人教版八年级数学上册重要考点题型精讲精练专题05三角形难点题型总复习(原卷版+解析)

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1．(2023·安徽合肥·八年级期末）已知的三边长分别为，，8．
(1)求的取值范围；
(2)如果是等腰三角形，求的值．
2．(2023·全国·八年级专题练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足，．
(1)求c的取值范围；
(2)若的周长为12，求c的值．
3．(2023·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，则BC是多少？
4．（2023·江西宜春·八年级期中）已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．
（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．
◎题型二：三角形中线的应用
1．（2023·山西忻州·八年级期末）已知，在等边三角形中，为边上的高.
操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；
（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由；
拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由.
2．（2023·全国·八年级单元测试）（1）在中，，，，，，，，则的周长为______.
（2）如图①，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于______.

① ②
（3）如②图，三角形的面积为1，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形的面积为______.
3．（2023·全国·八年级专题练习）操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．
解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为 ．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
4．（2023·安徽·八年级期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 △ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
◎题型三 三角形的角有关难点
1．(2023·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)关于“准直角三角形”，下列说法：
①在中，若，，，则是准直角三角形；
②若是“准直角三角形”， ，，则；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
(2)如图①，在中，，是的角平分线．
求证：是“准直角三角形”．
(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，
(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；
解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），
（完成以下说理过程）
(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；
(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）
3．(2023·全国·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
4．(2023·全国·八年级课时练习）阅读并解决下列问题：
（1）如图①，中，，、的平分线交于点D，则______．
（2）如图②，五边形中，，EF平分，平分，若，求的度数．
图① 图②
专题05 三角形难点题型总复习
◎题型一 三角形三边关系的应用
1．(2023·安徽合肥·八年级期末）已知的三边长分别为，，8．
(1)求的取值范围；
(2)如果是等腰三角形，求的值．
答案：(1)2(2)6或4
【解析】
分析：
（1）根据三角形的三边关系列不等式组求解；
（2）分m+2=2m，m+2=8，2m=8三种情况，分别讨论即可求解．
(1)
解：由题意得，
解得2(2)
解：当m+2=2m时，解得m=2（不和题意，舍去）；
当m+2=8时，解得m=6，符合题意；
当2m=8时，解得m=4，符合题意；
∴如果是等腰三角形，的值为6或4．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，等腰三角形的定义，熟记三角形三边关系是解题的关键．
2．(2023·全国·八年级专题练习）已知a，b，c分别为的三边，且满足，．
(1)求c的取值范围；
(2)若的周长为12，求c的值．
答案：(1)2(2)3.5
【解析】
分析：
（1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|2c-6|＜c，列不等式组求解即可；
（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．
(1)
∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，
∴ ，
解得：2故c的取值范围为2(2)
∵△ABC的周长为12，a+b=3c-2，
∴a+b+c=4c-2=12，
解得c=3.5．
故c的值是3.5．
【点睛】
此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
3．(2023·黑龙江省八五五农场学校八年级期末）在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成15和6两部分，则BC是多少？
答案：1
【解析】
分析：
由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=6，从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系即可求出底边．
【详解】
解：如图所示：
∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x，
∵BD将三角形周长分为15和6两部分，
∴可知分为两种情况：
当AB+AD=15，即3x=15时，解得x=5，此时BC=6-x=1，故三角形ABC三边长为10，10，1，能构成三角形；
当AB+AD=6，即3x=6时，解得x=2；此时BC=15-x=13，故三角形ABC三边长为4，4，13，不能构成三角形；
∴BC的长为1．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，注意求出的结果一定要检验是否符合三角形三边性质，分类讨论是正确解答本题的关键．
4．（2023·江西宜春·八年级期中）已知△ABC三条边的长分别为：a+3，3a+1，a+5（a为正整数）．
（1）若△ABC是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若△ABC的三条边都不相等，求a的最小值．
答案：（1）等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；（2）a的最小值为3．
【解析】
分析：
（1）由于a+3≠a+5，所以当这个三角形是等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①a+3=3a+1；②a+5=3a+1．求出a的值后，根据三角形三边关系即可求解；
（2）根据三角形三边关系列出关于a的不等式组求出a的范围，再根据三角形的三条边都不相等，且为正整数可求a的最大值．
【详解】
解：（1）①如果a+3=3a+1，
解得a=1，
三角形三边的长为4，4，6，符合三角形三边关系；
②如果a+5=3a+1，
解得a=2，
三角形三边的长为5，7，7，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形三边的长为4，4，6或5，7，7；
（2）a的最小值为3．
由三角形三边关系知，，
解得＜a＜7，
∵三角形的三条边都不相等，
∴a+3≠3a+1，a+5≠3a+1，
∴a≠1，a≠2，
∴＜a＜7且a≠1，a≠2，
∵a为正整数，
∴a的最小值为3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，一元一次不等式组的解法，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系．
◎题型二：三角形中线的应用
1．（2023·山西忻州·八年级期末）已知，在等边三角形中，为边上的高.
