+c＝0，⑤错误．
故答案为：①②③．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
类型七 二次函数的应用
22．(2023•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 2 s时，小球达到最高点．
思路引领：把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
总结提升：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．(2023•聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 121 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
思路引领：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润＝单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：
10k+b=2020k+b=10，
解得k=−1b=30，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，
∵﹣1＜0，
∴当x＝19时，w有最大值为121，
故答案为：121．
总结提升：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润＝单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
24．(2023•广安）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 149 米，水面宽8米．
思路引领：根据已知建立直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把x＝4代入抛物线解析式得出y，即可得出答案．
解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得：AO＝OB＝3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，
把A点坐标（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
9a+2＝0，
解得：a=−29，
所以抛物线解析式为y=−29x2+2，
当x＝4时，y=−29×16+2=−149，
∴水面下降149米，
故答案为：149．
总结提升：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
25．(2023•新疆）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 32 m2．
思路引领：设与墙垂直的一边长为xm，然后根据矩形面积列出函数关系式，从而利用二次函数的性质分析其最值．
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（16﹣2x）m，
∴矩形围栏的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32，
∵﹣2＜0，
∴当x＝4时，矩形有最大面积为32m2，
故答案为：32．
总结提升：本题考查二次函数的应用，准确识图，理解二次函数的性质是解题关键．
26．(2023•连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
思路引领：根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
总结提升：此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
27．(2023•成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度h（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系h＝﹣5t2+mt+n，其图象如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时h的值的“极差”（即0秒到t秒时h的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是 0≤w≤5 ；当2≤t≤3时，w的取值范围是 5≤w≤20 ．
思路引领：利用待定系数法求得抛物线的解析式，再利用配方法求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象即可求解．
解：∵物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒，
∴抛物线h＝﹣5t2+mt+n的顶点的纵坐标为20，且经过（3，0）点，
∴4×(−5)n−m24×(−5)=20−5×32+3m+n=0，
解得：m1=10n1=15，m2=50n2=−105（不合题意，舍去），
∴抛物线的解析式为h＝﹣5t2+10t+15，
∵h＝﹣5t2+10t+15＝﹣5（t﹣1）2+20，
∴抛物线的最高点的坐标为（1，20）．
∵20﹣15＝5，
∴当0≤t≤1时，w的取值范围是：0≤w≤5；
当t＝2时，h＝15，当t＝3时，h＝0，
∵20﹣15＝5，20﹣0＝20，
∴当2≤t≤3时，w的取值范围是：5≤w≤20．
故答案为：0≤w≤5；5≤w≤20．
总结提升：本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，理解“极差”的意义是解题的关键．
模块二 2023中考押题预测
28．(2023•红安县校级模拟）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1的图象，那么a的值是 ﹣1 ．
思路引领：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），二次函数y＝ax2﹣3x+a2﹣1与y轴交点纵坐标为a2﹣1，所以a2﹣1＝0，解得a的值．再图象开口向下，a＜0确定a的值．
解：由图象可知，抛物线经过原点（0，0），
所以a2﹣1＝0，解得a＝±1，
∵图象开口向下，a＜0，
∴a＝﹣1．
总结提升：主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a＜0；经过原点a2﹣1＝0，利用这两个条件即可求出a的值．
