初中数学苏科版九年级下册第5章 二次函数5.2 二次函数的图象和性质精练

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考察题型一 二次函数y=ax2(a≠0)的图像与性质
【直接代入法求二次函数y=ax2(a≠0)的表达式】
1．若二次函数的图象经过点，则的值为 ．
【详解】解：将代入得：，
解得：．
故本题答案为：．
2．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
代数式．
故本题答案为：6．
【开口】
3．如果抛物线的开口向上，那么的取值范围
A．B．C．D．
【详解】解：抛物线的开口向上，
，解得：．
故本题选：．
4．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是
A．B．
C．D．
【详解】解：当时，的图象是经过第一、三象限且过原点的直线，的图象是开口向上且顶点为的抛物线，故选项、不合题意；
当时，的图象是经过第二、四象限且过原点的直线，的图象是开口向下且顶点为的抛物线，两线交点坐标是和，故选项不合题意、选项符合题意．
故本题选：．
5．如图是四个二次函数的图象，则、、、的大小关系为
A．B．C．D．
【详解】解：如图，
直线与四条抛物线的交点从上到下依次为，，，，
．
故本题选：．
【对称轴】
6．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点
A．B．C．D．
【详解】解：二次函数的对称轴为轴，且图象经过点，
该图象必经过点．
故本题选：．
7．已知点，和点，（其中均在抛物线上，则当时，值是
A．0B．C．D．
【详解】解：抛物线的对称轴为轴，
而点，和点，均在抛物线上，
，
当时，．
故本题选：．
【增减性】
8．关于二次函数的图象及其性质的说法错误的是
A．开口向下B．顶点是原点
C．对称轴是轴D．随的增大而减小
【详解】解：、由知开口向下，正确；
、顶点坐标为，正确；
、对称轴是直线，即轴，正确；
、在轴的左侧随的增大而增大，在轴的右侧，随的增大而减小，故此选项错误．
故本题选：．
9．已知，点，，都在函数的图象上，则
A．B．C．D．
【详解】解：当时，，
而抛物线的对称轴为直线，开口向上，
三点都在对称轴的左边，随的增大而减小，
．
故本题选：．
10．已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴是轴，
又时，随增大而减小，
抛物线的开口向下，
，解得：．
故本题选：．
11．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
【详解】解：（1）由题意可得：且，
解得：，，
二次函数当时，随的增大而增大，
二次函数的图象的开口向下，即，
；
（2）由（1）得：，
顶点坐标为，对称轴为轴．
【最值】
12．关于二次函数，下列说法中正确的是
A．图象的开口向上B．当时，随的增大而增大
C．图象的顶点坐标是D．当时，有最小值是0
【详解】解：A．，
图象的开口向下，故选项错误；
B．，
对称轴为轴，
当时，随的增大而增大，故选项正确；
C．图象的顶点坐标是，故选项错误；
D．抛物线开口向上，对称轴为轴，
当时，有最大值0，故选项错误．
故本题选：．
13．已知二次函数的图象经过点,、．
（1）求与的值；
（2）写出该图象上点的对称点的坐标；
（3）当取何值时，随的增大而减小；
（4）当取何值时，有最大值（或最小值）．
【详解】解：（1）把点,坐标代入函数解析式得：，
解得：，
把点代入函数解析式得：；
（2）点；
（3）如图，
时，随的增大而减小；
（4）当时，有最大值为0．
考察题型二 二次函数y=ax2(a≠0)与其他知识点综合
1．若直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是 ．
【详解】解：如图，当时，，
直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，
常数的取值范围是：．
故本题答案为：．
2．如图，四边形是边长为的正方形，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【详解】解：如图，连接，
四边形是边长为的正方形，
，，
过点作轴于，
与轴正半轴的夹角为，
，
，，
点的坐标为，，
点在抛物线的图象上，
，解得：．
故本题答案为：．
3．如图，垂直于轴的直线分别与抛物线和抛物线交于、两点，过点作轴分别与轴和抛物线交于点、，过点作轴分别与轴和抛物线交于点、，则的值为 ．
【详解】解：设点、横坐标为，则点纵坐标为，点的纵坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
轴，
点纵坐标为，
点是抛物线上的点，
点横坐标为，
，，，，
则．
故本题答案为：．
4．已知二次函数的图象与直线交于点．
（1）判断的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当时，的值随值的增大而变化的情况；
（2）设直线与抛物线的交点分别为、，如图所示，试确定、两点的坐标；
（3）连接，，求的面积．
【详解】解：（1）将点代入，解得：，
交点坐标为，
将代入得：；
二次函数解析式为，
抛物线的开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大；
（2）由题意可得：，
解得：或，则或；
点坐标为，点坐标为；
（3）与轴交点的坐标为，
的面积．
1．如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为．
（1）求直线的表达式及抛物线的表达式．
（2）求点的坐标．
（3）点在直线上，点在抛物线上．若，直接写出的取值范围．
（4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，求点的坐标．
（5）在轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】解：（1）将代入得：，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
把，代入得：，解得：，
直线的解析式为；
（2）解方程组得：或，
点坐标为；
（3）若，的取值范围为；
（4），
而，
，
设，
，解得，
而点在第一象限内，
，
,;
（5）由（2）可知：、，
OC＝22+42＝25，
①当OC＝OP＝25时，P1(-25,0)，P2(25,0)；
②当OP＝PC时，点P是线段OC的垂直平分线与轴的交点，
，
OC中点D的坐标是(-1,2)，
直线PD的解析式为：y＝12x+52，
P3(-5,0)；
③当OC＝PC＝25时，P4(-4,0)；
综上，点P的坐标为：P1(-25,0)，P2(25,0)，P3(-5,0)，P4(-4,0)．