操作发现:（1）如图1，过点分别作，，垂足分别为.请直接写出和的数量关系；
（2）如图2，若点为上任意一点（不与重合），过点作，，垂足分别为.判断和的数量关系，并说明理由；
拓广探索:（3）如图3，点为等边三角形内任意一点，过点作，，，垂足分别为，探究和的数量关系，并说明理由.
答案：（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析.
【解析】
分析：
(1)根据三角形的面积公式计算即可证明.
(2)由题意可得∠BAD=∠CAD=30°,利用30°直角三角形所对的边是斜边的一半,即可得出,即可推出.
(3) 连接, 由题意得:,利用三角形的面积公式即可证.
【详解】
（1）.
根据三角形的面积公式:S△ABC=S△ABD+S△ACD
即:
∵△ABC是等边三角形,即:AB=AC=BC,
∴.
（2）
理由如下：
∵为等边三角形
∴
∵为边上的高
∴
又∵，，
∴
∴
（3）
理由如下：
如图，连接，
∵为等边三角形，
∴
∵为边上的高，
∴
∵，，，垂足分别为，
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查三角形的综合知识,关键在于灵活利用面积公式.
2．（2023·全国·八年级单元测试）（1）在中，，，，，，，，则的周长为______.
（2）如图①，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于______.

① ②
（3）如②图，三角形的面积为1，点是的中点，点是的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形的面积为______.
答案：（1）36（2）2（3）
【解析】
分析：
(1)利用三角形面积公式，求出AB、AC的长，再计算三角形的周长即可；
(2)设在边上的高为，则，根据线段中点的定义以及线段的和差得出，继而再根据三角形面积公式进行求解即可；
(3)设，，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得，从而得，，，，，，利用等高的两三角形面积之比等于底边之比分别列出关于x、y的方程，求出x、y的值即可求得答案.
【详解】
(1)，
∴，
即，
∴，，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=36；
(2)设在边上的高为，
则，
∵为中点，∴，
∵为中点，∴，
∴，
∴；
(3)设，，
∵点，分别是，的中点，，
∴，
∴，，，
∴，即，
解得，
又，，，
∴，得，
故.
【点睛】
本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．
3．（2023·全国·八年级专题练习）操作示例：如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1=S2．
解决问题：在图2中，点D、E分别是边AB、BC的中点，若△BDE的面积为2，则四边形ADEC的面积为 .
拓展延伸：
（1）如图3，在△ABC中，点D在边BC上，且BD=2CD，△ABD的面积记为S1，△ADC的面积记为S2．则S1与S2之间的数量关系为 ．
（2）如图4，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接BE、CD交于点O，且BO=2EO，CO=DO，若△BOC的面积为3，则四边形ADOE的面积为 .
答案：解决问题：6； 拓展延伸：（1）S1=2S2 （2）10.5
【解析】
【详解】
试题分析：解决问题：连接AE，根据操作示例得到S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC，从而得到结论；
拓展延伸：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，从而得到△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积，由此即可得到结论；
（2）连接AO．则可得到△BOD的面积=△BOC的面积，△AOC的面积=△AOD的面积，△EOC的面积=△BOC的面积的一半， △AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，求出a、b的值，即可得到结论．
试题解析：解：解决问题
连接AE．∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴S△ADE=S△BDE，S△ABE=S△AEC．∵S△BDE =2，∴S△ADE =2，∴S△ABE=S△AEC=4，∴四边形ADEC的面积=2+4=6．
拓展延伸：
解：（1）作△ABD的中线AE，则有BE=ED=DC，∴△ABE的面积=△AED的面积=△ADC的面积= S2，∴S1=2S2．
（2）连接AO．∵CO=DO，∴△BOD的面积=△BOC的面积=3，△AOC的面积=△AOD的面积．∵BO=2EO，∴△EOC的面积=△BOC的面积的一半=1.5， △AOB的面积=2△AOE的面积．设△AOD的面积=a，△AOE的面积=b，则a+3=2b，a=b+1.5，解得：a=6，b=4.5，∴四边形ADOE的面积为=a+b=6+4.5=10.5．
4．（2023·安徽·八年级期中）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 △ACD的面积．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝y由题意得：S△ABE＝S△ABC＝30，S△ADC＝S△ABC＝30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
答案：（1）＝；（2），20；（3）S四边形ADOE＝13．理由见解析．
【解析】
分析：
（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（2）利用题干所给解答方法解答即可；
（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝x，S△AEO＝2y，利用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴，，
∴S△ABD＝S△ACD，
故答案为：＝；
（2）解方程组得，
∴S△AOD＝S△BOD＝10，
∴S四边形ADOB＝S△AOD+S△AOE＝10+10＝20，
故答案为：，20；
（3）如图3，连接AO，
∵AD：DB＝1：3，
∴S△ADO＝S△BDO，
∵CE：AE＝1：2，
∴S△CEO＝S△AEO，