29．（2023•沁阳市模拟）请任意写出一个图象开口向上，且顶点坐标为（3，﹣2）的二次函数解析式 y＝（x﹣3）2﹣2（答案不唯一）． ．
思路引领：写出一个抛物线开口向上，顶点为已知点坐标即可．
解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣2的开口向上、顶点坐标为（3，﹣2），
故答案为：y＝（x﹣3）2﹣2（答案不唯一）．
总结提升：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
30．（2023•岱岳区校级一模）如图，抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=23；③当x＝0时，y2﹣y1＝6；④AB+AC＝10；其中正确结论是 ①②④ ．
思路引领：根据y2=12(x−3)2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a(x+2)2−3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出y2﹣y1的值；根据两函数的解析式求出A、B、C的坐标，计算出AB＝6与AC＝4的长，即可得到AB+AC的值．
解：∵12(x−3)2≥0，
∴y2=12(x−3)2+1＞0，
∴无论x取何值，y2的值总是正数，①正确；
∵抛物线y1=a(x+2)2−3与y2=12(x−3)2+1交于点A（1，3），
∴3＝9a﹣3，
∴a=23，②正确；
当x＝0时，y1=−13，y2=112，
∴当x＝0时，y2−y1=356，③错误；
当y＝3时，y1=23(x+2)2−3=3，解得x＝﹣5或1，
当y＝3时，y2=12(x−3)2+1=3，解得x＝1或5，
∴AB＝6，AC＝4
即AB+AC＝10，④正确；
综上正确的有①②④，
故答案为：①②④．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意利用数形结合进行解答，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征．
31．（2023•蜀山区校级一模）已知关于x的抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4．
（1）此抛物线顶点的纵坐标是 ﹣4 ；
（2）若a＞0，点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点M作MN∥y轴，交直线y＝﹣x﹣5于点N，当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是 m≤2a−12 ．（用含a的代数式表示）
思路引领：（1）将抛物线化为顶点式即可求得答案；
（2）联立可得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，整理为x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，由根的判别式得Δ＜0，直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，由a＞0，得点M在点N上方，根据题意可得：M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），即可得出MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，可得对称轴为m=−−(2a−1)2=2a−12，根据二次函数的性质即可求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2ax+a2﹣4＝（x﹣a）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标为（a，﹣4），
∴抛物线顶点的纵坐标是﹣4，
故答案为：﹣4；
（2）联立抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4与线y＝﹣x﹣5得x2﹣2ax+a2﹣4＝﹣x﹣5，
整理得x2﹣（2a﹣1）x+a2+1＝0，
∴Δ＝[﹣（2a﹣1）]2﹣4×1×（a2+1）＝﹣4a﹣3，
∵a＞0，
∴Δ＝﹣4a﹣3＜0，
∴直线y＝﹣x﹣5与抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4无交点，
∵a＞0，
∴抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣4开口向上，
∴点M在点N上方，
∵点M为该抛物线上一动点，其横坐标为m，
∴M（m，m2﹣2ma+a2﹣4），N（m，﹣m﹣5），
∴MN＝m2﹣2ma+a2﹣4﹣（﹣m﹣5）＝m2﹣（2a﹣1）m+a2+1，
∴对称轴为m=−−(2a−1)2=2a−12，
∴当MN的长随m的增大而减小时，m的取值范围是m≤2a−12．
故答案为：m≤2a−12．
总结提升：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根的判别式等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
32．(2023•孟村县校级模拟）如图，已知二次函数y＝x2+bx+3经过P（2，3），则图象顶点坐标是 （1，2） ；若Q（m，n）在这个二次函数图象上，且点Q到x轴的距离小于3，则m的取值范围 0＜m＜2 ．
思路引领：把P（2，3）代入y＝x2+bx+3中，求出b，写出一般式，配方求顶点坐标．由题意可知2≤n＜3，根据n的范围即可确定m的范围．
解：把点P（2，3）代入y＝x2+bx+3中，
得b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴图象的顶点坐标为（1，2）．
∵点Q（m，n）到x轴的距离小于3，
∴2≤n＜3，
当n＝3时，（m﹣1）2+2＝3，
解得m＝0或m＝2，
∴0＜m＜2．
故答案为：（1，2），0＜m＜2．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
33．(2023•博望区校级一模）设二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），若b＞0且y的最小值为1﹣a．
（1）x1+x2＝ ﹣2 ；
（2）当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，则实数a的取值范围为 a＞54 ．
思路引领：（1）先根据题意判断出a＞0，然后利用在顶点处取最小值以及b＞0推出：b＝2a，再根据x1+x2=−ba，即可算出结果；
（2）根据二次函数图象和性质列出不等式，求解即可．
解：（1）根据题意可知，二次函数y＝ax2+bx+1的最小值为1﹣a，
∴图像是开口向上的，则a＞0，
∴当x=−b2a 时，y＝1﹣a，
∴b24a−b22a+1=1−a，整理得：b2＝4a2，
∵b＞0，a＞0
∴b＝2a，
∵二次函数y＝ax2+bx+1与x轴的交点为（x1，0）（x2，0），
∴x1+x2=−ba，即x1+x2＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）由（1）可知：b＝2a，即y＝ax2+2ax+1，
∵当2≤x≤4时，不等式y＞（2a+4）x﹣2恒成立，
∴ax2+2ax+1＞（2a+4）x﹣2，
整理得：ax2﹣4x+3＞0，
∵a＞0，抛物线对称轴为直线x=2a，
∴当0＜a≤1时，2a≥2，
∴a•（2a）2﹣4×2a+3＞0，
解得：a＞43，与0＜a≤1矛盾，舍去；
当a＞1时，2a＜2，
∵2≤x≤4，
∴4a﹣4×2+3＞0，
解得：a＞54，
∴实数a的取值范围为a＞54，
故答案为：a＞54．
总结提升：本题考查了二次函数图象和性质，二次函数的图象和系数的关系，二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，分情况讨论解决问题．
34．（2023•鱼峰区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③2a+c＞0；④当m≠1时，a+b＜am2+bm；⑤当a＝1时，△ABD是等腰直角三角形；其中正确的是 ②④ ．（填序号）
思路引领：根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴交点位置即可判断a，b，c的正负；根据抛物线与x轴的交点坐标，即可求出抛物线的对称轴，进而求出a和b的关系；根据图象可知，当x＝1时取得最小值，根据△ABD是等腰直角三角形推出点D的坐标，再求出抛物线解析式，以此即可求解．
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1+32=1，即b＝﹣2a，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴bc＞0，故①错误；
由上述可知，b＝﹣2a，
∴b+2a＝0，故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax+c过A（﹣1，0），
∴3a+c＝0，
∵a＞0，
∴2a+c＝﹣a＜0，故③错误；
当x＝1时，抛物线由最小值y＝a+b+c，
当x＝m，且m≠1时，
y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c，
∴am2+bm＞a+b，故④正确；
当△ABD是等腰直角三角形时，
可得点D纵坐标为﹣2，即点D（1，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，
将A（﹣1，0）代入得：4a﹣2＝0，
解得：a=12，故⑤错误．
综上，正确的有②④．
故答案为：②④．
总结提升：本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、抛物线与x轴的交点坐标、等腰直角三角形的性质，解题关键是根据抛物线与x轴的交点坐标求出对称轴，得到a与b之间的数量关系，再利用等腰三角形的性质进行解答．
35．（2023•四川模拟）如图，已知函数y＝ax2﹣2ax与线段PQ有交点，其中P（3，3），Q（5，5），则a的取值范围是 13≤a≤1 ．
思路引领：当y＝ax2﹣2ax经过点P（3，3）求出a的最大值，当y＝ax2﹣2ax经过点Q（5，5）求出a的最小值．
解：当y＝ax2﹣2ax经过点P（3，3）时，a有最大值，此时3＝9a﹣6a，解出a＝1；
当y＝ax2﹣2ax经过点Q（5，5）时，a有最小值，此时5＝25a﹣10a，解出a=13．
故a的取值范围为：13≤a≤1．
故答案为：13≤a≤1．
总结提升：本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质．
36．（2023•随州一模）已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0），则下列说法正确的有：
②④ （填序号）
①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣3）；
②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：65＜m＜2；
③当m＞2且0≤x≤2时，y的最小值为m﹣3；
④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣4＜x1＜﹣3，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：359＜m＜214．
思路引领：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3
解：①y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3＝m（x+1）2﹣2x2﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣5，故该函数图象一定过定点（﹣1，﹣5），故①错误；
②若该函数图象开口向下，则m﹣2＜0，且Δ＞0，
Δ＝b2﹣4ac＝20m﹣24＞0，解得：m＞65，且m＜2，故m的取值范围为：65＜m＜2，故②正确；
③当m＞2，函数的对称轴在y轴左侧，当0≤x≤2时，y的最小值在x＝2处取得，故y的最小值为：（m﹣2）×4+2m×2+m﹣3＝9m﹣11，故③错误；
④当m＞2，x＝﹣4时，y＝16（m﹣2）﹣8m+m﹣3＝9m﹣29，当x＝﹣3时，9（m﹣2）﹣6m+m﹣3＝4m﹣21，当﹣4＜x1＜﹣2时，则（9m﹣35）（4m﹣21）＜0，解得：359＜m＜214．
同理﹣1＜x2＜0时，m＞3，
故m的取值范围为：359＜m＜214正确，故④正确；
故答案为：②④．
总结提升：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
37．(2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B．
（1）点B坐标（用含a的式子表示） （0，1a） ；
（2）已知点P（1，1a），Q（3，0），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围 13≤a≤2或−2≤a≤−13 ．