设S△ADO＝x，S△CEO＝y，则S△BDO＝3x，S△AEO＝2y，
由题意得：S△ABE＝S△ABC＝40，S△ADC＝S△ABC＝15，
可列方程组为：，
解得：，
∴S四边形ADOE＝S△ADO+S△AEO＝x+2 y＝13．
【点睛】
本题是一道四边形的综合题，主要考查了三角形的面积公式，等底同高的三角形面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．本题是阅读型题目，准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键．
◎题型三 三角形的角有关难点
1．(2023·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．
(1)关于“准直角三角形”，下列说法：
①在中，若，，，则是准直角三角形；
②若是“准直角三角形”， ，，则；
③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
(2)如图①，在中，，是的角平分线．
求证：是“准直角三角形”．
(3)如图②，、为直线上两点，点在直线外，且．若是上一点，且是“准直角三角形”，请直接写出的度数．
答案：(1)①
(2)证明见解析
(3)当，，，时，满足条件
【解析】
分析：
（1）只要证明，即可判断．
（2）根据“准直角三角形”的定义即可判断．
（3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题．
(1)
①，，
，
是“准直角三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，
故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
(2)
在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准直角三角形”．
(3)
如图②中，当，，，时，满足条件，是“准直角三角形”．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图1，∠A1BC、∠A1CM的角平分线BA2、CA2相交于点A2，
(1)如果∠A1＝68°，那么∠A2的度数是多少，试说明理由；
解：（1）结论：∠A2＝ 度．说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（ ）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠ ，∠2＝∠1+∠ （ ），
（完成以下说理过程）
(2)如图2，如果∠A2BC、∠A2CM的角平分线BA3、CA3相交于点A3，请直接写出∠A3的度数；
(3)如图2，重复上述过程，∠An﹣1BC、∠An﹣1CM的角平分线BAn、CAn相交于点An得到∠An，设∠A1＝θ，请用θ表示∠An（直接写出答案）
答案：(1)34；角平分线的定义；A1；A2，过程见解析
(2)17°
(3)
【解析】
分析：
（1）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质即可求解；
（2）根据（1）的解法即可直接求解∠A3的度数；
（3）利用（1）的结论找到规律，求解即可．
(1)
解：结论：∠A2＝34度．
说理如下：因为BA2、CA2平分∠A1BC和∠A1CM（已知），
所以∠A1BC＝2∠1，∠A1CM＝2∠2（角平分线的意义）．
因为∠A1CM＝∠A1BC+∠A1，∠2＝∠1+∠A2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
所以∠A2＝∠A1，
因为∠A1＝68°，
所以∠A2＝34°，
故答案为：34；角平分线的定义；A1；A2．
(2)
解：∠A3＝17°，理由如下：
由（1）得：∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，
∴∠A3＝∠A1=17°．
(3)
解：∠An＝，理由如下：
由（1）中结论知，∠A1＝2∠A2，∠A2＝2∠A3，∠A3＝2∠A4，…，
∴∠A1＝∠An，
∴∠An＝．
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，解题关键是解决（1）后利用其结论解答．
3．(2023·全国·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知，小宋把三角板的直角顶点放在直线上．若，直接写出的度数；若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边上，求的度数．
答案：(1)130º，(90+m)º
(2)15º
【解析】
分析：
（1）根据两直线平行同旁内角互补，以及平角的定义来解决此题；
（2）如图，先由两直线平行同旁内角互补得出∠DBA+∠FCA=180º，再根据三角板中各角的度数计算拼接后图形中有关角的度数，再通过三角形内角和等于180度计算即可．
(1)
解：∵，
∴∠2+∠3=180°，
由题意和图知，∠1+∠3=90º，∠1=40º
∴∠2=180º-（90º-∠1）=90º+∠1=90º+40º=130º；
若，那么
∠2=（90+m）º
(2)
解：如图，把图中各点标上字母，延长CA交直线a于点B，由题意知，
∵，
∴∠DBA+∠FCA=180º，
∵∠FCA=60º，
∴∠DBA=120º，
∵∠DAE=45º，∠FAC=90º，
∴∠BAD=180º-∠DAE-∠FAC=45º
在中，∠1+∠DBA+∠BAD=180º，
∴∠1=180º-45º-120º=15º；
【点睛】
此题考查了平行线的性质和三角板中的角度计算问题，解题的关键是数形结合．
4．(2023·全国·八年级课时练习）阅读并解决下列问题：
（1）如图①，中，，、的平分线交于点D，则______．
（2）如图②，五边形中，，EF平分，平分，若，求的度数．
图① 图②
答案：（1）；（2）
【解析】
分析：
（1）先根据三角形内角和及角平分线求出，然后再根据三角形内角和求出的度数即可．
（2）首先根据得出，然后根据五边形内角和求出，由角平分线的性质进而得出，再根据四边形内角和即可求出的度数．
【详解】
（1），分别平分、，
，，
，
，
，
，
．
（2）∵EF平分，CF平分，
设，，
∵，
∴，
∵五边形的内角和为，
∴，
即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、平行线的性质及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握多边形内角和的求法及灵活运用角平分线的性质．