思路引领：（1）先求出抛物线与y轴的交点坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征求得B点坐标；
（2）根据题意，分两种情况分别求：当a＞0和a＜0时，分别求抛物线分别经过P、Q点是a的值，再结合图象可确定a的范围．
解：（1）令x＝0，得y＝ax2−1a=−1a，
∴A（0，−1a），
∵点A关于x轴的对称点为点B，
∴B（0，1a），
故答案为：（0，1a）；
（2）当a＞0时，如图1，
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a=2或a=−2 （舍去）；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=13或a=−13（舍去）；
∴13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
当a＜0时，如图2，
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a=−2或a=2（舍去）；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=−13或a=13（舍去）；
∴−2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
综上所述：13≤a≤2或−2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
故答案为：13≤a≤2或−2≤a≤−13．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．
38．(2023•珠海校级三模）在坐标平面内，已知抛物线y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m一定经过一定点P，则P点的坐标是 （﹣1，0）或（4，5） ．
思路引领：由y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝（x2﹣3x﹣4）m+x+1，无论m取何值，该抛物线总经过一定点，可得x2﹣3x﹣4＝0，解方程可得结论．
解：y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m＝mx2+x﹣3mx+1﹣4m＝（x2﹣3x﹣4）m+x+1，
∵无论m取何值，该抛物线总经过一定点，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴x＝﹣1或4，
∴x＝﹣1，y＝0或x＝4时，y＝5，
∴定点为（﹣1，0）或（4，5），
故答案为：（﹣1，0或（4，5）
总结提升：本题是二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
39．(2023•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 3或4 ．
思路引领：通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．
解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣4）2，
设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣2m，
∴点F坐标为（m，2m﹣4），
∴（m﹣4）2＝2m﹣4，
解得m＝5+5（舍去）或m＝5−5．
∴CD＝25−2．
故答案为：25−2．
总结提升：本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
40．(2023•赛罕区校级一模）已知点A（1，t）在抛物线y＝x2上，则点A的坐标为 （1，1） ；若在x轴上存在点P，使△OAP是等腰三角形，请写出点P的坐标．
思路引领：将点A代入y＝x2，求出t即可求A点坐标；设P（x，0），当OA＝AP时，2=(x−1)2+1，求出P（2，0）；当OA＝OP时，2=|x|，求出P（2，0）或（−2，0）；当AP＝OP时，(x−1)2+1=|x|，求出P（1，0）．
解：∵点A（1，t）在抛物线y＝x2上，
∴t＝1，
∴A（1，1），
∴OA=2，
设P（x，0），
当OA＝AP时，2=(x−1)2+1，
解得x＝2或x＝0（舍），
∴P（2，0）；
当OA＝OP时，2=|x|，
解得x=2或x=−2，
∴P（2，0）或（−2，0）；
当AP＝OP时，(x−1)2+1=|x|，
解得x＝1，
∴P（1，0）；
综上所述：P点坐标为（2，0）或（2，0）或（−2，0）或（1，0），
故答案为：（1，1）．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
41．(2023•新兴县校级模拟）若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n＝ 13 ．
思路引领：抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，即y＝（﹣x）2﹣（3m﹣3）（﹣x）﹣3＝x2+10x+2n+5，写出对应系数的值即可．
解：∵抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣3）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于y轴对称，
∴y＝（﹣x）2﹣（3m﹣3）（﹣x）﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴x2+（3m﹣3）x﹣3＝x2+10x+2n+5，
∴3m﹣3＝10，2n+5＝﹣3，
∴m=133，n＝﹣4，
∴m+n=133−4=13．
故答案为：13．
总结提升：本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关于y轴对称的两个抛物线上点的坐标横坐标互为相反数．
42．(2023•昭阳区校级模拟）二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为 y＝（x+2）2﹣5 ．
思路引领：根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
解：二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位．再向下平移5个单位后的解析式为y＝（x+2）2﹣5．
故答案为：y＝（x+2）2﹣5．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
43．(2023•阳信县模拟）若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为 y＝2（x+2）2﹣1 ．
思路引领：先利用配方法把二次函数y＝2x2﹣4x﹣1配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式；再根据“左加右减、上加下减”的平移规律写出平移后的解析式．
解：y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，
若将抛物线y＝2x2﹣4x﹣1先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线的函数关系式为y＝2（x﹣1+3）2﹣3+2，即y＝2（x+2）2﹣1．
故答案为：y＝2（x+2）2﹣1．
总结提升：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．
44．(2023•沂源县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4x+c（a≠0）经过点A（3，﹣4）和B（0，2）．将抛物线在A、B之间的部分记为图象M（含A、B两点）．将图象M沿直线x＝3翻折，得到图象N．若过点C（9，4）的直线y＝kx+b与图象M、图象N都相交，且只有两个交点，则b的取值范围为 ﹣8＜b＜﹣2或b＝4 ．
思路引领：根据题意作出函数图象，由图象直接回答问题．
解：设点B（0，2）关于x＝3的对称点为B′，则点B′（6，2）．
若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和B'（6，2），可得b＝﹣2．
若直线y＝kx+b经过点C（9，4）和A（3，﹣4），可得b＝﹣8．
直线y＝kx+b平行x轴时，b＝4．
综上，﹣8＜b＜﹣2或b＝4．
故答案为：﹣8＜b＜﹣2或b＝4．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意数形结合，使抽象的问题变得具体化，降低解题的难度．
45．(2023•东台市模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+1与y轴交于点P，其顶点是A，点P'的坐标是（3，﹣2），将该抛物线沿PP'方向平移，使点P平移到点P'，则平移过程中该抛物线上P、A两点间的部分所扫过的面积是 18 ．
思路引领：根据抛物线解析式求出点A、P的坐标，利用待定系数法求出直线AP′的解析式，过P作x轴的平行线交AP′于M，再求出点M的坐标，然后求出PM的长度，然后求出△AP′P的面积，再根据平移的性质，AP所扫过的图形是平行四边形，面积等于△AP′P面积的2倍，然后计算即可得解．
解：令x＝0，则y＝1，
所以，点P的坐标为（0，1），
∵y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴顶点A（2，5），
设直线AP′的解析式为y＝kx+b，
则2k+b=53k+b=−2，
解得k=−7b=19，
所以，直线AP′的解析式为y＝﹣7x+19，
当y＝1时，﹣7x+19＝1，
解得x=187，
∴点M的坐标为（187，1），PM=187，
S△AP′P＝S△PP′M+S△APM=12×187×（5+2）＝9，
根据平移的性质，PA扫过的面积是以PA、PP′为邻边的平行四边形，
所扫过的面积＝2S△AP′P＝2×9＝18．
故答案为：18．
总结提升：本题考查了二次函数图象与几何变换，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与y轴的交点坐标，抛物线顶点坐标的求解，作辅助线求出平移扫过的面积的一半，即△AP′P的面积是解题的关键．
46．(2023•蜀山区校级三模）已知，点A（1，m）和点B（3，n）在二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0）的图象上，若点C（x0，y0）是该二次函数图象上任意一点，且满足y0≥m．
（1）用含a的代数式表示b为 b＝﹣2a ；
（2）mn的最大值为 43 ．
思路引领：（1）根据题意得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用对称轴公式即可得到结论；
（2）用含a代数式表示mn，然后配方求解．
解：（1）∵点C（x0，y0）是二次函数图象上的任意一点，且满足y0≥m，
∴二次函数图像开口向上，即a＞0，顶点坐标为（1，m），
∴对称轴为x=−b2a=1，即b＝﹣2a，
故答案为：b＝﹣2a；
（2）∵mn＝（a+b+1）（9a+3b+1）＝（﹣a+1）（3a+1）＝﹣3（a−13）2+43，
∵﹣3＜0，
∴mn的最大值为43．
故答案为：43．
总结提升：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
47．(2023•高新区二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为漂亮点．已知二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点．且当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+6x﹣5（a≠0）的最小值为﹣12，最大值为4，则m取值范围是 3≤m≤7 ．
思路引领：根据二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点可求出a的值，再根据函数的解析式可求m的取值范围．
解：∵二次函数y＝ax2+6x−254（a≠0）的图象上有且只有一个漂亮点，
设漂亮点的坐标为（n，n），
∴方程n＝an2+6n−254即an2+5n−254=0有两个相等的实数根，
∴△＝52﹣4a×（−254）＝0，
∴a＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+6x﹣5的解析式为：y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴当x＝3时，函数有最大值为4，
又∵当0≤x≤m时，函数最小值为﹣12，
令﹣x2+6x﹣5＝﹣12，
则x＝﹣1或7，
∴要使函数最小值为﹣12，最大值为4，
则3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7．
总结提升：本题主要考查二次函数的性质，根据函数图象确定m的取值是解题的关键．
48．(2023•南京一模）若x+y＝5，则xy+1的最大值为 294 ．
思路引领：根据基本不等式可知，xy≤（x+y2）2，进而根据x+y的值求得xy+1的最大值．
解：∵x+y＝5，
∴xy≤（x+y2）2，
当且仅当x＝y=52时，等号成立，故xy最大值为254，
∴xy+1的最大值为294，
故答案为：294
总结提升：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了考生综合运用基础知识的能力，属于基础题．
49．(2023•鼓楼区一模）若二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，则y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为 ﹣2 ．
思路引领：根据关于x轴对称的点的坐标特征以及平移的规律即可得到把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，从而得出y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2．
解：把二次函数y＝ax2﹣bx+2的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣ax2+bx﹣2，再向左平移1个单位，向上平移4个单位为y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2，
∵二次函数y＝ax2﹣bx+2有最大值6，
∴y＝﹣a（x+1）2+b（x+1）+2的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题考查了二次函数的图象与几何变换，明确变换步骤是解题的关键．
50．(2023•无为市三模）已知实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，则x+y的最小值是 ﹣7 ．
思路引领：由已知得出y＝x2+3x﹣3，即可得到x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，根据二次函数的性质即可求得x+y的最小值．
解：∵实数满足x2+3x﹣y﹣3＝0，
∴y＝x2+3x﹣3，
∴x+y＝x2+4x﹣3＝（x+2）2﹣7，
∴x+y的最小值为﹣7．
故答案为：﹣7．
总结提升：本题考查了二次函数的最值，得到x+y关于x的函数解析式是解题的关键．
51．(2023•马鞍山二模）已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+（m+1）2（m为常数）的顶点坐标为（h，k）
（1）k关于h的函数解析式为 k＝2h+1 ．
（2）若抛物线不经过第三象限，且在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m＝ 12 ．
思路引领：（1）利用抛物线的顶点坐标公式解答即可；
（2）利用分类讨论的思想方法分m≥2，0＜m＜2和当m≥2时三种情况讨论解答，分别确定出最大值与最小值，利用已知条件列出方程即可求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2mx+（m+1）2＝（x﹣m）2+2m+1，
∴h＝m，k＝2m+1，
∴k关于h的函数解析式为k＝2h+1，
故答案为：k＝2h+1；
（2）令x＝0，则y＝（m+1）2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，（m+1）2）．
∵（m+1）2≥0．
∵抛物线不经过第三象限，抛物线的开口方向向上，
∴Δ＝4m2﹣4（m+1）2≤0，
∴m≥−12．
①当−12≤m≤0时，
∵抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为x＝m，
∴在﹣2≤x≤2时，当x＝m时，函数取最小值为y＝m2﹣2m2+（m+1）2＝2m+1，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴2m+1+m2﹣2m+5=414，
即：m2＝4
解得：m＝2或﹣2（不合题意，舍去），
∴此种情况不存在；
②当0＜m＜2时，
在﹣2≤x≤2时，当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝m时，函数取最小值为y＝2m+1，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴m2+6m+5+2m+1=414，
解得：m=12或m=−172（不合题意，舍去），
∴m=12．
③当m≥2时，
当x＝﹣2时，函数取最大值为y＝4+4m+（m+1）2＝m2+6m+5，
当x＝2时，函数取最大值为y＝4﹣4m+（m+1）2＝m2﹣2m+5，
∵二次函数最小值和最大值和为414，
∴m2+6m+5+m2﹣2m+5=414，
解得：m=−4±324（不合题意，舍去），
综上，在﹣2≤x≤2时，二次函数最小值和最大值和为414，则m=12．
故答案为：12．
总结提升：本题主要考查了抛物线的顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的极值，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
52．（2023•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2﹣x+n与x轴交于A、B两点，抛物线y=−12x2+x+n与x轴交于C、D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 4 ．
思路引领：先判断出抛物线y=−12x2+x+n的图象可由y=−12x2﹣x+n的图象向右平移两个单位得到，借助AD＝2BC，求出点C的坐标，即可求出答案．
解：∵y=−12x2﹣x+n=−12（x+1）2+n+12，
∴抛物线y=−12x2﹣x+n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，n+12），
∵y=−12x2+x+n=−12（x﹣1）2+n+12，
∴抛物线y=−12x2+x+n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，n+12），
∴抛物线y=−12x2﹣x+n的图象可由y=−12x2﹣x+n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴n+12＞12，
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y=−12x2+x+n 上，
∴﹣2﹣2+n＝0，
∴n＝4，
故答案为：4．
总结提升：此题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴交点的求法，表示出点C的坐标是解本题的关键．
53．(2023•峄城区校级模拟）二次函数y=−13x2+2x+163的图象交x轴于点A，B．则点AB的距离为 10 ．
思路引领：令y＝0，解一元二次方程求出A，B坐标即可．
解：令y＝0，则−13x2+2x+163=0，
解得x1＝﹣2，x2＝8，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
∴AB＝8﹣（﹣2）＝10．
故答案为：10．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点，关键是求出A，B坐标．
54．(2023•船营区校级模拟）如图，已知点M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根，则弦AB的长等于 22 ．
思路引领：设A，B两点的横坐标为m、n，根据根与系数的关系求得m+n、mn与p、q之间的关系，即可解答．
解：M（p，q）在抛物线y＝x2﹣2上，
故有q＝p2﹣2，即p2﹣q＝2；
设A，B两点的横坐标为m、n，A、B两点的横坐标是关于x的方程x2﹣2px+q＝0的两根
则有m+n＝2p，mn＝q，
而弦AB的长的等于|m﹣n|，
故|m﹣n|2＝（m+n）2﹣4mn＝4p2﹣4q＝4（p2﹣q）＝8，
∴|m﹣n|＝22．
故答案为：22．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点，考查学生数形结合处理问题、解决问题的能力．
55．(2023•长汀县模拟）已知二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为 x1＝﹣4，x2＝0 ．
思路引领：根据二次函数函数的平移变换得出结论．
解：由平移规律知，二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c的图象是由二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象向左平移3个单位得到的，
∵二次函数y＝2022x2+bx﹣c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（3，0），
∴二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c的图象与x轴相交于（﹣4，0），（0，0），
∴关于x的方程2022（x+3）2+bx+3b﹣c＝0的解为x1＝﹣4，x2＝0．
故答案为：x1＝﹣4，x2＝0．
总结提升：本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的平移变换，关键是根据平移的规律找到二次函数y＝2022（x+3）2+bx+3b﹣c与二次函数y＝2022x2+bx﹣c的关系．
56．(2023•大庆三模）已知x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．下列四个结论：①若方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣3，则b＝2a；②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；③方程ax2+bx+c＝0一定有两个不同的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2+bx+c上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中结论正确的是 ①②④ （填写序号）．
思路引领：由于方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，则根据根与系数的关系得到﹣3+1=−ba，于是可对①进行判断；由x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根得到a+b+c＝1，则利用b＝c得到a＝﹣2c，所以方程cx2+bx+a＝0化为x2+x﹣2＝0，然后解方程可对②进行判断；由a+b＝c＝0得到b＝﹣（a+c），再计算根的判别式的值得到Δ＝（a﹣c）2≥0，然后根据根的判别式的意义可对③进行判断；根据二次函数的性质，由0＜a＜c得到抛物线开口向上，由于−b2a=a+c2a＞1，于是可判断点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质可对④进行判断．
解：∵方程ax2+bx+c＝0的根为﹣3和1，
∴﹣3+1=−ba，
∴b＝2a，所以①正确；
∵x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴a+b+c＝1，
当b＝c时，a+c+c＝0，
∴a＝﹣2c，
∴方程cx2+bx+a＝0化为cx2+cx﹣2c＝0，即x2+x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1，所以②正确；
∵a+b＝c＝0，
∴b＝﹣（a+c），
∴Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2，
∵（a﹣c）2≥0，
∴Δ≥0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个的实数根，所以③错误；
∵0＜a＜c，
∴抛物线开口向上，
抛物线的对称轴为直线x=−b2a，
∵−b2a=−−(a+c)2a=a+c2a＞1，
而x1＜x2＜1，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．所以④正确．
故答案为：①②④．
总结提升：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式、根与系数的关系和二次函数的性质．
57．(2023•市南区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
且当x=32时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜−203；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞13时，y1＞y2．其中正确的结论是 ②③ ．
思路引领：根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x=32时，得到94a−32a+2＜0，解不等式求得a＜−83，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜−83，即可得出m+n＜−203，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t12即可判断④．
解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：c=2a+b+c=2，
解得b=−ac=2，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴94a−32a+2＜0，
∴a＜−83，
∴b＞83，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜−83，
∴m+n＜−203，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x=12，
又∵当x=32时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x=−12时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在−12和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在−12和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞12，故④不正确，
故答案为：②③．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
58．(2023•赛罕区校级模拟）如图所示，已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+tb（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
思路引领：根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方的部分的x的取值范围即可．
解：由图形可得，当x＜﹣2或x＞8时，二次函数图象在一次函数图象上方，y1＞y2，
所以，使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
总结提升：本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．
59．(2023•岳麓区校级三模）如图，在墙上绘制了几个相同的抛物线型图案．已知抛物线上B、C两点的高度相同，到墙边OA的距离分别为0.5米，1.5米．若该墙的长度为10米，则最多可以连续绘制 5 个这样的抛物线型图案．
思路引领：由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，求出函数的对称轴为x=12（0.5+1.5）＝1，进而求解．
解：以点O为原点，建立如下坐标系，
由函数的图象知，点B、C的纵坐标相同，其横坐标分别为x＝0.5和x＝1.5，
故函数的对称轴为x=12（0.5+1.5）＝1，
设第一个图案与x轴交点为D，则OD＝2，
则10÷2＝5，
故最多可以连续绘制5个这样的抛物线型图案，
故答案为：5．
总结提升：本题考查的是二次函数的应用，通过建立适当的坐标系，确定函数的对称轴是解题的关键．
60．(2023•新乐市校级模拟）某超市销售一款洗手液，其成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款的销售单价为x（元），每天的销售量为（瓶）．
（1）每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 y＝﹣40x+880 ；
（2）销售这款“洗手液”每天的最大利润为 360元 ．
思路引领：（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则20−x0.5为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，然后加上80即可得出每天的销售量y；
（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．
解：（1）由题意得：y＝80+20×20−x0.5=−40x+880，
∴每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣40x+880，
故答案为：y＝﹣40x+880；
（2）设每天的销售利润为w元，则有：
w＝（﹣40x+880）（x﹣16）
＝﹣40（x﹣19）2+360，
∵a＝﹣40＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∵﹣40x+880≥0，
解得x≤22，
∴16≤x≤22，
∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．
故答案为：360元．
总结提升：本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
相关试卷
中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题9填空题压轴题之图形变换问题(平移翻折旋转)(原卷版+解析)： 这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题9填空题压轴题之图形变换问题(平移翻折旋转)(原卷版+解析)，共70页。试卷主要包含了2022中考真题集训等内容，欢迎下载使用。
中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版+解析)： 这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版+解析)，共77页。试卷主要包含了2022中考真题训练，有关圆的动点问题，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题6选择题重点出题方向反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)： 这是一份中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题6选择题重点出题方向反比例函数的图象和性质(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了2022中考真题训练，2023中考押题预测等内容，欢迎下载使用。
